函數的解析式與思維品質

數學是一門理性思維的科學。可以說，數學的核心是思維。思維品質是指個體思維活動特殊性的外部表現，它包括思維的嚴密性、思維的靈活性、思維的批判性、思維的深刻性和思維的敏捷性等品質。中學是培養學生數學思維能力的最佳階段，作為高中數學教師，應抓住學生思維發展的最佳時期，做好思維品質的培養工作，使學生的思維得到更好的發展。因此，開發高中學生的思維潛能，提高思維品質，具有十分重大的意義。函數作為高中數學的主線，貫穿于整個高中數學的始終。函數的解析式是函數表示法中最重要的一種方式，在解函數題中強調定義域對解題結論的作用與影響，對提高學生的數學思維品質十分有益。在求解函數的解析式中運用的各種方法體現對提高學生的思維品質非常有益。

一 已知f（x）的解析式，求f（g（x））

例1：已知f（x）=x2+2x-1（x>1），g（x）=x+1，求f（g（x））的解析式。

評析：此類問題只須用內函數的解析式代替外函數中的x即得，但是需要注意由外函數的定義域即內函數的值域，求出復合函數的定義域，如果考慮到這一點，就說明學生的解題思維過程體現出較好的思維嚴密性。

二 已知f（g（x））的解析式，求f（x）的解析式

例2：已知f（2x-1）=x2+x，求f（x）的解析式。

評析：換元法是解此類問題的常用方法，注意外函數的定義域即內函數的值域求外函數的定義域。

例3：已知f（x+ ）=x2+ ，求f（x）。

評析：初看這兩個例子，與前面學的東西感覺是相反的，有無從下手的感覺，這時需要思維的靈活性，采用換元、配湊法求解，同時也要注意定義域的變化。

三 已知f（x）+g（x）的解析式，求f（x）的解析式

評析：解此類問題觀察所給式子的特點，再構造一個關于f（x）、g（x）的方程，將f（x）、g（x）看作兩個未知量，用方程法解出f（x），要認真仔細地觀察才可以發現這樣的一種方程解法，這能提高學生質疑辨析能力，有利于培養學生的思維品質，從而不斷提高學生思維能力，進而有利于培養學生思維的創造性。

四 已知函數類型求函數f（x）解析式

評注：已知函數類型諸如一次函數、二次函數……求解析式，先設出解析式，再用待定系數法求出解析式。如果在做題時，只是對題型套公式，而不去領會解題方法的實質，說明學生的思維缺乏深刻性。每一個題目要仔細認真地去發現它的規律，因題不同而采用不同的方法。

五 已知函數奇偶性及部分解析式，求f（x）解析式

例6：已知定義在R上的偶函數f（x），當x≥0時，f（x）=x2-2x，求f（x）的解析式。

評注：本類問題的解題思路是“一變”“二寫”“三轉化”。“一變”是取相反數使自變量屬于所給區間；“二寫”是寫出新變量的表達式；“三轉化”就是利用函數的奇偶性將上述表達式轉化為f（x）。以上例子說明，變量的允許值范圍是何等的重要，若能發現變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤的產生。也就是說，學生若能在解好題目后，認真檢驗所得結果，善于找出和改正自己的錯誤，善于精細地檢查思維過程，便體現出良好的思維批判性。

〔責任編輯：龐遠燕〕