培養學生的數學語言表述能力對教師的要求

【摘要】 數學學科一直是很多學生在學習上的瓶頸，盡管下了很大的工夫，但收效甚微. 究其原因，是沒有弄懂數學這門學科的語言. 本文旨在探討在有效提升學生數學語言的表述能力方面對教師的要求.

【關鍵詞】 數學教學；數學語言；教學方法

一、培養學生數學語言能力需要教師準確揭示知識內涵

（一）準確揭示生活語言與數學語言的區別

數學來源于生活，但又不同于生活.一些數學問題在進行表述時，往往有其特定的生活背景.例如人教版小學一年級（上）“認識時鐘”內容中有“三時過幾時是四時？”這個問題，在教學實踐中發現很多小學生不理解這個題目的含義.我們知道，“過”是一個生活術語，在講授這個問題時，如借助于電腦動畫視頻進行演示，可以很好地突破這個難點.事實正是如此，在老師進行動畫演示后，很多學生明白了“過”與前面學習的“加法”是對應的，即“3 + ？= 4”.進入中學后，運算已逐步從數的運算過渡到式的運算，在解決實際問題時，具體數字運算的背后，往往隱藏著式的運算.例如用含有字母的式子可以表示實際問題中的數量關系.

（二）準確揭示數學概念、符號等的本質

很多七年級學生被“絕對值”折磨得暈頭轉向，其實，可以通俗地將“絕對值”理解為距離，例如某兩個數差的絕對值，即為數軸上這兩個數對應點之間的距離.再例如求■的平方根，一些學生回答“±4”，究其原因，是對“■”的含義沒能理解，他們把“16”和“■”混為一談了.

（三）準確揭示數學文字表述語義

1. 語言表述的順序

數學語言在表述上要求準確、簡潔，不能出現內涵不清或外延模糊的概念，不能出現似是而非的命題，一字之差或者前后顛倒，往往意義上完全不同. 如解方程與方程的解，軸對稱與對稱軸，“都不是”和“不都是”，“a與b的和的2倍”與“a與b的2倍的和”，“a與b的絕對值的差”與“a與b的差的絕對值”等.

2. 語言表述的含義

很多學生不能正確解題，重要原因之一是對數學語言所描述的對象不能準確理解或不能有效轉化，如“增加到”與“增加了”的區別，對于關聯詞“或”的理解，很多同學存在誤區.如a = 0或b = 0，初學者往往認為是二者必居其一，即要么a = 0但b ≠ 0，要么b = 0但a ≠ 0，而遺漏了另外一種情況，即a = 0且b = 0.造成遺漏的重要原因是與語文教學中的“或”的含義混淆了.下面再舉兩例.

例1 已知一個數的平方根為a + 2與2a - 11，則這個數為 .

分析 一部分學生錯誤的原因是對教材中關于平方根性質敘述的文字語言不能正確轉化為符號語言，即不會寫成（a + 2） + （2a - 11） = 0；另一部分學生是把題目要求理解成求a了，從而也導致了錯誤.

例2 已知∠ABC = 50°，點D在∠ABC的內部，作DE∥AB，DF∥BC，則∠EDF的度數為 .

分析 角是由有公共端點的兩條射線組成的，大多數同學在解這道題時，由于沒有考慮到射線的方向問題，從而只得出了下列情況中的一種結果，導致結論不完整.

分析 教學中發現學生出現以下錯誤：

（1）根本不懂“用含x的式子表示y”這句話的含義；

本題的實質是寫成y = ax + b的形式，是代入法解二元一次方程組的基本要求，是整體代換的初級形式.教學中可分兩步走，一是分離，即含x，y兩個未知數的項分別位于等號的左右兩邊，二是將y的系數化為1.

（四）準確識別圖形語言

很多學生在學習幾何時，對于圖形的變化應接不暇，更別談嚴謹推理了.實際上，每一部分幾何內容都有一些基本的幾何圖形，如果能夠掌握它們，對于提高幾何學習效率是大有裨益的.如人教版七年級下冊（2012.10第一版）“相交線與平行線”中，除了基本的“F”，“Z”及“U”形狀外，還有形狀“M”比較常見.

例4 在平面直角坐標系中，D（0，-3），M（4，-3），Rt△ABC的直角邊AC，BC與x軸分別相交于O，G兩點，與直線DM分別相交于E，F兩點.將Rt△ABC如圖位置擺放，請寫出∠CEF與∠AOG之間的等量關系.

分析 對于剛接觸幾何的初一學生來說，本題對他們有一定的難度，主要是因為該題線段較多，無法從復雜的幾何圖形中識別出基本的常見圖形“M”.若把坐標系移開，“M”形狀就顯而易見了（見圖1），則可得到

∠CEF = 180° - ∠2 = 180° - （90° - ∠1）

= 90° + ∠1 = 90° + ∠AOG.

二、培養學生數學語言能力需要教師準確建構知識體系

數學語言通常以數學知識為載體，數學知識的呈現方式是由淺入深的.學生學習數學感覺困難，一個重要原因是不能將所學前后知識關聯，他們讓所學知識成了一些孤立的點，作為教師就是要幫助學生將這些孤立的點聯系起來，讓他們的基本功更加扎實，對進一步學習數學更加充滿信心.

例5 果園有蘋果樹120棵，梨樹的棵數是蘋果樹的2倍.

分析 這是小學中低年級的一道簡單的倍數問題.把蘋果數看成一倍數，梨樹看成幾倍數（倍數是整數倍數）.其數量關系是：幾倍數數據 = 一倍數數據 × 倍數，即梨樹棵數 = 蘋果樹棵數 × 倍數.

則梨樹棵數為：120 × 2 = 240（棵）.

（2）看圖列式并解答.

分析一 這是人教版六年級上冊數學老師布置的一道練習題，初看起來，這道題似乎跟上題沒有聯系，但細細深究，它的背景實質是小學中低年級的一倍數和幾倍數問題.

本題可理解為：已知幾倍數（倍數是分數倍數），要求一倍數. 本題的數量關系是：幾倍數數據 ÷ 倍數 = 一倍數數據.

知識是不斷變化的，解題方法也有更新，但其數量關系沒有變化.教師若能從不同角度、不同層面解釋同一問題，客觀上不僅加強了學生對于基礎知識的理解，也促進了學生數學語言能力的提升.

三、培養學生數學語言能力需要教師注重解題轉換訓練

解題教學中的數形結合轉換訓練往往能加深學生對知識的理解及有效提高學生的解題效率.

例6 若a > 0，且b > a + c.求證：方程ax2 + bx + c = 0有兩個相異實數根.

解題思路 傳統的解題思路通常為Δ = b2 - 4ac > 0，但是這樣的解題思路在運算時十分的困難，對此，我們可以充分運用數形結合的辦法.這道題涉及二次函數與二次方程的關系，在解題的時候，我們可以將“二次方程有兩個相異的實根”賦予幾何意義，即“二次函數的圖像與x軸有兩個交點”.由于a > 0，拋物線開口向上，因此又可以認為是“二次函數的圖像有一部分位于x軸的下方”，翻譯成代數命題則為“二次函數至少在某一點上的函數值小于0”.

考查函數y = ax2 + bx + c，因為a > 0，所以此拋物線開口向上.又因為b > a + c，即a - b + c < 0，所以當x = -1時，二次函數的值y = a - b + c < 0. 故拋物線與x軸有兩個交點，從而方程有兩個不等實根.

教師若有針對性地對學生進行數學語言訓練，使學生的思維清晰，印象深刻，我們有理由相信，通過努力，學生的數學語言能力一定會長足發展.