兩角和（差）正弦、余弦公式教學的再思考

【摘 要】本文試利用復數(shù)的指數(shù)形，即歐拉公式，將兩角和（差）的正弦、余弦公式有一個系統(tǒng)的證明方法，使學生能明確而有效地掌握兩角和（差）的正弦、余弦公式，同時為廣大數(shù)學教育工作者提供一個新型的教學方法。

【關鍵詞】兩角和（差）公式 歐拉公式 證明

【中圖分類號】G712 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2013）23-0181-01

一名數(shù)學教師的成功之處莫過于將一個知識點通過簡捷、有效、正確的方法傳授給學生，使學生能很好地掌握，并加以熟練應用。而兩角和（差）的正弦、余弦公式的教學研究早在1700年前的畢氏就創(chuàng)立了幾何模型。現(xiàn)代有人利用圓冪定理或向量積進行研究都取得了很好的效果。本文向大家介紹利用復數(shù)的指數(shù)形式，即歐拉公式來證明兩角和（差）的正弦、余弦公式，供大家參考。

一 復數(shù)的指數(shù)形式——歐拉公式

對于虛數(shù)的研究由來已久。早在1545年意大利數(shù)學家卡當首先研究，給出“虛數(shù)”這一名稱的是法國數(shù)學家笛卡爾，而德國數(shù)學家高斯則第一次引入復數(shù)的概念，將一個復數(shù)用a+bi的代數(shù)形式表示，后來又有人將復數(shù)表示為γ（cosθ+isinθ）的三角形式。瑞士數(shù)學家歐拉創(chuàng)造性地給出了cosθ+isinθ=eiθ的指數(shù)形式，即歐拉公式。利用歐拉公式表示復數(shù)則有γ（cosθ+isinθ）=γeiθ。

二 三角函數(shù)用歐拉公式表示

三 兩角和（差）正弦、余弦公式的證明

1.兩角和正弦余弦的證明

對于兩角差的余弦公式證明可用同樣的方法，具體證明過程略。

關于數(shù)學定理、公式的證明在數(shù)學教學中十分重要，它有助于學生的理解、記憶，并能有效地利用。上述證明方法的最大優(yōu)點在于簡單。它在歐拉公式的基礎上只利用了初中數(shù)學中的多項式乘以多項式及有理指數(shù)冪的運算。借此真切希望廣大數(shù)學教學工作者在數(shù)學教學實踐活動中提供更簡單的方法，為數(shù)學教學事業(yè)的發(fā)展提供更廣闊的空間。

〔責任編輯：龐遠燕〕