關(guān)于n和n+1的最大素因子

【摘 要】n和n+1的最大素因子已經(jīng)被證明這兩者并不接近。在對(duì)這個(gè)結(jié)論進(jìn)行了進(jìn)一步的論證與完善之后，又對(duì)n和n+1的最大素因子這兩者之間存在的關(guān)系進(jìn)行了論述與明確。

【關(guān)鍵詞】素因子 微分 函數(shù)

【中圖分類(lèi)號(hào)】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2013）28-0050-02

如果n是一個(gè)正整數(shù)，且n≥2。設(shè)P（n）為n的最大素因子。在1978年，Paul Edros和Carl Pomernance發(fā)表了一篇關(guān)于n和n+1的最大素因子的著名論文，他們證明了：n和n+1的最大素因子這兩者并不接近。定理內(nèi)容如下：

定理1：對(duì)于任意ε>0，存在δ>0，使得對(duì)于充分大的x，滿(mǎn)足n≤x且x-δ

在下面的定理中，我們確定了ε和δ之間的關(guān)系：

定理2：對(duì)于任意0<δ<1/83，滿(mǎn)足n≤x且x-δ

/P（n+1）

其中E和A為獨(dú)立常數(shù)。

我們采用了Paul Edros和Carl Pomernance的證明方法來(lái)證明了我們的結(jié)論。

首先我們先介紹一個(gè)著名的函數(shù)ψ（x，y），其定義如下：

定義：對(duì)于任意x>0，y>0，函數(shù)ψ（x，y）表示滿(mǎn)足：n≤x且n不存在大于y素因子這樣條件的n個(gè)數(shù)。

關(guān)于ψ（x，y）有如下重要結(jié)論：

定理3：設(shè)ρ（u）為微分方程uρ'（u）=-ρ（u-1）（u>1）的一個(gè)連續(xù)解，且滿(mǎn)足初始條件ρ（u）=1（0≤u≤1）。也把這個(gè)函數(shù)稱(chēng)為Dickman-de Bruijn函數(shù)，則當(dāng)x≥2，exp

≤x時(shí)，ψ（x，y）=xρ（u）

…（2），這里，ε為任意給定的正數(shù)。

對(duì)定理2的證明：

設(shè)，因此，對(duì)于充分大的x，

我們有：。

由定理3可以得出：

（3）

（4）

（5）

對(duì)于任意的n以及任意的0<α<1，如果n的最大素因子P（n）小于等于xα，也就等價(jià)于n不存在大于xα的素因子。

下面我們分如下幾種情況進(jìn)行討論：

情形1：；

情形2：

情形3：≤P（n）≤；

情形4：。

根據(jù)（3）式，我們知道對(duì)于充分大的x，在情形1下滿(mǎn)

足（1）成立的n的個(gè)數(shù)最多為：。

現(xiàn)在我們利用Dickman-de Bruijn函數(shù)估計(jì)，有

。因此對(duì)于充分大的x， （6）

同理，在情形2下滿(mǎn)足（1）成立的n的個(gè)數(shù)最多為：

（7）

≤x

，這里C為一個(gè)常數(shù)。

又因?yàn)镈ickman-de Bruijn函數(shù)ρ（u）是可微分函數(shù)，

因此根據(jù)微分中值定理，得：

，這里，。

再根據(jù)（2），知：。因此：

。 （8）

下面我們來(lái)考慮情形2和情形3。現(xiàn)在假設(shè)n≤x且（1）式成立，根據(jù)Paul Edros和Carl Pomernance的證明方法，

我們有在情形3下（1）式成立的n的個(gè)數(shù)小于…

（9），且有在情形4下（1）式成立的n的個(gè)數(shù)小于

x<…（10）。這里，E=ξ（2）ξ（3）/ξ（6），A為獨(dú)

立常數(shù)。

因此，根據(jù)（6）（8）（9）以及（10），得出n≤x且（1）

式成立的n的個(gè)數(shù)小于，又

因?yàn)椋@就證明了我們定理（2）的結(jié)論。

參考文獻(xiàn)

[1]Erdos，paul and Pomerance，Carl，On the largest prime factors of and，Aequationes Math，1978（23）：311～321

[2]de Bruijn，N.G，On the number of positive integers and free of prime factors.Nederl.Acad.Wetensch.Proc.Ser.A，1951（54）：50～60

〔責(zé)任編輯：高照〕