數(shù)學(xué)語言抽象性的翻譯

【摘要】 數(shù)學(xué)學(xué)科的一個特征是具有高度的抽象性，正是這種抽象性讓人感到數(shù)學(xué)難學(xué)，難教，本文試圖就數(shù)學(xué)的抽象性發(fā)表自己的一些淺見，就如何降低抽象程度提出自己的一些做法.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)的抽象性；具體化

數(shù)學(xué)作為研究現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，其內(nèi)容已舍棄了事物本身的一切屬性，只保留了事物量的關(guān)系和物體在空間的存在形式，它是數(shù)量關(guān)系和空間形式高度抽象概括的結(jié)果. 因而，數(shù)學(xué)這門學(xué)科具有非常強的邏輯性，高度的概括性和廣泛的應(yīng)用性. 學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)之所以感到難學(xué)，原因固然是多方面的，但是，一個重要的原因就是數(shù)學(xué)的抽象性. 所謂抽象就是在思想中分出事物的一些屬性和聯(lián)系而撇開另一些屬性和聯(lián)系的過程. 抽象有助于我們撇開各種次要的影響，抽取事物的主要的、本質(zhì)的特征、并在“純粹的”形式中單獨地考察它們，從而確定這些事物的發(fā)展規(guī)律. 對于數(shù)學(xué)，抽象主要包括兩方面的內(nèi)容：數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象，圖形與圖形關(guān)系的抽象. 其中關(guān)系是重要的，正如亞里士多德所說：數(shù)學(xué)家用抽象的方法對事物進(jìn)行研究，去掉感性的東西，剩下的只有數(shù)量和關(guān)系. 數(shù)學(xué)以高度抽象的形式出現(xiàn). 數(shù)學(xué)的抽象性體現(xiàn)在概念的抽象性，數(shù)學(xué)符號，語言的抽象性，解決問題方法的抽象性等眾多的方面上. 而且數(shù)學(xué)的抽象性是逐級抽象，下一次的抽象是以前一次的抽象材料為具體背景，因而高度的抽象必然有高度的概括性，因而帶來高度抽象性的數(shù)學(xué)語言. 正是這種抽象性，使得學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)畏懼三分. 毫無疑問，解決之道是將這種高度抽象性的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行翻譯，也就是要用通俗的語言進(jìn)行描述，用形象生動的事例進(jìn)行展示，降低其抽象程度，以便能讓學(xué)生接受. 具體來說就是在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)該通過抽象概念形象化、抽象符號具體化、抽象問題情境化、抽象方法直觀化、抽象表述通俗化等多種手段來適度降低其抽象程度.

一、數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)

概念產(chǎn)生于現(xiàn)實生活和生產(chǎn)實踐的眾多事例基礎(chǔ)之上，然后拋棄他們的各自差異，抽象和概括出他們的共性. 通過抽象得到數(shù)學(xué)的基本概念， 這種抽象是一種從感性具體上升到理性具體的思維過程，所以對數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)應(yīng)該從理性具體還原到感性具體，其次，對概念中的關(guān)鍵字詞的內(nèi)涵和外延要講清楚. 例如，對于直線概念，就要從學(xué)生常見并可以理解的實際背景出發(fā)，如從拉緊的線，筆直的旗桿和電線桿等事物中抽象出這個概念，說明直線概念是從許多實際原型中抽象出來的一個數(shù)學(xué)概念，但不要使這個概念的教學(xué)變成對直線的某一具體背景的探討. 不討論它的長短、粗細(xì)等各個個體的差異，只討論他們的共性.

二、數(shù)學(xué)語言，符號與具體化的互化

數(shù)學(xué)語言是表達(dá)數(shù)學(xué)思想的專門語言，具有抽象性、準(zhǔn)確性、簡約性和形式化等特點， 數(shù)學(xué)語言分為符號語言、文字語言和圖表語言，這三類語言之間相互轉(zhuǎn)換，這三種語言在數(shù)學(xué)中廣泛存在，它們各有自己的特點：自然語言是一般性的描述，通俗易懂；符號語言簡捷，但比較抽象，不易被理解，符號語言也是狹義上的數(shù)學(xué)語言；而圖像語言直觀明了. 根據(jù)它們之間的關(guān)系，就可以找到降低抽象性的途徑，具體來講，符號語言可具體化為自然語言，或者是轉(zhuǎn)化為圖像語言，例如，證明：對于任意實數(shù)x，y，不等式■ + ■ ≥ ■成立. 如果單純從不等式證明的角度去思考，這個問題有些麻煩. 如果對兩點間距離公式熟悉的話，左邊兩個根式都可以看成是兩點間距離，問題就迎刃而解了，用直觀形象的圖像語言表達(dá)符號語言，借助于式的邏輯推理和形的直觀特性求解，即所謂的數(shù)形結(jié)合. 這個事例是將符號語言具體化為自然語言，或者是轉(zhuǎn)化為圖像語言，反之，也可以從具體化的情況逐步過渡到抽象，例如，已知函數(shù)f（x） = 2x - 3，求f（f（x））. 有些學(xué)生就不知道怎么做，之所以出現(xiàn)這個問題，是由于學(xué)生對函數(shù)y = f（x）概念不清楚，對于函數(shù)符號f（x），教師可以從以下幾個方面引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行意義理解. 第一，理解基本含義. f（x）是以x為自變量的一個函數(shù)，表示的是一個映射或?qū)?yīng)關(guān)系f：x→f（x）. 當(dāng)f（x） = 2x - 3（x∈R），x=a→f（a） = 2a - 3. f（a）是函數(shù)在a處的函數(shù)值. 第二，增強對“對應(yīng)”的理解. f（x）表示的是括號中的對象與對應(yīng)對象的一種對應(yīng)關(guān)系，不管括號中的對象（自變量）取什么值，與其對應(yīng)的都是在對應(yīng)關(guān)系結(jié)構(gòu)（如果關(guān)系是可以用數(shù)學(xué)式子表示的）中用這個值代替對象而得的值. 如“x + 1”對應(yīng)的不是f（x） + 1，而是f（x + 1） = 2（x + 1） - 3. 在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生思考f（1） = ？，f（2） = ？， f（a） = ？， f（m + 1） = ？…，f（f（x）） = ？，逐階由具體過渡到抽象.

三、數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)語言的通俗化

數(shù)學(xué)語言及其自然語言之間的相互轉(zhuǎn)換溝通是提高數(shù)學(xué)解題能力的正確途徑. 是尋求有效解題途徑的方式. 數(shù)學(xué)中每一個符號所表示的不是學(xué)生已經(jīng)知道的日常觀念，而是一個確定的數(shù)學(xué)概念，盡管它來源于現(xiàn)實世界的生產(chǎn)實踐，但經(jīng)過了多次抽象，對學(xué)生來說，就顯得有點高深，心理距離就遠(yuǎn)了. 自然語言是學(xué)生熟悉的，用這些語言來表達(dá)的事物，學(xué)生感到親近，也容易理解. 所以，數(shù)學(xué)教師應(yīng)注意以自然語言為之解釋，即將數(shù)學(xué)語言譯為自然語言，也即通常說的“通俗化”，以幫助學(xué)生更好地理解. 例如，已知函數(shù)f（x） = x3 - 3x2 - 9x + 8，x∈[-2，4]，滿足？坌x1，x2∈[-2，4]，都有不等式|f（x1） - f（x2）| ≤ m成立，求m的最小值. 許多學(xué)生對題目中的條件“？坌x1，x2∈[-2，4]，都有不等式|f（x1） - f（x2）| ≤ m成立”表示什么意思不明白，將數(shù)學(xué)符號翻譯成自然語言：對于區(qū)間[-2，4]內(nèi)的任意兩個變量x1，x2它們對應(yīng)的函數(shù)值f（x1），f（x2）之差的絕對值總是不超過實數(shù)m，問：m應(yīng)該是什么樣的數(shù)？將符號語言翻譯成數(shù)學(xué)語言，固然降低了一些抽象性，但是其中涉及一些數(shù)學(xué)概念，數(shù)量關(guān)系，這些數(shù)學(xué)概念，數(shù)量關(guān)系意味著什么？如何轉(zhuǎn)化？也是讓一些學(xué)生頭疼，再將抽象性進(jìn)行通俗化，舉身邊事例進(jìn)行類比，某班前幾天進(jìn)行一次數(shù)學(xué)檢測，每個人都有自己的成績，下面進(jìn)行類比，區(qū)間[-2，4]是數(shù)的集合可以看成是某個班級，變量x1看作是班級的學(xué)生，f（x1）看作是這名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，那么原題中的條件就可以這樣來理解了：對于班級里的任意兩名學(xué)生來說，他們的成績之差總是不超過某個數(shù)m，那么這個是什么含義呢？顯然滿足這個條件的情況只能是這樣的：只有班級中最好與最差成績之差不超過某個數(shù)m時，那么班級里的任意兩名學(xué)生的成績之差才會不超過某個數(shù)m，所以原題中條件就轉(zhuǎn)化為f（x）max - f（x）min ≤ m.

四、抽象解題方式的通俗化

不僅抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號可以通俗化，同樣抽象的數(shù)學(xué)思想，解題方式也可以通俗化. 例如，數(shù)學(xué)歸納法，我們知道數(shù)學(xué)歸納法一般用于解決與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)歸納法解決問題時要分成兩步，其中第二步，假設(shè)當(dāng)n = k時，命題成立，下面證明當(dāng)n = k + 1時命題也成立. 許多學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法原理不清楚，對“假設(shè)”這個詞也感到困惑，教師講解這個詞也費勁，這個時候，可以通過講述這樣一個淺顯的事例來說明數(shù)學(xué)歸納法的原理，同時順便就能理解“假設(shè)”這個詞的含義，一個人想攀登上有1000個臺階的山峰，那么，他具備什么條件就可以到達(dá)峰頂呢？滿足兩個條件就行，第一個條件，他要有能力邁上第一臺階. 第二個條件，他能邁上第一個臺階就要有能力邁上第二個臺階，能邁上第二個臺階就要有能力邁上第三個臺階，能邁上第三個臺階就要有能力邁上第四個臺階……一直持續(xù)下去，這第二個條件換種說法就是，假設(shè)他能邁上第k個臺階，就要求他能邁上第k + 1個臺階. 如此這樣的話，他就可以登上每一個臺階，登上山頂. 對照數(shù)學(xué)歸納法中兩個步驟，就不難理解了，對于所有自然數(shù)，命題都成立.

當(dāng)然，本文并非探討如何解題，而是探討如何降低學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難度. 如何降低數(shù)學(xué)的抽象程度呢？數(shù)學(xué)中種種解題方法，種種數(shù)學(xué)思想都應(yīng)該選擇一種讓學(xué)生可以接受的方式介紹，但是不管是哪種方式，降低抽象性是個原則. 筆者在此提出的一些淺見不過是掛一漏萬，希望是起個拋磚引玉的作用.

【參考文獻(xiàn)】

[1]史寧中.數(shù)學(xué)的抽象[J].東北師范大學(xué)學(xué)報，2008（5）.

[2]張楚廷.關(guān)于數(shù)學(xué)的抽象[J].湖南師范大學(xué)學(xué)報，1981（1）.