初中數學中矩形折疊問題的解法探析

【摘要】 矩形的折疊是初中數學中常見的數學問題，也是中考熱點問題之一.解決這類問題運用了軸對稱性質、圖形的全等、相似、勾股定理、方程、轉化、數形結合等思想方法，同時考察了學生分析問題與解決問題的能力.本文主要通過具體例題，探索解決這類問題的思路與方法.

【關鍵詞】 矩形折疊；軸對稱；勾股定理；幾何性質；相似

圖形的平移，圖形的折疊（對稱變換），圖形的旋轉是幾何中常見的三大變換，也是近幾年中考中的熱點問題.而在圖形的折疊中，矩形的折疊是其中重要的一種.由于矩形性質獨特，折疊起來形態各異，會產生豐富多彩的幾何問題，而這些問題往往融入了豐富的數學知識和數學思想.因此，近年的中考題中不僅填空和選擇題中有矩形折疊問題，而且綜合題中也屢屢出現關于矩形的折疊問題.這類問題不僅考查了學生的基礎知識、基本技能，而且考查了學生的探究能力，空間想象能力，抽象思維能力及邏輯推理能力.在解決這類問題時，運用的知識點比較多，綜合性強，如軸對稱性、全等思想、相似思想、勾股定理、轉化思想、方程思想、數形結合思想等，是培養學生識圖能力，動手操作能力，靈活運用數學知識解決問題能力的一條非常有效的題型.本文主要是通過具體例題，探討這類題型的解法，闡述解決這類問題的幾種途徑.

一、運用軸對稱性和勾股定理解決問題

例：（蘇教版八年級上111頁）在矩形紙片ABCD中，AB = 6，BC = 8.

（1）將矩形紙片沿BD折疊，使點A落在點E處（如圖①）.設DE與BC相交于點F，求BF的長；

（2）將矩形紙片折疊，使點B與點D重合（如圖②），求折痕GH的長.

分析 （1）易知BF = DF，因此，在Rt△DCF中，運用勾股定理列方程即可求出DF，從而得到BF的長.

（2）連接BD，由軸對稱性質和勾股定理列出方程即可求解.

簡解 （1）由AD∥BC和軸對稱知，∠BDF = ∠DBF，所以BF = DF，設BF = DF = x，則CF = 8- x，在Rt△DCF中，由勾股定理，得x2 - （8 - x）2=62，解得x = ■，所以，BF = ■

（2）連接BD交GH于O，因為B，D關于GH對稱，因此，GH垂直平分BD. 則OD = ■BD = 5.在△CDH中，由勾股定理易知DH = ■.在△DOH中，由勾股定理，得OH = ■，所以，折痕GH的長是■.

折疊后由對稱軸性質找出相等的線段，相等的角，及全等圖形.然后在直角三角形中利用勾股定理列方程即可求解，這是解決求值問題常用方法.當然，解題中要注意幾何性質的運用.

二、運用軸對稱性及相似三角形解決問題

（2012天津中考）已知一個矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標系中，點A（11，0），點B（0，6），點P為BC邊上的動點（點P不與點B，C重合），經過點O，P折疊該紙片，得點B′和折痕OP，設BP = t.

（Ⅰ）如圖①，當∠BOP = 30°時，求點P的坐標；

（Ⅱ）如圖②，經過點P再次折疊紙片，使點C落在直線PB′上，得點C′和折痕PQ，若AQ = m，試用含有t的式子表示m；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當點C′恰好落在邊OA上時，求點P的坐標（直接寫出結果即可）.

解 （Ⅰ）在Rt△BOP中，BP = OB·tan 30° = 6 × ■ = 2■.

∴點P的坐標是（2■，6）.

（Ⅱ）由折疊知，∠BPO = ∠B′PO，∠CPQ = ∠C′PQ，

∴ ∠OPQ = 90°，

∴ ∠BPO + ∠CPQ = 90°，又∠BOP + ∠BPO = 90°，

∴ ∠BOP = ∠CPQ，

又∠OBP = ∠BCQ = 90°，

∴ △BOP ∽△CPQ，

∴ ■ = ■，

由于OB = 6，BP = t，PC = 11 - t，CQ = 6 - m，

∴ ■ = ■，∴ m = ■t2 - ■t + 6.

（Ⅲ）過P作PE⊥OA于E，

∴ ∠PEC′ = ∠C′AQ = 90°，

∴ ∠PC′E + ∠EPC′ = 90°，

又∠PC′E + ∠QC′A = 90°，

∴ ∠EPC′ = ∠QC′A，

∴ △PC′E ∽△C′QA，

∴ ■ = ■，

∵ PC′ = PC = 11 - t，PE = OB = 6，AQ = m，C′Q = CQ = 6-m，

C′A = ■ = ■，

∴ ■ = ■，

∵ ■ = ■，即■ = ■，

∴ ■ = ■，

∴ 36 - 12m = t2，

又 m = ■t2 - ■t + 6，

代入化簡得：3t2 - 22t + 36 = 0，

解得：t1 = ■，t2 = ■，

點P的坐標是■，6或■，6.

此題運用了折疊的性質、矩形的性質以及相似三角形的判定及性質，解題時要注意掌握折疊前后圖形的對應關系，注意數形結合思想與方程思想.

三、運用折疊性質及幾何圖形性質解決問題

（2011徐州中考）如圖，將矩形紙片ABCD按如下順序進行折疊：對折、展平，得折痕EF（如圖①）；沿GC折疊，使點B落在EF上的點B′處（如圖②）；展平，得折痕GC（如圖③）；沿GH折疊，使點C落在DH上的點C′處（如圖④）；沿GC′折疊（如圖⑤）；展平，得折痕GC′，GH（如圖⑥）.

（1）求圖②中∠BCB′的大小；

（2）圖⑥中的△GCC′是正三角形嗎？請說明理由.

解 （1）設EF與GC交于點M，

∵ EF∥AB，

∴ ∠BGC = ∠B′MG，

∴ B′G = B′M，

由折疊知，M是CG的中點，所以在Rt△B′GC中，

B′M = ■CG = MG，

∴ B′G = ■CG，

∴ ∠B′CG = 30°，

∴ ∠BCB′ = 60°.

（2）由折疊知，GH是CG′的垂直平分線，

∴ GC = GC′，

∵ ∠BCG = ∠B′CG = ■∠BCB′ = 30°，

∴ ∠GCC′ = 60°，

∴ △GCC′是正三角形.

四、綜合運用折疊、勾股定理、相似等知識解決問題

（2006徐州中考）在平面直角坐標系中，矩形ABCD的邊AB = 2，AD = 1且AB，AD分別在x軸、y軸的正半軸上，點A與坐標原點重合，將矩形折疊，使點A落在邊DC上，設A′是點A落在邊DC上的對應點.

（1）當矩形ABCD沿直線y = -■x + b折疊時（如圖①）：求點A′的坐標和b的值；

（2）當矩形ABCD沿直線y = kx + b折疊時：

① 求點A′的坐標（用k表示），并求出k和b之間的關系式；

② 如果折痕所在的直線與矩形的位置分為如圖②③④三種情形所示，請你分別寫出每種情形時k的取值

范圍.（將答案直接填在每種情形下的橫線上）

簡解 （1）如圖⑤，作FG⊥CD于G，易證△FGA′∽△A′DE，則有■ = ■.設A′點坐標為（x，1），E點坐標是（0，b），F點坐標是（2b，0），根據軸對稱的性質，因此得：■ = ■，求出點A′的坐標為■，1.在Rt△A′DE中，再由勾股定理求出b = ■.

（2）① 本小題與（1）小題的區別是用字母k表示數，同法（1），求出點A′的坐標為（-k，1），k和b之間的關系式為b = ■. ② 從圖②至圖④中對稱軸的位置可以看出，對稱軸由陡漸平，從而k值由小到大直至為0，再考慮點A′的三個特殊對稱點，當A′分別與點C，D，B重合時，對應的k值分別為-2，-1，-2 + ■，從而在三種圖形下對應的k的取值范圍分別為-2 ≤ k ≤ -1，-1 ≤ k ≤ -2 + ■，-2 + ■ ≤ k ≤ 0.

此題綜合性強，解決問題時不僅要熟練地運用對稱性、相似、勾股定理及幾何圖形的性質，還要借助于有限的工具，動手折一折.特別是第二問中的三種情形，通過動手折疊，就會很好地體會每一種情況下折痕的變化情況，準確而迅速地求出k的取值范圍.

矩形的折疊雖然變化較多，但我們只要仔細研究，就會發現其中的規律.由于折疊前和折疊后翻折部分的形狀、大小不變，因此，我們只要充分挖掘圖形的幾何性質，明確哪些線段相等，哪些角相等，線段與線段之間的數量關系，抓住變量中的不變量，運用相似、勾股定理、三角函數等知識構造方程或函數解決問題.解題過程中，特別要注意折痕（對稱軸），充分利用軸對稱性質.對于稍復雜的折疊問題，有時還需要動手折一折，直觀體會各個量之間的關系，充分運用數形結合的思想解決問題.

總之，只要在學習過程中不斷探索，認真總結，體會解決折疊問題的途徑，就可以不斷拓寬解題思路，掌握解決問題的方法.