基于教材對比談中美高等數學教學過程中的一些差異

【摘 要】本文結合中美高等數學教材對中美兩國的高等數學教學差異進行了比較，從教學任務、教學內容、教學手段和教學方法等方面闡述了幾點體會。

【關鍵詞】高等數學 教材 教學過程 差異 中美兩國

【中圖分類號】G649 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2013）29-0003-03

筆者有幸被上海政法學院送到美國加州長灘州立大學參加跨學科的青年骨干教師研修班，走進美國大學課堂，親身體驗了中美教學文化的差異，包括教學過程、教材、師生互動、學生學習成績的評定等。通過此次美國之行，以及參閱相關的國內參考文獻，本人對所從事的高等數學教學工作有了進一步的認識。

我國的高等教育受傳統教育觀念的影響，主張教師在教學中起主體作用，學生被動地接受知識，基礎知識扎實，但靈活性較差。歷史上實行科舉考試制度，現今實行高考，在這樣的情況下，學生逐漸形成了“追求高分”的學習目標，忽視了創新能力和數學思維能力的培養。

美國大學的課堂教學崇尚自由民主的理念，主張學生的自由發展，張揚個性，以學生發展為本，講究獨立思考，質疑一切。提倡讓學生經歷獲得數學知識的過程，強調理解性的學習。美國的數學教育是培養創新能力的教育，學少悟多。

兩種不同的教育觀，導致中美兩國在教學活動的各個方面，包括教學任務、教學內容、教學手段和教學方法中都存在鮮明差異。這些差異在中美兩國所使用的教材中都有所體現。美國大學里一般采用James編寫的微積分，Thomas編寫的微積分，以及由哈佛大學組織編寫的微積分教材（簡稱為國外教材）比較多，國內一般采用同濟大學數學教研室編寫的高等數學，分為上、下冊（簡稱為國內教材）。

一 教學任務

數學教學中的任務分為結構發散型的任務和結構嚴謹型的任務。結構發散型任務的目的主要是培養學生數學綜合實際應用的能力，是為了完成某個真實生活中的任務而設計的。現實生活中有些數學活動往往不止涉及一個內容（也許會涉及多個數學分支或跨學科的內容），因而從學習角度來看，結構發散型的任務沒有集中和嚴謹的數學知識結構。相比之下，結構嚴謹型任務的目的雖然也是提高學生運用數學

* 基金項目：上海政法學院校級青年科研基金（編號：QZ20121009）

體悟誠信教育，在實踐中養成誠信品格。

4.加強和完善貧困生誠信制度建設

要健全對貧困生的管理和獎懲制度，揚誠信懲失約，讓誠信的人得到褒揚，讓失信的人付出應有的代價，確保制度的嚴肅性和公平性。在誠信建設的問題上，“把重心放在制度道德而非個人道德上會更加有效”，“用利益約束的制度體系建設，支持誠信者的利益，打擊失信者的利益，遠比在道德上頌揚或者指責他們更有效”。中國人民大學教授葛晨虹認為誠信建設有三個重要環節：教育、制度和管理。教育只是其中之一，只有其他兩個環節跟上，教育才會產生實效性。若誠信不能得到利益保證，欺詐不能得到應有制裁，誠信將會遭人踐踏，盡管它是道德的、正義的、崇高的。同時，要以互聯網為依托，積極促進貧困生誠信檔案管理的電子化、網絡化和科學化。因此，高校加強和完善貧困生誠信制度的建設遠比搞幾次講座或誠信簽名等更有效、更持久。

四 結束語

貧困大學生的誠信缺失問題對高校人才的培養和資助育人工作是一個嚴峻的挑戰和緊迫的課題，貧困生誠信缺失是由多種原因導致的，其根本原因是制度建設的問題。在市場經濟體制下，誠信不僅是道德自律，即個人道德問題，更多的是道德他律，即社會道德和公共道德問題。貧困大學生誠信教育和建設必須以社會誠信建設為先導，校園貧困生誠信制度建設為保證，結合個人自律和他律約束，積極發揮多樣化的誠信教育的力量，要打誠信建設“組合拳”。只有制度、教育和管理三管齊下，大學校園才會彌漫誠信之風。

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〔責任編輯：龐遠燕〕

知識的能力，但它的另外一個目的是在某個數學概念或定理本身，重點培養學生對概念、定理運用的了解。換言之，結構嚴謹型的任務把掌握概念或定理的內容作為完成任務的目標。

從純數學理論角度看，國內外教材內容基本相同，都是高等數學中的經典內容，是應用最廣泛的內容，當然也應該是學生必須具備的經典微積分知識。

實際應用的問題在我國教材中的篇幅較少，只涉及微積分在近似計算等一些簡單的實際應用和積分學在物理、力學方面的應用，很少涉及其他領域。這就說明，我國在數學教學的實踐中更偏向于結構嚴謹型的任務。教材中更多的是應用定理和公式解決純數學的問題，講究解題的技巧，這樣能夠培養學生的邏輯思維能力，但解題的過程往往比較抽象、難學、枯燥、易忘，學生感覺不到數學的實際應用價值，甚至有些學生會認為數學無用或者學了不會用，因此學習積極性不高，甚至厭惡數學。

國外教材的實用性相對較強，教材引入了大量實際應用問題，不僅數量多而且覆蓋面廣，涉及幾何、物理、建筑、醫學、生物、經濟、金融、軍事、政治、社會發展等方面。教材編寫原則是“阿基米德方法”：正式的定義與方法是根據對實際問題的調查研究而得出的。堅持科學研究精神，實施問題驅動的教學原則。教材堅持從現實的實際應用問題出發，由此推導出一般性的結果。選出的實際問題是學生可以理解的問題，是能夠作為驅動源的問題。強調將復雜問題歸納為簡單規則和步驟的應用能力的培養。因此，美國數學教學偏向于結構發散型的任務。

二 教學內容

1.數學概念

數學是由概念與命題等內容組成的知識體系，是一門以抽象思維為主的學科，概念是這種思維的語言。概念是數學課教學過程中一項至關重要的內容，是基礎知識和基本技能教學的核心。對于大學生來說，在大學數學的學習過程中，正確理解概念，是掌握數學基礎知識的前提條件，是學好數學最重要的一環。而運用數學知識解決問題的能力又是檢驗學生運用概念熟練程度的重要標志。

我國在教學過程中非常注重概念的嚴謹性。國內教材的特點是強調概念、理論的嚴謹，通常先給出嚴格的概念，最后才給出應用的例子，遵循的是從一般到特殊的過程。例如，微分概念的引入，國內教材介紹的順序一般是先定義什么是“可微分”，然后給出“微分”的定義：微分是函數增量的線性主部，再指出一元函數可導即可微，而且在可微的條件下，推出函數的微分等于導數與自變量微分的乘積，最后作為微分的應用，給出微分在近似數值計算中的幾個非常簡單的例子。定義微分的過程是非常嚴謹的，可是，抽象的概念，對于大多數工科學生來說，難以深入理解，因而也難以加深記憶，隨著微分計算題的練習，很多同學很快忘記了教材中所定義的這些概念，關于微分的理解只剩下導數與自變量微分的乘積。

國外教材在講述這部分內容時，順序剛好相反，先從幾何直觀入手，借助曲線上一點附近可以用切線來近似代替曲線，引入線性逼近思想，然后通過一系列數學、物理等方面的例子加深對線性逼近的討論，最后從前面的例子中提煉出微分的概念。而且直接把微分定義成導數與自變量微分的乘積，回避了“可微分”的定義以及“可微等價于可導”這個定理的證明。相比之下，美國教材更重視引入數學的思想，不拘泥于數學概念以及邏輯上的嚴謹，有時候書中出現的概念可能是不嚴格的，但在數學上并沒有錯誤。把加強解決問題的方法和技能的訓練作為重點，鼓勵學生直觀形象地思考問題。由于直觀的、面向應用的內容更多，學生理解起來相對容易。

2.數學史

數學史是數學發展的歷史，是數學概念、方法、思想的起源，也是數學家們刻苦勤奮、鍥而不舍地追求真理，以生命和熱情譜寫的壯麗詩篇。作為大學生，應當對數學史有所了解。數學史不是簡單的數學家的故事集和數學成果史，還應包括大量的問題、猜想、謬論和豐富的思想方法、認識論等。

國內教材中，更多地注重定理的推理證明和定理的應用，不會注明定理的創始人。但是在國外教材中，無論是什么樣的定理，幾乎所有定理都會把該定理的發明人列在該定理之前。例如：在講到多元函數的混合導數時，有這樣一個定理：“假設二元函數的兩個混合二階偏導函數連續，則這兩個混合二階偏導數相等”，國外教材中詳細給出了該定理是法國數學家Alexis Clairaut（17l3～1765年）給出的。像這樣的小細節，國內教材一般不追究定理的來源，這就形成一種思維定勢，學生只接受定理，不會追根溯源，尋找發現者當初的發現過程，也就失去了一種探究的機會。

3.數學建模思想

建立數學模型的過程叫做數學建模，數學模型是“對現實世界的某一特定對象，為了某個特定目的，作出一些重要的簡化和假設，運用適當的數學工具得到的一個數學結構，它或者能解釋特定現象的現實性態，或者能預測對象的未來狀況，或者能提供處理對象的最優決策或控制”。數學模型的對象是客觀世界中的實際問題，數學模型本身是一個數學結構，可以是一個式子，也可以是一個圖表。數學模型的作用是對現象進行解釋、預測、提供決策和控制。

在微積分的早期學習中，滲透數學建模的思想和方法是非常重要的，不僅能使學生獲得用數學建模的思想和方法以及解決問題的初步能力、提高學習微積分和數學知識的興趣和積極性，更能使學生在后續專業課程的學習中更加積極主動。怎樣把數學建模的思想和方法有機地融入微積分的課程，是一項迫切而又艱巨的任務。困難之一就是數學建模解決各領域的專業實際問題，往往需要比較高深的數學方法。美國教材努力精選只涉及較為初等的數學知識而又能體現數學建模思想的案例，這樣就能吸引學生。數學建模思想滲透在教材的各個地方。例如，介紹復合函數的概念，國外教材是這樣介紹的：如果石油從一艘油輪中泄出，那么，泄出石油的表面積隨時間的增加而擴大。假定油面始終保持圓形（事實上，由于風、海潮以及海岸線位置等原因，情況并非如此）。油的表面積是半徑的函數A=f（r），半徑是時間的函數。如果半徑r=g（t），油的面積可以表示為時間的函數。我們就說A是一個復合函數，或是一個“函數的函數”，記作A=f（g（t））。同時，國外教材還配備了大量的課后習題，要求學生建模完成，所選的例題只涉及學生所學的微積分知識，不會涉及較為高深的知識，因此更能激發學生的興趣。

三 教學方法和教學手段

1.啟發式教學

每一個概念的產生都有著豐富的知識背景，摒棄這些背景，直接灌輸給學生一連串的概念是我國傳統教學模式中常見的做法，這種做法往往使學生感到茫然，放棄了培養學生概括能力的極好機會。國內的教材在介紹概念的時候，大多數都是直接用ε～δ語言引入，由于概念本身具有嚴密性、抽象性和明確規定性，傳統教學中比較重視培養思維的邏輯性和精確性，在方式上以“告訴”為主，讓學生“接受”新概念，置學生于被動的地位，思維呈依賴性，這不利于人才培養。

國外教材的一個特點是注重啟發性，通過問題啟發學生，使學生帶著問題進行學習和思考，無論教材的教學內容還是配備的習題，都有大量富于啟發性的討論和內容。特別是其中的應用和探索課題非常具有啟發性，精心設計，教學生如何應用數學知識解決實際問題。如，國外教材在正式開始之前，先有“微積分簡介（A Preview of Calculus）”，通過微積分中的典型問題，如面積問題、切線問題、數列的極限、數列的和等對微積分處理問題的思想和方法作一介紹，緊接著提出一系列與現實生活密切相關的、有趣的問題，如何解釋超市貨架上易拉罐的形狀？電影院里看電影的最佳位置在哪里？假如一個玻璃彈子、一個壁球、一根鋼棒、一根鉛管同時從斜坡滾下，誰最先到底？……學生帶著這些問題學習微積分，就會時時想著該如何用所學的微積分知識解決這些問題？所學的微積分知識還能解決什么其他問題？這樣的問題不僅清楚地向學生表明：微積分就在我們身邊，解決實際問題并不像人們想象的需要高深的數學知識，只要有心去想、去做，數學知識就能解決一些實際的問題。

2.分層次教學

在以專業分班授課的條件下，實施教學的過程中，普遍采用的方式在內容、難度上只能照顧大多數中等水平的學生，教學中會出現有些學生吃不飽，有些吃不了的現象，不能使不同層次水平的學生都滿意。因此可以考慮分層次教學的操作方法。

國外教材的各章節的教學內容一般都是給學生介紹最基本的概念，保證各個水平層次的學生都能夠理解。同時除了配置大量的練習題（Exercises）外，還配置了四種類型的小課題，它們是應用課題、探索課題、實驗課題和寫作課題。不僅習題數量大，而且類型多、編排層次分明，從最簡單的概念復習題到難度各異的計算題、證明題和應用題，一直到綜合性較強的探索研究題，這樣就滿足了不同層次水平學生的需求，達到了分層次的效果。

3.現代計算機輔助教學手段

在高等數學課程的教學過程中，應提倡和推行板書與多媒體輔助教學相結合的教學方式，充分發揮計算機在教學中的作用。如果板書較多，坐在后排的學生常?？床磺灏鍟吐牪磺褰處煹闹v授，在一定程度上影響了課堂教學質量。

同時，在高等數學的教學過程中運用多媒體，有助于提高學生的理解能力和應用數學方法的興趣。國外教材圖文并茂，教材附送的光盤可以提供教材中部分圖片。教材的正文和習題部分都插入了大量的圖片，有的是利用數學軟件制作而成，可以幫助學生更好地發現規律，同時又覺得生動有趣，閱讀時不感到枯燥。在某些例題與習題的解答中，有時會借助比較強大的專用數學軟件等來代替較為繁瑣的手工計算，讓學生可以專注于對數學知識的理解。而我國教材在這方面顯得比較欠缺，除了有些簡單的幾何圖形外，沒有體現現代化的技術手段。

四 結束語

通過上述比較可以看到，中美兩國在高等數學教育方面的確存在差異，不能籠統地認為哪一種好，兩者各有利弊。在今后的教學過程中應該保持我國教學方式中優良的地方，同時借鑒國外教學過程中的“質疑”精神，努力提高高等數學的教學質量。

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〔責任編輯：龐遠燕〕