初中數學課本例題變式教學的現狀分析與對策

摘 要：本文針對新課改以來初中數學教師在課本例題變式教學中存在的問題，提出了課本例題變式的特征及變式教學的原則和有效變式的策略。

關鍵詞：課本例題；變式；數學教學；現狀分析

變式教學是一種有效的教學策略。在歷年的中考數學試卷中，均有部分試題是由教材中的結論、例題、習題等的變式而成。中考給我們帶來的啟示是：初中數學課堂應著眼于學生打好扎實的雙基，培養靈活的思維，堅持自主探索、合作交流、動手實踐的教學方式。

一、問題的提出

實施新課改以來，盡管數學教師花了很多精力通過例題變式對學生進行基礎訓練和能力培養，但效果并不理想。教師對課本例題的運用還存在以下問題：

1.追求形式的例題變式，變式目的不明。變式教學的目的是為了讓學生通過例題抓住題目本質而舉一反三，但現在有的教師在教學中片面追求例題的變式形式、數量，變式目的不明，對變式時機、過程無法有效掌控。

2.缺乏準備的例題變式，變式效果不明。有的教師由于課前預設不到位，對課內出現的突發情況應變能力不足，于是就根據已有的教學經驗和掌握的一些變式方法、原則，通過簡單的類比變換例題的一些條件、結論，由于這樣的變式具有很強的隨意性，要想有明顯的教學效果是不太可能的。

3.脫離實際的例題變式，變式需求不明。變式的目的不僅僅是為了提高學生掌握知識的能力，同時也應滿足課堂教學中各層次學生的心智需求。一個有效的變式是離不開學生民主參與的。在例題變式中，有的教師對問題的設計無法達成班級大部分學生民主參與的意向，變式問題對學生的后續學習起不到示范作用。

4.偏離本質的例題變式，變式規律不明。由于對例題中“問題結構”認識不到位，使變式偏離了例題的本質屬性，造成學生摸不清解題規律，甚至產生“負遷移”，既浪費了時間，又浪費了精力，達不到變式的目的。

二、例題變式及變式教學的涵義、功用

所謂“例題變式”，就是指教師有目的、有計劃地對課本例題進行合理的變換形式。即教師更換命題中的非本質特征，變換問題中的條件或結論，轉換問題的內容和形式。例題“變式”應注意在配置實際應用的各種環境時，絕對要保留例題中原有的本質因素，從而使學生掌握數學對象的本質屬性。例題變式主要是改變對象的表達形式，如題設與結論的互換，圖形的位置、形狀、大小等的變化，規律及語言符號的互譯。最終使學生掌握那些在變化過程中始終保持不變的因素，從而透過現象看到本質。這就是人們常講的“萬變不離其宗”。例題變式教學，它的核心是利用構造一系列變式的方法，來展示知識發生、發展的過程，數學問題的結構和演變過程，解決問題的思維過程，以及創設暴露思維障礙情境，從而形成一種思維訓練的有效模式。它的主要作用在于凝聚學生的注意力，培養學生在相同條件下遷移、發散知識的能力。

三、例題變式教學須遵循的原則

例題變式教學，一般應遵循以下幾個原則：

1.目的性原則。對于同一則材料，可以進行各式各樣的變化。不同的變式其目的和作用也不一樣，要根據不同的教學實際和需要，決定變式教學的形式和手段，這是變式教學的關鍵。

2.啟導性原則。在變式教學方式中應堅持啟發式教學觀念，注意變化過程中的向導作用。這是變式教學的實施方式。只有按照這一方式，我們才能讓學生的思維依據教學目的的要求循序漸進。

3.量力性原則。變式教學方式的變化深度、廣度和難度應考慮學生的承受能力、適應能力，這是變式教學成功的保證。只有確定好一定的“度”，循序漸進，我們才能做到因材施教、因人施教，使變式教學達到預期的目的。

4.適時性原則。變式教學方式在恰當的時候引入到教學過程之中，這是變式教學的技巧，只有熟練掌握了這一技巧，我們才能使變式教學方式的引入不至于生硬和突然，使學生的思維平穩和諧地發展。

四、課本例題變式并進行教學的對策

變式教學的本質是通過改變知識的非本質屬性，多角度地凸顯知識的本質屬性。它的目的是幫助學生更準確、全面、深刻地理解知識。在“變式”的過程中，教師要明確：什么在變？知識的外在表現形式、非本質屬性在變。什么不變？知識的本質屬性、根本特征不變。

1.加強對例題變式的本質的理解。例題變式的本質究竟是什么？對具體的內容而言，變式到底應該變什么？怎么變？這些問題都是教師首先要明確的，明確以后能夠增強變式教學的針對性與有效性。例題變式的形式主要包括：

（1）變換解題方法，也就是常見的一題多解，多題一解，解決一類問題等。

【案例一】如圖，AD是△ABC中BC邊上的中線，E是AD的中點，AE的延長線交AC于F點。則AF∶FC=_________.

通過圖①至圖⑤的五種添加輔助線方法，學生很容易得到AF∶FC=1∶2。

（2）對例題的變化或引申，比如將問題一般化、特殊化，改變條件、結論或互換條件結論等。例如對于上面的問題，變式一：將E是AD的中點改為AE∶ED=1∶2，則AF∶FC=___；變式二：將二個條件改為：BD∶DC=1∶2，AE∶ED=1∶3，則AF∶FC=_______；變式三：將變式二結論和條件互換，BD∶DC=1∶2，AF∶FC=2∶3，則AE：ED=______。

（3）變換問題的呈現方式，如改變題目的背景，改變問題的題型（變封閉題型為開放題型）等。對于上面的問題，變式四：將條件改為BD=2DC，DE=AD，則S△AEF∶S△ADC_______。變式五：AD是中線，E是AD上的一點，若AF∶FC=2∶3，則需添加什么條件？

（4）改變數字，改變符號。如解決一元一次方程的問題，都是對ax+b=c這種一般形式進行數字、符號的變化。

2.注意例題變式的“量”與“度”。控制水平變式的“量”和縱向變式的“度”也很重要。水平變式題建立覆蓋所有正例并排除所有反例的一般描述的數學結構，縱向變式是條件認知的較深層次的加工，它抽取問題表面特征以外的結構特征，不會受阻于問題的表面特征，構成題目的“結構骨架”。水平變式是縱向變式的基礎，縱向變式是水平變式的必然發展，二者互相依存，互為補充。把握例題變式的“量”很重要。例題變式并不是多多益善，需要追求質的提高，也就是說變式不在多，而在精，關鍵是要有典型性和代表性。變式數量過多，容易異化為題海戰術，加重學生負擔，帶來不良影響；當然也要避免過少，過少則達不到預期的效果。把握變式的“度”也很重要，“度”主要是指難度。難度太小，比如只是變換數字、符號，往往起不了太大作用。有一定難度的變式，才能較好地激發學生積極思考，促進學生思維發展。因此，變式教學要避免簡單地重復。變式的難度太大，則又走到了另一個極端，學生不能掌控，容易產生挫敗感，失去信心與興趣，也不能產生高層次思維。變式要由易到難，層層遞進，變式的度掌握在“學生跳一跳，夠得著”即可，也就是說變式要盡可能在學生思維與知識的“最近發展區”內進行。

3.適時地歸納、概括、總結。既然例題變式是對知識非本質屬性進行的變化，那么變式的表現形式自然就千差萬別。因此，如果拘泥于變式的表面形式，而不能從中總結、概括出一般的規律與結論，不把握知識的本質屬性，還是不能深刻理解與掌握知識。缺乏必要的歸納、概括、總結，容易造成“只見樹木，不見森林”的片面認識，何況對知識一知半解，也不利于知識的有效遷移。

【案例二】已知一次函數圖像經過點（0，-2）且與兩坐標軸截得的直角三角形面積為3，試確定該一次函數的解析式。

學生板書：設y=kx+b

∵經過（0，-2） ∴b=-2

∵B（-■，0），■OA·OB=3

∴■|■|·|-2|=3

∴k=±■ ∴y=■x-2或y=-■x-2

師：此題的關鍵是什么？（直線與坐標軸的交點）如何表示OA、OB的距離？是一種什么數學思想？

小結：（教師）從形轉化到數的過程，實際上是一種數形結合思想，關鍵是用字母來表示坐標，然后用絕對值表示距離，最后用方程思想解決。

變式一：一次函數y=3x+b的圖像與兩坐標軸圍成的三角形面積為48，求b的值。

師：變式一和例2有什么相同的地方？不同的地方？

學生回答后教師小結：根本的東西沒變，“用字母表示坐標，用方程解決”。區別在于前者未知字母是k，后者未知的字母是b。

變式二：一次函數y=kx+b（k>0）的圖像經過點（3，2），它與兩坐標軸圍成的三角形面積為4，求該一次函數的解析式。

教師小結：變式二中未知的字母有k和b，需用二元一次方程組解決。

想一想：變式二中，k>0條件取消該怎么辦？

適時地歸納、概括、總結是變式教學的本質所要求的。首先，適時地歸納、概括、總結，有利于學生掌握知識的核心內容，掌握解決一類問題的方法與技能；其次，這種方式可以促使學生最大可能地理解知識，了解知識之間的相互聯系，提高知識的使用效率，這也有助于學生形成有效的、優化的知識結構；第三，在一定程度上，它還可以培養學生思維的深刻性，提高學生的概括能力與反思能力。

4.滲透“變”中“不變”的思想。變中不變是重要的數學思想之一。但是，對于變式教學，我們往往過多地關注或者局限于變式中變化的部分，忽視變式中最本質的內容——不變的部分。套用文學寫作中常見的一句話：變式實際上是“形散神不散”。“形”就是指這些變式的外在表現形式、表面特征，也就是非本質屬性，它是不斷變化的；“神”就是指變式的本質屬性，它一直都沒有變，也不會變。在例題變式教學中，教師要有意識地引導學生從“變”的表象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探求“變”的規律，逐步增強學生的應變能力，培養其靈活多變的思維品質，培養其探索精神和創新意識，從而把知識理解能力的提高真正落到實處。畢竟“變”是為了更好地領會與掌握“不變”。

5.既要關注概念性變式，更要關注過程性變式。綜觀變式教學的研究成果，可以看出：目前關于變式教學的研究大部分是圍繞概念性變式進行的，或者說主要研究的是某些特定概念或習題如何變化、它們有哪些變式之類，對于過程性變式關注偏少。換言之，過程性變式還沒有引起足夠的重視。

6.提高學生的智力參與程度。例題變式不是教師的“專利”，變式不一定都由教師給出，可以讓學生自己提。讓學生主動探索，圍繞“源題”進行相關的變化，自己編題目，讓“冰冷的美麗變成火熱的思考”。在此過程中，學生能更好的了解哪些部分可以變、怎么變，從而獲得對知識更深刻地理解。這有利于學生進一步認清知識的本質、掌握知識，而且有利于調動學生的積極性，增強學生的學習興趣，在一定程度上還可以培養學生的創新意識以及提高學生舉一反三的能力。當然，此時依然離不開教師恰當的啟發與引導。

變式就是創新。美國著名數學教育家G波利亞說：“一個專心的認真備課的教師能夠拿出一個有意義的但又不太復雜的題目，幫助學生發掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域。”事實上，對于課本中的例題、習題，教師若善于引導學生探究問題的各個方面，對于培養學生的創新意識和探究能力，都將大有裨益。

參考文獻：

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