深入簡出，實現(xiàn)概念精加工

分數(shù)概念反映的是一種“關(guān)系認識”的思維方式，在小學(xué)階段主要分為兩個層次，第一層次是單個整體與部分的具象關(guān)系，第二層次是多個物體與部分的抽象關(guān)系。而三年級上冊第十單元的第一課時《認識分數(shù)》，是把單個的物體看作一個具象整體，把這個具象整體平均分成幾份，其中的一份是這個具象整體的幾分之一，即反映的是第一層次的關(guān)系，這是分數(shù)認識的基礎(chǔ)。相比較整數(shù)概念，分數(shù)的概念更為抽象，如果僅僅記憶或者操作這些符號化的概念，那么學(xué)生對幾分之一的認識只能停留在形式化的表層，這將對他們以后認識多個物體與部分的抽象關(guān)系造成困擾。所以，在一開始認識時，就應(yīng)該關(guān)注這個數(shù)學(xué)符號所蘊含的本質(zhì)屬性，對概念生成過程進行精加工。

一、概念教學(xué)的三次嘗試

第一次嘗試：忠于教材安排，按部就班開展教學(xué)。

首先，出示教材上的野餐情境，讓學(xué)生把4個蘋果、2瓶礦泉水、1個蛋糕分給兩個小朋友，根據(jù)分的情況揭示“平均分”，并讓學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)符號表示半個蛋糕，再借助古代人狩獵情境（兩個人捕捉到1只兔子）展示記錄半只兔子的符號變化情況。

然后，借助媒體演示，逐步揭示 的意義——把一個蛋糕平均分成兩份，每一份是它的 ，并適時板書，說明 的寫法，自學(xué)各部分名稱。接著讓學(xué)生在長方形、正方形、圓形、T恤、褲子的紙片上分一分，找到 并用斜線涂上顏色。

雖然整個教學(xué)過程尚顯順暢，但是在后面認識幾分之一的環(huán)節(jié)中，發(fā)現(xiàn)了幾個突出問題：孩子們利用不同形狀的紙片創(chuàng)造幾分之一時，有大約 的孩子不知道從何入手，有大約 的孩子把紙片平均分好后，不知道幾分之一在哪里；在交流“你是怎樣得到幾分之一”時，有部分學(xué)生不知道如何闡述。

經(jīng)過深入分析，主要原因在于分數(shù)概念認識單一化、形式化。在引入 的概念時，僅僅通過一個分蛋糕的情境，無法充分地在符號與現(xiàn)實意義之間建立對應(yīng)關(guān)系。后面的操作，就成為指令性行為下的模式化活動，這種活動只能建立抽象圖形和符號之間的連結(jié)，無法代替真實情境與符號的連結(jié)。學(xué)生就缺失了對“平均分”的深刻體驗，缺失了對 所表示的是單個整體與部分之間具象關(guān)系這一本質(zhì)內(nèi)涵的認識。

第二次嘗試：擴充背景材料，分類辨析開展教學(xué)。

首先，出示兩個小朋友分享一個蛋糕、一塊巧克力、一塊三明治的情境，依次用圓形、長方形、三角形紙片分別來代替上述三樣食品，讓學(xué)生動手分一分。然后，對學(xué)生出現(xiàn)的不同分法進行分類。選擇出“每人分得同樣多”的紙片，揭示“平均分”，并進一步提問：他們都被平均分成了幾份？這一份還滿“1”嗎？那可以用誰來表示呢？從而引出 ，揭示課題。接著依次判斷上述不同紙片上的陰影部分是否能用 表示，并提問：怎么都可以用 表示呢？他們有什么相同的地方？從而揭示出 的本質(zhì)：都是平均分成了兩份，涂色部分都是其中的一份。最后教學(xué)寫法，說明先劃一條橫線，表示平均分。然后讓學(xué)生猜想先寫橫線下的“2”，還是先寫橫線上的“1”，并說明理由（先要平均分成兩份，才能得到其中的一份），完成板書。

這一次教學(xué)，使探究“整體與部分”關(guān)系的背景材料變?yōu)閮蓚€小朋友分享一個蛋糕、一塊巧克力、一個三明治，學(xué)習(xí)資料的豐富，讓學(xué)生對 的體驗更為全面、深刻。另外，及時把形象的蛋糕、三明治、巧克力抽象為圓形、三角形、正方形的紙片進行“分一分”的操作，并對不同分法進行分類辨析，抽取出是平均分的那一部分材料的共有屬性——平均分成兩份，涂色部分是其中的一份，幫助學(xué)生加深對單個物體“平均分”的認識，也更完整地讓學(xué)生體驗 的生成過程。

然而，隨之而來也產(chǎn)生了新的問題，“分類”時耗費了太多時間，導(dǎo)致整個概念的建構(gòu)過程比較倉促。而造成分類時間過長的原因主要有二：第一，三年級學(xué)生的注意力以直觀感知為主，他們關(guān)注的往往是圖形中能夠直接刺激視覺的信息，如顏色、形狀、位置等，而“分的大小”是否相等所產(chǎn)生的刺激并不強烈。第二，“分的大小是否一樣”的本質(zhì)內(nèi)涵就是是否“平均分”，此時，學(xué)生的已有經(jīng)驗停留在多個物體的平均分上，對一個整體的平均分是初次接觸。

“分類辨析”其實忽視了學(xué)生學(xué)習(xí)的現(xiàn)實起點。學(xué)生雖然沒有“單個物體平均分”的體驗，但對平均分的認識并不是一張白紙，他們之所以在闡述分數(shù)意義時容易把“平均分”遺漏，并不是因為不懂平均分，很大程度上是一種語言表述的慣性遺忘，所以沒有必要以“分類”為手段，從頭感悟“平均分”。

第三次嘗試：精選教學(xué)事例，深入簡出開展教學(xué)。

首先，出示古人狩獵的故事：幾千年前，我們的祖先以打獵為生。這天有兩個人一起捕到了4只羚羊，2只小鹿，1只兔子，他們該怎么分配這些獵物才能使大家都滿意呢？讓學(xué)生分配獵物，并根據(jù)學(xué)生回答依次出示古人的記錄符號Ⅰ、 Ⅱ、 ，初步揭示“平均分”。然后，創(chuàng)設(shè)兩個小朋友分享一個蛋糕的情境，由對半個蛋糕的數(shù)學(xué)表示方法引出課題，并通過電腦演示不平均分的情形，辨析說明“古代人分東西要做到平均分，我們現(xiàn)在分蛋糕也要平均分”，逐步揭示“把一個蛋糕平均分成兩份，每份是它的 ”。接著創(chuàng)設(shè)兩個小朋友分享一根旺旺碎冰冰的情境（電腦演示平均分成兩份），探討“每個小朋友又能分到多少”，并思考“為什么也能用 表示”，揭示“把一根旺旺碎冰冰平均分成兩份，每份是它的 ”。之后學(xué)生思考“古代人畫的 這個符號表示什么意思”，揭示“把兔子平均分成兩份，每份是它的 ”。溝通現(xiàn)在的 和古時候的符號之間的聯(lián)系和區(qū)別，知道中間的橫線表示平均分。再教學(xué)分數(shù)的寫法，通過討論“畫出橫線后先寫橫線下的2，還是先寫橫線上的1”，溝通寫法和意義之間的聯(lián)系。自學(xué)分數(shù)各部分名稱。在圓形、長方形、正方形、等腰三角形、等腰梯形紙片中任選一張，折一折找出它的 ，畫上斜線并交流。

二、概念生成的方法

第三次的教學(xué)效果有了明顯提高，學(xué)生不僅能夠很快找出一個物體或者圖形的幾分之一，而且還能用自己的語言比較清晰地說出幾分之一的意義，這主要源于在教學(xué)策略上的幾個改進。

1.精心創(chuàng)設(shè)生產(chǎn)、生活事例情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)分數(shù)的心理需求。和第二次教學(xué)嘗試相比，這一次對研究 的三個事例進行了重新選擇——來自古代狩獵的情境，來自書本提供的分蛋糕的事例，來自學(xué)生實際生活中經(jīng)常遇到的分旺旺碎冰冰的場景。從古到今，從生產(chǎn)到生活，讓學(xué)生的視野在跨越時空信息的刺激下得到拓展，這樣， 就不僅是半只兔子、半個蛋糕、半根旺旺碎冰冰了，還可能是半個蘋果、半個西瓜等等，一種進一步研究分數(shù)本質(zhì)內(nèi)涵的心理需求被充分激發(fā)，同時滲透分數(shù)的演變進程，幫助學(xué)生積淀起數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵。

2.提供大量的感性材料，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“過程抽象”，形成對分數(shù)意義深刻、全面的認識。除了上述的現(xiàn)實事例外，本次教學(xué)行為中還提供了長方形、正方形、圓形、等腰三角形、等腰梯形等操作紙片，甚至在認識幾分之一時，還呈現(xiàn)了三葉草、五角星、黑板報版面、QQ農(nóng)場等讓學(xué)生來想象幾分之一，大量的信息，采用做、說、想等不同的方式，一次次地抽離物體的外在屬性，深入挖掘分數(shù)的本質(zhì)內(nèi)涵，最終形成對分數(shù)所表示的單個整體與部分的具象關(guān)系（即把一個物體或圖形平均分成幾份，每份是原來的幾分之一）清晰而簡單的認識，并在一次次敘說中，學(xué)會用比較規(guī)范的數(shù)學(xué)語言把這種認識轉(zhuǎn)化為外在化的表達。

3.巧妙遷移，有效滲透單個物體的“平均分”。僅在上述教學(xué)片斷中，就有4次滲透了平均分。第一次是由“每人兩只羚羊就是每人分得同樣多”，喚起學(xué)生已有的平均分經(jīng)驗。第二次借助半個蛋糕的不同分法，揭示出“古代人分東西的時候要做到平均分，我們現(xiàn)在分蛋糕也要平均分”。第三次通過分數(shù)線所起的作用，再次強化“平均分”。第四次的“平均分”則是在教師隨意的“折”這一動態(tài)過程中，給予學(xué)生強烈的視覺沖擊。四次滲透，緊扣學(xué)生的知識起點，用無痕化方式加深對單個物體“平均分”的印象，從而有效防止學(xué)生對“平均分”的習(xí)慣性遺忘。

三、概念精加工的策略

數(shù)學(xué)概念形成的發(fā)展過程是一個數(shù)學(xué)化的精加工過程，即對豐富的材料進行細致的觀察，借助分析、綜合、比較、抽象等思維活動，進行去粗取精、去偽存真，舍棄材料的現(xiàn)實意義，抽象出共同的、本質(zhì)的數(shù)學(xué)屬性，經(jīng)過簡約化的提煉進行符號化的數(shù)學(xué)表達。縱觀三次嘗試，最終試圖深入而簡出，深入教材，深入概念的本質(zhì)內(nèi)涵，深入動態(tài)的建構(gòu)過程，數(shù)形結(jié)合，有效實現(xiàn)概念精加工。

1.深入教材，拓展信息，豐富學(xué)生的直觀感知

分數(shù)具有廣泛的應(yīng)用性，它滲透于我們?nèi)粘Ｉa(chǎn)、生活的角角落落。教材編排的生活情境是通過分蛋糕來引入 的概念。第一次嘗試教學(xué)，完全忠于教材的編排，結(jié)果學(xué)生缺乏豐富的感知，致使 概念建立的過程并不充分。于是便有了第二次信息的擴充，在兩個小朋友分享一個蛋糕的基礎(chǔ)上，增加了兩個小朋友分享一塊巧克力、一塊三明治的事例。這樣背景材料豐富了學(xué)生的感知，但不足的是，這些事例屬于同一性質(zhì)、同一層面，缺少空間的架構(gòu)和時間的延展性，所以也在一定程度上限制了學(xué)生的思維寬度。為了讓學(xué)生認知過程與更多層面的生活情境聯(lián)系，清晰建立分數(shù)的概念，便對事例進行了進一步地甄選處理（即第三次教學(xué)嘗試），通過對多個不同時期、不同范疇的生活事例中表示的分數(shù) 進行語言概括化的過程，幫助學(xué)生初步建立了對二分之一所表示的部分與整體之間的一種關(guān)系認識，并在分數(shù)符號的逐漸演變中，感受現(xiàn)代符號的簡約性。數(shù)學(xué)史的滲透，有助于學(xué)生在歷史背景中，更深刻地把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)內(nèi)涵，增加概念的深度。

2.深入過程，化靜為動，把握概念的本質(zhì)內(nèi)涵

數(shù)學(xué)概念是人類生命實踐活動的智慧結(jié)晶，是前人通過辨析、比較大量材料，提煉、抽取本質(zhì)屬性，歸納、概括、命名的活動過程而形成的。如果說經(jīng)過簡約化的提煉和符號化的表達，數(shù)學(xué)概念就抽象成為一種顯性的符號化知識，那么辨析比較材料、提煉抽取本質(zhì)、歸納概括命名的活動過程，往往就成為一種隱性的過程形態(tài)的知識。

要表示出一個物體的 ，必須把握兩個本質(zhì)特征，即首先把一個物體平均分，其次是明確每份是誰的 。這就要隨著多層面、多角度的靈動的探索過程的步步深入，才能讓學(xué)生逐步得到清晰的認識。直到第三次教學(xué)嘗試，才真正進一步放大教材優(yōu)勢，設(shè)計了由動手操作一個圖形擴展到操作一組圖形的情境，把形狀不同、大小不等、顏色各異的多個幾何圖形紙片發(fā)給學(xué)生，讓學(xué)生經(jīng)歷折、找、畫、寫、說等過程。通過師生、生生之間合作交流，共同商討等學(xué)習(xí)方式，引導(dǎo)學(xué)生舍棄圖形的形狀、大小、顏色以及表示 的位置等不同的非本質(zhì)屬性，抽取出其中的本質(zhì)特征。在這樣的“過程性抽象”階段，把靜態(tài)的數(shù)學(xué)符號轉(zhuǎn)化為動態(tài)的表象認識過程，并進一步獲得理性認識，這樣的抽象符號與具體的生活事例之間的對應(yīng)關(guān)系也終于成功地建立起來。

（孫曉華、朱峰，無錫新區(qū)實驗小學(xué)，214000）

責(zé)任編輯：趙赟