例說“開發”教材

全日制義務教育數學課程標準指出：在教學活動中，要創造性地使用教材，積極開發，利用各種教學資源，為學生提供豐富多彩的學習素材。對于這一教學理念，筆者有兩點認識與體會：（1）開發教材是一個重要的課題、快樂的課題，也是一項艱巨的任務。（2）開發教材要從宏觀上把握，微觀上入手。特別要在教材的細節上下工夫，找到創造性使用教材的突破口，充分利用各種教學資源，為學生提供豐富多彩的學習素材。現列舉兩例，加以透析。

一 100的分離

分離是一種逆向思維，是一種解題策略，也是一種開拓與創新。

例1：把100分成兩部分，使第一個數加3，與第二個數減3的結果相等，這兩個數分別是多少？

這是北京師范大學版七年級上冊第176頁中的第3題，該題就是100的分離問題。根據題意容易求出100分離成47、53。然而，100是否可以分離成其他數呢？答案是肯定的。因此，我們可以利用這一教材資源為學生設置獨立思考、自主探究的空間。

本文已三次探索了100的分離問題，但該題仍有廣闊的開拓空間，還可以繼續設計問題，為學生設置獨立思考與自主探索的空間，讓學生在分離中提高思維品質與數學素質。在實際課堂教學中，教師應從具體數字引入，讓學生產生感性認識。然后，再借用字母進行分析探索。筆者在實際課堂教學中使用了這樣的方法，效果很好。

二 為什么差一定能被9整除

例2：隨便寫出一個十位數字與個位數字不相等的兩位數，把它的十位數字與個位數字對調后得到另一個兩位數，并用較大的兩位數減去較小的兩位數，所得差一定能被9整除嗎？為什么？

這是北京師范大學版七年級上冊第218頁的第17題，該題解答如下。

解：能。設隨便寫出的兩位數的十位數字為a，個位數字為b，不妨設a>b，則這個兩位數為（10a+b），把它的十位數字與個位數字對調后得到另一個兩位數為（10b+a）。

于是有A=（10a+b）-（10b+a）=10（a-1-b）+（10+b-a）。

因為差A的兩位數字之和為（a-1-b）+（10+b-a）=9，所以A能被9整除。即較大的兩位數減去較小的兩位數，所得差一定能被9整除。理由是“一個整數能被9整除的特征是：這個數的各位數字之和能被9整除。”

至此，例2得到圓滿解決。不過，例2是一個很好的教學資源，使人產生許多聯想。我們應“開發”這一教學資源，為學生設置獨立思考與自主探索的空間。

[聯想1]隨便寫出一個百位數字、十位數字、個位數字互不相等的三位數，把它的百位數字與個位數字對調后得到另一個三位數，并用較大的三位數減去較小的三位數，所得差一定能被9整除嗎？為什么？

解：能。設隨便寫出的三位數的百位數字為a，十位數字為b，個位數字為c，不妨設a>b>c，則這個三位數為（100a+10b+c），把它的百位數字與個位數字對調后得到另一個三位數為（100c+10b+a）。

于是有A=（100a+10b+c）-（100c+10b+a）=100（a-1-c）+10×9+（10+c-a）。

因為差A的三位數字之和為（a-1-c）+9+（10+c-a）=18，又因為18能被9整除，所以A能被9整除。即較大的三位數減去較小的三位數，所得差一定能被9整除。

[聯想2]任意寫出四個互不相同的數字，分別組成最大數和最小數，并用最大數減去最小數，所得差一定能被9整除嗎？為什么？

解：能。設任意寫出的四個互不相同的數字分別為a、b、c、d，不妨設a>b>c>d，則最大數為（1000a+100b+10c+d），最小數為（1000d+100c+10b+a）。

于是有A=（1000a+100b+10c+d）-（1000d+100c+10b+a）=1000（a-d）+100×（b-1-c）+10（9+c-b）+（10+d-a）。

因為差A的四位數字之和為（a-d）+（b-1-c）+（9+c-b）+（10+d-a）=18。又因為18能被9整除，所以A能被9整除。即最大數減去最小數，所得差一定能被9整除。

[聯想3]任意寫出五個互不相同的數字，分別組成最大數和最小數，并用最大數減去最小數，所得差一定能被9整除嗎？為什么？

解：能。設任意寫出的五個互不相同的數字分別為a、b、c、d、e，不妨設a>b>c>d>e，則最大數為（10000a+1000b+100c+10d+e），最小數為（10000e+1000d+100c+10b+a）。

于是有A=（10000a+1000b+100c+10d+e）-（10000e+1000d+100c+10b+a）=10000（a-e）+1000×（b-1-d）+100×9+10（9+d-b）+（10+e-a）。

因為差A的五位數字之和為（a-e）+（b-1-d）+9+（9+d-b）+（10+e-a）=27。又因為27能被9整除，所以A能被9整除。即最大數減去最小數，所得差一定能被9整除。

評注：例2是一個比較簡單的問題。在實際課堂教學中，筆者抓住這個問題進行聯想開發，收到很好效果。在課堂上，當筆者講完聯想1、聯想2之后，學生就自然想到了聯想3，還有本文沒有寫出來的六位數、七位數等問題。學生的這種聯想是由內向外的自我生長過程，所以是生機勃勃的，充滿了對數學的情感。同時也實現了教師設計的教學目標，體現了數學課程標準的精神。

“開發”教材的問題是教師的一項基本教研活動。“開發”教材工作做好了，就可以有效地培育學生思維的深刻性、發散性、靈活性和創造性，從而避免題海戰術，收到事半功倍的效果。為此，筆者提出兩點建議：（1）教師一定要有“開發”教材的意識。只要有了“開發”教材的意識，就能收到一定的效果。因為教材中的許多問題本身就具有一定的延伸空間，需要教師根據教學實際情況和學生實際情況不失時機地進行“開發”。（2）開發教材工作要從點點滴滴做起，不要把“開發”教材工作看做是驚天動地的創舉，也不要只停留在理論上。需要從具體問題入手，在教材的細節上下工夫，要追求實實在在的效果。這樣，才能承擔起人類靈魂工程師的使命，把教材用活，取得良好的教學效果。

〔責任編輯：范可〕