數學整體思想與其他數學思想之關系舉例

數學整體思想指的是：把所研究的對象作為一個整體來對待，就是從全局看問題、從整體去思考，整體地把握條件和結論的聯系，擺脫局部細節中一時難以弄清的數量關系的糾纏，以探求解決問題的思路或簡化解決問題的過程.

張奠宙先生在《數學方法論稿》中將數學方法分成五個層次，將數學思想分為三個層次. 第一、基本的和重大的數學思想. 如：集合思想，數學結構思想和對應思想等. 第二、與一般科學方法相對應的數學思想. 如：化歸思想，對立統一的思想等. 第三、數學特有的思想與解題技巧. 如：數形結合思想，函數思想，極限思想等. 根據數學整體思想的意義，筆者認為數學整體思想與三個層次的數學思想都有密切的聯系. 現舉例說明.

1. 整體思想與數學結構思想的關系

皮亞杰認為，所謂“結構”，是指一個由諸種轉換規律組成的整體，整體性、轉換性和自我調節性是結構所具有的三個基本特征. 數學結構一般是指集合中元素間滿足一定條件（公理）的某種關系. 用整體統一的觀點去聯系數學學科內越來越多的研究領域和分支時，將它們按結構性質統一分割分類，著眼于整個數學全局去看待各個數學分支是數學結構思想最顯著的特征. 在初中數學教學中，強調結構思想主要是強調知識間的廣泛關聯性. 整體思想強調結構內元素之間的關聯性，因為它可以優化系統整體的特性和功能. 例如，初中生在小學已學習過整數、分數和小數，但尚未建立密切的聯系. 初中階段將數的范圍擴充到實數時，整數和分數被統一定義為有理數，而對小數卻無分類，這時學生就會產生疑問，小數到底是怎樣的數，它和實數之間有什么關系. 在明確了有理數可以化為有限小數和無限循環小數，以及無理數是無限循環小數后，學生就可以理解小數的范圍和實數的范圍是一樣的. 進而可以將小數分類，小數的模型結構和實數的模型結構被統一為一個整體，當學生再遇到“千奇百怪”的數時，就能快速地在實數的整體結構中找到它的位置. 另一方面此時實數作為一個群也表現出整體內部元素的轉換性. 如通過減法轉換法則可以實現正負數之間的轉換，通過乘法轉換法則可以將無理數轉換為有理數，等等. 學生越理解這些元素之間的聯系，實數模型的整體功能也就越能被學生充分應用，遷移到其他問題情境中去，更進一步地說，學生理解了這種代數整體結構的封閉性，就可以為學習高等數學打下基礎，從更高的觀點來看待具體運算.

2. 整體思想與數形結合思想

數形結合思想結合了代數和幾何的優點，幾何圖形直觀便于理解，代數問題的解題過程機械化，可操作性強，便于把握. 它雖不屬于第一層次的數學思想，但和第一層次中的對應思想、化歸思想密切相關. 如實數和數軸上的點一一對應，即體現了數形結合，又體現了對應；又如用數形結合思想解決問題時，常是在化歸思想的指導下實現幾何問題與代數問題的相互轉化. 事實上它與數學整體思想也是密切聯系的. 我們對一門學科知識的理解應當是整體的、全面的、協調的. 通過數與形的結合，我們可以更深刻地理解初中數學的結構，認識代數與幾何之間的紐帶. 處理圖形時，在直觀的基礎上抽象，通過數和式的轉換，使圖形的特征和幾何關系刻畫得更精細準確，抽象思維和形象思維結合起來，它們之間相互聯系、相互補充和轉化. 此時初中數學的兩大組成部分緊緊聯系在一起，當一個整體的內部元素相互作用強烈時，整體的功能也就大大加強. 從另一個方面看，數與形分別對應著人的大腦左右半球的思維重點，當它們相結合時，就可以充分發揮左右腦的思維功能，使它們相互激發，彼此依存，因此可以更全面深入地發展整體上的思維能力.

3. 整體思想與換元法之間的關系

換元法因操作性太強而難以稱得上是數學思想，但在初中數學的學習過程中，它卻是必須被掌握的. 其操作過程通常是將一個問題整體中的某個部分設為輔助元或未知元，以簡化問題形式，這種操作方法就很直觀地體現了整體和局部的關系. 設為輔助元的部分，被看作一個不可拆分的整體，這個整體當然是原整體的構成部分，當求出這個未知元后，它將轉化成一個新問題的整體. 如解方程3x2 - 6x - 2■ + 4 = 0時，令■ = y，則原方程變形為3y2 - 2y - 8= 0，解出y = 2后，得到一個新的解方程問題x2 - 2x + 4 = 4，從而求出x的值. 這個問題雖簡單，但它表現出部分與整體的關聯，以及部分和整體在某些情況下的相互轉換，這些都是數學整體思想的重要內容. 再舉一例：已知x1，x2是關于x的一元二次方程x2 + （2k + 1）x + k2 - ■ = 0的兩實數根，且x1 ≤ x2，求證：x2 ≤ ■. 先利用求根公式x2 = ■，換元令■ = y，用y表示出當k，從而得到用y表示x2的式子，進而求出x2的范圍. 學生熟練掌握用換元法解決問題后，如果能充分發揮整體思想的作用，可以省去換元的過程. 例如，分解因式（x2 - 3x + 2）（x2 - 3x - 4）- 72，可將x2 - 3x看做一個整體，直接得到（x2 - 3x）2 - 2（x2 - 3x） - 80 = （x2 - 3x + 8）（x2 - 3x -10），不需要換元法這樣的形式了.

數學整體思想還和其他眾多數學思想方法有密切聯系. 從大處看，如分類思想體現了整體按邏輯劃分，及整體內元素的量變導致質變的辯證關系；從小處看，因式分解中的分組分解法體現了整體與部分、部分與部分之間的關聯、影響，而且部分與部分之間的聯系影響到整個問題的解決. 諸如此類不再枚舉. 通過以上的分析和舉例，我們可以看到在初中數學教學過程中注重培養學生的整體思想應當是首要的，這對于充分發揮數學教育的整體功能、實現數學創造性教育和提高教學質量，都有重要作用.

【參考文獻】

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[2]涂榮豹.新編數學教學論.上海：華東師范大學出版社，2006.