斯坦納—萊默斯定理新證

【摘要】 本文以簡捷的方法給斯坦納—萊默斯定理新的證明.

【關鍵詞】 斯坦納—萊默斯定理

斯坦納—萊默斯定理：若一個三角形的兩個內角的角平分線相等，則該三角形必定為等腰三角形.

這一命題的逆命題“等腰三角形兩底角的平分線長相等”早在二千多年前歐幾里得的《幾何原本》中就已作為定理，證明是很容易的. 但上述原命題在《幾何原本》中卻是只字未提，一直到1840年，萊默斯在他給斯圖姆的信中提出請求給出一個純幾何證明. 但斯圖姆未能解決，就向許多數學家提出這一問題. 首先給出證明的是瑞士幾何學家斯坦納，因而這一定理就稱為斯坦納-萊默斯定理.

一、斯坦納原證

如圖，已知△ABC中，兩內角的平分線BD = CE. 求證：AB = AC.

證明：作∠BDF = ∠BCE，并使DF = BC.

∵ BD = EC，

∴ △BDF ≌ △ECB，BF = BE，∠BEC = ∠DBF.

設∠ABD = ∠DBC = α，∠ACE = ∠ECB = β，

∠FBC = ∠BEC + α = 180° - 2α - β + α = 180° - （α + β），

∠CDF = ∠FDB + ∠CDB = β + 180° - 2β - α = 180° - （α + β），

∴ ∠FBC = ∠CDF，

∵ 2α + 2β < 180°，

∴ α + β < 90°，

∴ ∠FBC = ∠CDF > 90°

∴過C點作FB的垂線和過F點作CD的垂線必都在FB和CD的延長線上.

設垂足分別為G，H，∠HDF = ∠CBG，

∵ BC = DF，∴ Rt△CGB ≌ Rt△FHD，

∴ CG = FH，BC = FD.

連接CF，∵ CF = FC，FH = CG，

∴ Rt△CGF ≌ △FHC（HL），∴ FG = CH，

又 ∵ BG = DH，∴ BF = CD，

又 ∵ BF = BE，

∴ CD = BE，∵ BE = CD，BC = CB，EC = DB，

∴ △BEC ≌ △CDB，∴ ∠ABC = ∠ACB

∴ AB = AC.

二、新 證

如圖，已知△ABC中，兩內角的平分線BD = CE. 求證：AB = AC.

∠ACD = 19.99°

∠FBE = 19.99°

k = 12.00 cm

2 = 12.00 cm

證明：

若AB < AC，∴ ∠ABC > ∠ACB（大邊對大角）.

∵ BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，

∴ ∠ABE = ∠CBE，∠2 = ∠BCD，

∴ ∠ABE > ∠2，

∴ 可作∠1 = ∠2，

使BF交AC于F，

∴ ∠FBC > ∠ACB，

∴ BF < CF，

∴ 在AC上取一點G，使CG = BF時G在線段CF上，

過G點作GH∥BF，

∴ ∠3 = ∠4.

∵ 在△BFE與△HGC中，

∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，CG = BF，

∴ △BFE ≌ △HGC，∴ CH = BE.

∵ CD > CH，

∴ CD > BE，與題中BE = CD矛盾，

∴ AB < AC不成立.

同理可證，

∴ AB > AC不成立，

∴ AB = AC.

三、方法與總結

1. 很明顯，新的證法相對簡單，在證明AB = AC時使用了排除法，AB與AC之間的數量關系只可能存在大于、小于和等于，排除前兩者也可證明結論的正確.

2. 對于直接證明困難的幾何證明題可以采用反證法，并與排除法結合，來解決一些復雜的問題. 新證法中假設AB < AC，若證明結果與條件相符可證明結論錯誤，若不相符就說明AB ≮ AC，達到排除的目的.

【參考文獻】

[1]http：//baike.baidu.com/view/2539884.htm.