如何解決一次函數圖像中的行程問題

解決圖像中的行程問題除了要掌握好路程，速度和時間三者之間的基本關系外，最重要的要學會由圖像來獲取信息，理清各變量之間的關系，然后根據題意選擇適當的數學工具，通過建模解決問題.下面以2013年中考試題為例加以分析.

一、函數圖像與航行問題牽手

例1 （2013年重慶）萬州某運輸公司的一艘輪船在長江上航行，往返于萬州、朝天門兩地.假設輪船在靜水中的速度不變，長江的水流速度不變，該輪船從萬州出發，逆水航行到朝天門，停留一段時間（卸貨、裝貨、加燃料等），又順水航行返回萬州.若該輪船從萬州出發后所用的時間為x（小時），輪船距萬州的距離為y（千米），則下列各圖形中，能夠反映y與x之間函數關系的大致圖像是（ ）.

解析 ① 逆水行駛，船逆流航行的速度 = 船在靜水中航行的速度 - 水流速度，y隨x的增大而緩慢增大；

② 靜止不動，y隨x的增加，不變；

③ 順水行駛，船順流航行的速度 = 船在靜水中航行的速度 + 水流速度，y隨x的增加快速減小. 結合圖像，應選C.

評析 船在整個航行過程中，共經歷三個階段：① 逆水行駛；② 靜止不動；③ 順水行駛.三條線段的斜率表示各自的速度，結合圖像判斷即可.

二、函數圖像與相遇問題同行

例2 （2013年宜昌）A，B兩地相距1100米，甲從A地出發，乙從B地出發，相向而行，甲比乙先出發2分鐘，乙出發7分鐘后與甲相遇.設甲、乙兩人相距y米，甲行進時間為t分鐘，y與t之間的函數關系式如圖所示.請你結合圖像探究：

（1）甲的行進速度為每分鐘 米，m = 分鐘；

（2）求直線PQ對應的函數表達式；

（3）求乙的行進速度.

解析 根據圖像可知甲的行進速度為（1100 - 980） ÷ 2 = 60（米/分），m = 2 + 7 = 9（分）；

（2）設PQ段函數解析式為y = kt + b，將P（0，1100），Q（2，980）代入易求PQ段函數解析式：y = -60t + 1100（0 ≤ t ≤ 2）；

（3）設乙的行進速度為x米/分.

60 × 9 + 7x = 1100，解得x = 80.

評析 本題求出甲的速度是解題的切入口.兩車相遇，根據甲9分鐘行駛的路程 + 乙x分鐘行駛的路程=1100米，列出方程是關鍵.

三、函數圖像與追及問題交匯

例3 （2013年淮安）甲、乙兩地之間有一條筆直的公路l，小明從甲地出發沿公路l步行前往乙地，同時小亮從乙地出發沿公路l騎自行車前往甲地，小亮到達甲地停留一段時間，原路原速返回，追上小明后兩人一起步行到乙地.設小明與甲地的距離為y1米，小亮與甲地的距離為y2米，小明與小亮之間的距離為s米，小明行走的時間為x分鐘.y1，y2與x之間的函數圖像如圖1，s與x之間的函數圖像（部分）如圖2.

（1）求小亮從乙地到甲地過程中y1（米）與x（分鐘）之間的函數關系式；

（2）求小亮從甲地返回到與小明相遇的過程中s（米）與x（分鐘）之間的函數關系式；

（3）在圖2中，補全整個過程中s（米）與x（分鐘）之間的函數圖像，并確定a的值.

解析 （1）設小亮從乙地到甲地過程中y1（米）與x（分鐘）之間的函數關系式為y1 = k1x + b，根據圖像就可以求出解析式：y1 = -200x + 2000.

（2）先根據函數圖像求出小明的速度為：2000 ÷ 40 = 50（米/分），小亮的速度為：2000 ÷ 10 = 200（米/分），

∴小亮從甲地追上小明的時間為24 × 50 ÷ （200 - 50） = 8（分），

∴ 24分鐘時兩人的距離為：s = 24 × 50 = 1200，32分鐘時，S = 0，設S與x之間的函數關系式為：s = kx + b，易求s = -150x + 4800.

（3）先根據相遇問題求出a = 2000 ÷ （200 + 50） = 8分鐘.

再由當x = 24時，s = 1200；當x = 32時，s = 0.描出相應的點就可以補全圖像.

如圖3：

評析 本題主要考查了追擊問題，另外還考查了待定系數法求一次函數的解析式，描點法畫函數圖像，解答時靈活運用路程、速度、時間之間的數量關系是關鍵.

上述幾個問題把函數圖像與行程問題巧妙結合，可謂精彩紛呈.通過尋找解題途徑，使問題得到解決，逐步培養了學生用函數圖像分析問題、解決問題的能力.