一道幾何題的教學與反思

題目：用兩個較小的圓紙片，能不能蓋住一個較大的圓紙片？請說明理由。

一 誘惑：激發認知沖突，引導主體初步參與

要讓學生真正參與數學課堂教學，學生的參與欲望是一個不可忽視的因素，而學生的認知沖突則是激發學生參與欲望的根本原因。所以，在數學課堂教學中，教師要不斷設置認知沖突，以激發學生的參與欲望。

這道題目只是一個刺激或暗示，不同的學生會產生不同的心理反應，這一點教師要能預見到。

主要的心理反應有：（1）迷，不知如何判斷，此時，教師引導時可以通過硬幣具體試驗使學生明白，“能蓋住”和“不能蓋住”的意義是什么，然后作出直觀的判斷；（2）疑，直觀上看不能蓋住，理由說不清楚；（3）惑，直觀上看不能蓋住，因直觀誤導而說理有誤；（4）問題，有個可望而不立即可及的目標。

學生齊聲回答：“不能。”

教師：“很好！請說明理由。”

這是學生的初步判斷，是一個正確的判斷，對于正確的判斷，教師應該給予鼓勵，并請學生說明理由，不僅要知其然，還有知其所以然，更要知其何以知其所以然。解惑增識之道在于先猜后證。

學生甲：“顯然，無論怎么蓋，大圓紙片總有地方未被兩個小圓蓋到。”

教師：“什么地方未被蓋到？”

學生甲：“直觀地看，總有地方未被蓋到。”

教師：“如果不能說明什么地方未被蓋到，為什么未被蓋到，那么你的理由就不是充分的。我們需要直觀，也需要說理，應當將看到的說清楚。”

教師的觀念表達了兩種求知之道：直觀與說理或直覺與推斷。“什么地方未被蓋到？”提示學生要知其所以然；“為什么未被蓋到？”提示學生知其何以知其所以然。這是具有方法論意義的提示語。“應當將看到的說清楚”，這是教師促使學生賞識的語言，屬于元認知提示語。可見，教師是一個富有見識的參與者。

學生甲：“顯然，無論怎么蓋，大圓紙片總有地方未被兩個小圓蓋到。”

學生的這個回答體現了該學生具有看問題的獨特視角，他能把著眼點放在大圓未被蓋住的地方，盡管認識很粗糙，但其見解是可貴的。

學生乙：“設兩個小圓相交于A、B，則以公共弦AB為直徑的圓（如圖1所示）是兩個小圓所能蓋住的最大的圓。而公共弦小于小圓的直徑，更小于大圓的直徑，因此兩個小圓不能蓋住大圓。”

教師：“后一半說理很清楚。但是前一半為什么以公共弦為直徑的圓是兩個小圓所能蓋住的最大的圓呢？”

學生乙借助畫圖從正面來說理，從直觀上給出理由，值得肯定。教師對學生的見解進行評析，有肯定，也有質疑。教師通過對學生乙的前半部分推理的質疑引發學生進行反省思維。

學生乙：“直觀地看，應當是這樣。”

老師：“我倒認為，直觀地看，不應當是這樣。比如，小圓可以蓋住它自身，這就是一個比以公共弦為直徑的圓還大的圓。由于前一半的說理不正確，所以整個推導就失敗了，說明直觀有時會誤導我們。”

學生乙也是運用幾何直觀，“直觀地看，應當是這樣”。這是由于學生靜止地看問題所造成的誤判，沒有考慮各種可能的情況。在解決一個問題時，如果固守一個想法，思路不開闊是有害的。此時，老師以委婉的語氣，舉了一個反例，學生馬上意識到自己的推理不正確，從而激發了學生在這個問題上的認知沖突。與此同時，教師又肯定了學生乙見解的積極意義，可以認為，這是積極惑境的典型例子。在此期間，教學設計體現了三個誘惑技術：利用學生理智的好奇，提出本問題時教師找準了學生經驗的生長點：生活或游戲中兩個小硬幣能否蓋住一個大硬幣的經驗，并且還關注了課業進行時的引導性鋪墊。這是一個由問題或游戲引發并經過教師富有見識的引導而創設的惑境。在這個惑境里，因教師誘導學生產生了惑和疑，學生對問題理解得深了。問題理解得深，思維才能滲透得徹。

教師接著把自己放在學生的心理位置上，借助心理換位技術，提出：“那么，這道題應怎么做呢？”此時，原來的題目相對于學生而言就變成了一個真正的心理學意義上的問題。

二 導學：開展個體探究，引導主體充分參與

當學生想知道“直觀有時候會誤導我們，那么又該如何研究這一問題”后，教師引導學生個體展開探究活動，使學生領悟數學中的解惑求識之道在于先猜后證，致知求識之道在于直觀、推斷和洞察。

教師：“還是要借助直觀的力量。圖2中一個小圓蓋住了大圓的一部分，但是大圓還有一些地方未被蓋住。一般地，大圓的哪些部分未被蓋住呢？”

由于是直觀的誤導導致的迷惑，所以解除這個困惑，還應從直觀入手，借助于直觀的力量。為了生成新的解惑觀念，引導學生改變看問題的角度，從兩個小圓能否蓋住大圓的問題，轉變為一個小圓能否覆蓋大圓的問題。當然，小圓蓋不住大圓，這是顯然的。如果僅著眼于小圓能蓋住大圓的哪些部分是不利于弄清問題的本質的，但是如果著眼于大圓未被蓋住的部分，追問大圓的哪些部分未被蓋住，這倒是一個建設性的提問。教師的這一提問體現了看問題的角度又一次轉變，這樣做有助于激發學生產生接近目標的更好的想法。教師的這一提問，蘊含著看問題的角度的兩次轉變：從簡單情形看問題和從反面看問題。此時，學生開始做思想實驗。

學生丙：“我看大圓有一半未被小圓蓋住。”

這是導學階段學生在教師引導下生成并積蓄的第一個觀念。

教師：“為什么？”

學生丙：“看上去是這樣。不過，也許是我看錯了。”

教師：“你是不是說大圓的圓面有一半未被小圓蓋住？”

重復學生的言語，提煉學生的觀點，一方面是對學生的鼓勵，另一方面是為了防止教師誤解學生的意思，因歧義引起的爭執和困惑是消極的。

學生丙：“是的。”

教師：“那么，很遺憾，你看錯了。在圖3中，小圓蓋住了大圓的大部分。如果小圓只比大圓小一點點，那么小圓差不多蓋住了整個大圓，只差一點點。當然只是就圓面而言。”

教師委婉地指出：“很遺憾，你看錯了！”畫一個圖，舉一個反例，暗示學生，著眼于大圓的圓面還是不能解決問題。

教師：“不過，即使小圓蓋住了大圓的大部分，但大圓總有未被蓋住的部分。這部分是……”

接近目標的時刻就要到了，教師的這種停頓，旨在給學生留足探究的時間，讓學生自己去發現，提出一個觀念或假說。

學生丙：“這部分是大圓的圓周。一個小圓蓋不住大圓的半個圓周。”

這是學生在導學階段提出的第二個觀念。在教學中學生提出的解決問題的觀念，其生成途徑主要有摸索、模仿和啟發式反應。學生得出這個觀念已很不容易，摸索、模仿和啟發式反應兼而有之。這時獲得的這個觀念盡管還有待于證明，但是已經抓住了本質。教師在導學階段的中心任務和學生在積學階段的中心任務基本完成。在此階段學生的認識積蓄了兩個觀念：大圓的圓面有一半未被小圓蓋住，經驗證，這是錯誤的觀念；一個小圓蓋不住大圓的半個圓周，這是正確的觀念，抓住了本質的觀念。學生在富有見識的教師引導下獲得了終身受用的見識——從不同角度看問題的能力。

三 啟知：進行師生合作，引導主體深入參與

對于學習者來說，存在兩種求知之道：直覺與推斷，在數學教學中讓學生清晰說理是必要的。

教師：“你說對了，請說說理由。”

由于上述觀念觸及問題的本質，所以教師說“你說對了”。洞察與嚴格是認識數學的兩個法寶，兩者相應而生，相輔相成，“請說說理由”就是尋找可靠證據，證明上述的假設。兩種求知之道，重視一個而忽視另一個，對學生綜合素養的培養是有害的。

學生丙：“如果小圓蓋住了大圓的半個圓周，那么它就蓋住了大圓的一條直徑的兩個端點，說明小圓中存在兩個點，它們之間的距離等于大圓的直徑。而小圓中任意兩點的距離都不超過小圓的直徑，所以小于大圓的直徑。這就產生了矛盾，表明小圓不可能蓋住大圓的半個圓周。于是兩個小圓不可能蓋住大圓的整個圓周，當然也就不能蓋住大圓了。”

這是學生運用了反證法來說理，實際上又體現了從反面來看問題的方法，正面說理不易說清楚，就從反面說理，這是數學上很犀利的說理方法。一個小圓蓋不住大圓的這半個圓周，另一個小圓蓋不住大圓的另外半個圓周，并在一起蓋不住大圓的整個圓周。學生的語言很精煉，背后蘊含著豐富的內容。此時，學生對本問題的認識已經形成。既解決了問題，又抓住了本質。然而，經常發現，在許多課堂中，學生盡管把問題解決了但未必抓住了本質。一旦出現這種情況，能否適時引導和培育學生的識力，則取決于教師的素養與才識。

四 發識：加強反思總結，引導主體綜合參與

聽了學生丙的回答，這是賞識的好時機。要借此培養學生的預見力、判斷力、鑒賞力、洞察力、看問題的能力和提問題的能力。

教師：“說得好。這道題表明直觀在解決問題時是有用的，但也要防止它誤導我們。要多畫圖，多想些情況，避免片面性、局限性。不光用眼睛看，還要用心看，用心想。不能只看表面，要深入。在這道題中，不僅要看到小圓不能蓋住大圓，更要發現大圓的什么地方未被蓋到，為什么未被蓋到。這不是普通的觀察，看一看就過去了，而是一種洞察力，它是眼與心的結合，是將直觀與理智結合起來的更高一個層次的直觀。學習數學就要注意培養這種洞察本質的直觀能力。”

問題解決了不等于認識結束了，認識要以獲得新的價值而告終。認識活動的結果有待于進一步上升到識的水平，反思總結發展認識力，以獲得新的價值而告終。在這道題中，不僅要看到小圓不能蓋住大圓（知其然），更要發現大圓的什么地方未被蓋住（知其所以然），為什么未被蓋住（何以知其所以然）。小圓蓋不住大圓的半個圓周是一個識見，從熟悉的看法（小圓蓋不住大圓）中發現新的關系（小圓蓋不住大圓的半個圓周）的能力就是數學教學要培養的識力。這種識力的產生需要學生具備一定的數學功底、看問題的眼光和綜合素養。

〔責任編輯：龐遠燕〕