幾何直觀的數學價值及培養路徑

幾何直觀是2011版義務教育數學課程標準的核心概念之一，也是新課標增加的關鍵詞匯，愈來愈成為數學教育中關注的一個重要問題。筆者以為，在小學階段培養學生的幾何直觀能力，要先從直觀教學開始，注重操作，引導學生把圖形畫出來；重視變換，讓圖形動起來；借助幾何直觀，培養推理能力；逐步引導學生在解決數學問題的過程中，滲透數形結合思想，感悟數與形之間的相互轉化，使學生的認知多元化，以更好地發揮幾何直觀的教學價值。

一、注重操作，把圖形畫出來

笛卡爾說：“沒有圖形就沒有思考。”斯蒂恩也說：“如果一個特定的問題可以轉化為一個圖像，那么就整體地把握了問題。”畫圖對理解概念、探尋解題思路有很大的作用，因此，要指導學生養成一種用直觀的圖形語言思考問題的習慣，能用圖形表示的，盡量用圖形表示，目的是把抽象的東西直觀地表示出來，把本質的東西顯現出來。要培養學生的幾何直觀能力，必須讓學生理解幾何形體的本質屬性，通過組織擺、拼、折、量、畫、剪等具體活動，引導學生通過觀察、實驗等進行描述，從而使學生掌握圖形特征，形成空間觀念。

例如，讓學生畫一畫線段、射線、直線，有利于學生掌握線段有限長、射線直線無限長的特征；讓學生畫出長方形、平行四邊形，可以更好地掌握長方形對邊平行并且相等，四個角都是直角，而平行四邊形只是對邊平行并且相等的圖形特征；認識長方體和正方體時，通過畫立體圖、表面展開圖，能培養幾何直觀能力，進一步促進認知的內化。

畫圖，可以幫助學生更好地描述和分析問題。學生一旦能用圖形把一個實際問題描述清楚，就可使復雜的問題變得直觀和簡單，更容易展開形象思維。例如一個平行四邊形相鄰的兩條邊長度分別是8厘米和12厘米，高是10厘米，平行四邊形的面積是多少平方厘米？學生解題時不能簡單套用平行四邊形的面積公式，必須根據題意進行分析和選擇，選取恰當的兩個數據進行計算。這時，畫一畫示意圖，就能很快排除多余信息形成的負干擾。又如，一個長方形的花圃，長是38米，劃去了一個最大的正方形后在余下的長方形四周圍上籬笆，籬笆長多少米？乍看題目似乎缺少條件，無法解答，但如果畫一張示意圖，利用正方形四邊相等的特征，就能直觀地看出籬笆的長度就是原來長方形的兩條長之和，用38×2=76（米）就可順利得解。

培養“幾何直觀”能力，并非局限于“圖形與幾何”的內容，很多數學問題我們都可以讓學生借助畫線段圖，使問題直觀明了，例如行程問題、移多補少問題等等。幾何直觀有助于學生直觀地去理解數學，因此在整個數學學習過程中都發揮著十分重要的作用，而將幾何直觀用于分析和描述非“幾何與圖形”領域的問題時，恰恰更能體現幾何直觀的教學價值，也能更好地培養學生的幾何直觀意識與能力，提升幾何直觀素養。

二、重視變換，讓圖形動起來

變換也可看做運動，讓圖形動起來，在變換或運動中學習、研究、揭示圖形的性質，就能把握圖形與圖形之間的關系，加深對圖形性質的本質認識，提升幾何直觀能力。

在教學中充分利用變換去認識、理解幾何圖形，是培養幾何直觀能力的好方法。如通過基本圖形合成組合圖形，組合圖形分解成基本圖形，還有基本圖形通過平移或者旋轉變成新的圖形等等。

例如圓面積公式的推導。學生會計算長方形的面積，通過分割與拼組，把圓形轉化成近似的長方形。通過動手操作，感知長方形的長就是圓周長的一半，長方形的寬是圓的半徑。因為長方形的面積等于長乘寬，所以圓的面積等于πr2。這樣化靜為動，讓學生經歷圓面積公式的形成過程，既為學生的空間想象打下基礎，又為直觀洞察做好鋪墊，并且還利用幾何直觀幫助學生理解了圓面積與圓半徑之間的數量關系。又如，在學生掌握了三角形、梯形等面積公式的推導以后，教師提出：既然梯形的面積公式可以從多種圖形的面積公式推導而來，那么梯形面積公式與這些圖形面積公式之間有什么聯系呢？教師在電子白板上分步演示：①將梯形上底一個端點向右一側平著拉伸，使之成為一個平行四邊形，這時上底與下底相等，（上底+下底）×高÷2=底×2÷高×2=底×高，即得到了平行四邊形面積計算公式了。②將梯形下底兩個端點向中間縮，使之成為一個長方形，這時梯形的上、下底就變成了長方形的長，高變成了寬，（上底+下底）×高÷2=（長+長）×寬÷2=長×寬，即得到了長方形的面積計算公式。③將梯形上底逐漸縮短，最后縮成一個點，即上底為0，這時梯形面積就轉化成了三角形的面積公式，使學生很直觀地了解這些計算公式之間的內在聯系，從而幫助學生從整體上把握數學知識結構，深化對數學的理解。

三、數形結合，使認知多元

數學家華羅庚說過：“形缺數時難入微，數缺形時少直觀。”數形結合抓住了數學的本質——數與形，把抽象的數與具體的形有機結合起來，由圖形帶來的直覺，能增進學生對數學的理解，激發他們的創造力，而對空間與圖形性質的探索和推導，則有助于培養學生借助直觀進行推理的能力。

例如可以通過數形結合，認識帶小數。

師：（多媒體出示一個正方形平均分成10份）像這里的4份就是指4個十分之一，用0.4表示。那么現在我添上這樣的4條，就是8個十分之一了，能寫成0.8，再添兩條呢？就是幾個十分之一？

生：10個。

師：10個十分之一就是？

生：1。

師：是啊，滿十個十分之一，我們就不用零點幾來表示了，應該寫成1。老師繼續添這樣的一條，就是多少呢？

生：1.1。

師：這個小數中有兩個1，表示的意義一樣嗎？如果老師再添一整塊和兩整條，合起來就是？

生：2.3。

師：2.3表示什么呢？

教師繼續在數軸上表示小數，并動態出示，幫助學生進行整段理解：從0到1表示1，0到2表示2整段，0到3表示……依此類推。而0.3表示比0大比1小，是在0和1之間，表示3/10。接著請學生分別找到1.3、2.6、3.9的位置。

小學生正處在形象思維向抽象思維過渡的階段，通過數形結合的動態演示的方法，把抽象的算理變得直觀可見，將抽象的數學語言轉化成直觀的圖形，讓學生理解數軸圖，從而準確地找到各帶小數的位置，有效地突破了教學的難點。

四、借助幾何直觀，培養推理能力

幾何直觀，不僅能夠為學生感受、理解抽象的概念提供有力的支撐，有利于學生獲得相應的知識和技能，而且能為學生自主探索圖形的性質提供方便，有助于培養學生的推理能力，激發他們的創新意識。因此，幾何直觀意識的培養應伴隨推理能力的發展，貫穿在整個小學數學學習過程之中。

我們在教學中要注意引導學生經歷觀察，得出猜想，再用操作實驗加以確認。雖然小學階段不強調運用推理嚴格證明，但經過了這個過程，就能將幾何直觀與推理自然結合起來，滿足了學生探究的好奇心，加深了學生對規律結論的感性認識，培養了學生初步的演繹推理能力。

例如教學三角形內角和時，先通過特殊三角形（三角板）三個角的度數的和是180度提出猜想：三角形的三個角加起來等于180度，再引出是不是所有的三角形內角和都為180度，激發學生探究的欲望。

然后開始環節一：用畫、量，折、拼，撕的方法得出直角三角形內角和是180度。環節二：繼續用這些方法研究銳角三角形，得到同樣的結果。環節三：繼續用該方法研究鈍角三角形，得到同樣的結果。因為三角形按角的大小分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三類，而銳角三角形的內角和是180度，直角三角形內角和是180度，鈍角三角形內角和是180度，所以可以得出所有的三角形內角和都為180度的結論。

再進行追問：通過一塊三角尺的內角和是180度，推算用兩塊完全一樣的三角尺拼成一個三角形，這個三角形的內角和是多少度？將一個三角形劃分成兩個三角形，每一個小三角形的內角和是多少度？最后得出三角形不論大小，無論形狀，它的內角和都是180度的結論。

這樣層層推進，使學生在觀察、操作、分析和想像活動的過程中進一步強化認識三角形三個內角和就是180度，培養了學生的幾何直觀和論證推理的能力及思維的嚴謹性。

小學階段，從某種意義上講，主要是引導學生學習認識一些基本圖形，如線段、直線、射線、角、三角形、長方形、正方形、圓、長方體、正方體、圓柱、圓錐等等，因此，要把讓學生掌握一些基本圖形作為教學的重要任務，貫穿在教學的始終。基本圖形既具有典型性，又具有遷移性和延伸性。在教學中有意識地強化對基本圖形的運用，并不斷地發現和描述問題，幫助學生學會合理運用、靈活構造這些基本圖形，將基本圖形進行適當提煉和拓展，可以激發學生的興趣，開闊視野，進一步培養探索和創新精神，從而培養和提升綜合分析能力和解決問題的能力，使學生更好地感知數學，領悟數學，理解并掌握數學。

（黃國洪，江陰市花園實驗小學，214431）

責任編輯：宣麗華