新課程教學(xué)改革下的線性代數(shù)課程教學(xué)

[摘 要]本文主要從線性代數(shù)課程自身的特點出發(fā)，首先指出一般本科院校線性代數(shù)課程所面臨的實際問題和挑戰(zhàn)；其次，結(jié)合自身教學(xué)實踐以及相關(guān)理論知識，給出面對這些挑戰(zhàn)所采取的應(yīng)對措施，教學(xué)實踐證明這些應(yīng)對措施可以促進線性代數(shù)課程教學(xué)有效進步。

[關(guān)鍵詞]線性代數(shù)課程教學(xué) 挑戰(zhàn) 應(yīng)對措施

[中圖分類號] G642 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2013）012-0073-02

線性代數(shù)是代數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的部分，是理工科各專業(yè)和經(jīng)濟類各專業(yè)學(xué)生的重要基礎(chǔ)課之一。線性代數(shù)這門課程自身的特點以及當前教育現(xiàn)狀給學(xué)生和講授教師提出了較大挑戰(zhàn)，從而如何上好線性代數(shù)課程，提高教學(xué)質(zhì)量，便是一個值得思考和等待解決的教學(xué)問題。

一、線性代數(shù)課程教學(xué)所面臨的挑戰(zhàn)

1.線性代數(shù)課程自身的特點：抽象概念較多，邏輯思維能力要求較高，計算量較大，造成學(xué)生學(xué)習(xí)難度較大。

2.課時量少。每個高校線性代數(shù)課時數(shù)都較少，一般為30-40課時之間，造成了課程教學(xué)要求和教學(xué)課時量之間的矛盾，從而使教師在講授這門課程時有較大難度和挑戰(zhàn)。

3.學(xué)生對課程學(xué)習(xí)的需求與教師對課程教學(xué)的期望之間有較大差異。一般本科院校大一新生入學(xué)成績普遍偏低并參差不齊，學(xué)生自身所具備的數(shù)學(xué)思維能力有較大差異，習(xí)慣了高中管制學(xué)習(xí)，學(xué)生學(xué)習(xí)主動性不夠，面對大學(xué)的自主學(xué)習(xí)環(huán)境無所適從，加之不同專業(yè)對線性代數(shù)課程的要求也不盡相同，統(tǒng)一的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法已不能適應(yīng)各種不同層次學(xué)生學(xué)習(xí)的需要，而對一些特別有潛力的學(xué)生，又要為他們創(chuàng)造條件，將他們的代數(shù)水平提高到一個更高層次，以上這些問題又對教師提出了新的挑戰(zhàn)。

4.線性代數(shù)課程講授教師對課程教學(xué)的把握存在一定問題，教師數(shù)學(xué)教學(xué)素質(zhì)需進一步提高。

二、根據(jù)自身教學(xué)實踐，如何應(yīng)對以上教學(xué)困難，從而提高教學(xué)質(zhì)量

1.基于課程自身的特點，重視課程引入以及抽象概念的引入，易化教學(xué)中的相關(guān)知識。課程引入需要回答兩大問題：一是“從何而來”，即如何從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)概念；二是“有什么用”，即說明基于數(shù)學(xué)知識得到的結(jié)果有什么實際意義。對于課程引入：線性代數(shù)研究對象是線性方程組，研究內(nèi)容是線性方程組解的存在性、解的類型和解的結(jié)構(gòu)問題，線性方程組的有關(guān)問題貫穿整個教學(xué)始終，對于線性代數(shù)課程的引入，國內(nèi)外大多以線性方程組及其應(yīng)用作為基本起點，基于這點，線性代數(shù)任課教師有必要在第一節(jié)課對課程引入作一介紹，而且如何上好第一節(jié)課是整個教學(xué)過程效果的關(guān)鍵。

對于抽象概念的引入：抽象概念是線性代數(shù)的一大難點，因此組織好抽象概念的引入會使教學(xué)效果事半功倍，在抽象概念的引入上可以以學(xué)生熟知或了解的知識為背景來引入，從而降低概念的抽象性，使概念具體化。例如：（1）矩陣概念的引入：有了行列式為前提，學(xué)生很容易將行列式和矩陣混淆，弄不清楚矩陣的本質(zhì)，因此在教學(xué)實踐中可以通過一些具體的實例抽象出矩陣的概念是非常有必要的。就以上課班級的基本情況為例得到一個表格如下：

若保持以上數(shù)據(jù)的排列順序，將表格第一列第一行以及表格中橫豎線去掉，只剩下一組數(shù)據(jù)，由此便得到了一個簡化了的表格，此表格最大特點是最小化地保留了各個內(nèi)容的相關(guān)信息，為了不讓每一個數(shù)據(jù)丟失，通常用“（ ）”括起來，這樣的形式便是一個矩陣，這樣的引入可以讓學(xué)生很容易接受矩陣從何而來，也讓學(xué)生明白矩陣的本質(zhì)實質(zhì)上是簡化了的表格。（2）矩陣的初等變換的引入：以高斯消元法解線性方程組為前提，通過解線性方程組提煉出線性方程組的三種初等變換，從而對應(yīng)地得到矩陣初等行變換，這樣的引入可以讓學(xué)生知道初等行變換的由來，比起直接給出初等行變換概念的教學(xué)設(shè)計讓學(xué)生更容易接受、記住并且準確地應(yīng)用于求解線性方程組。（3）向量組的線性相關(guān)性的引入： 可以通過兩種方式引入，一種方式是從線性方程組出發(fā)，如何最大化地減少一個方程組中方程的個數(shù)，得到同解方程組；第二種方式可以從零向量的線性表示出發(fā)，用兩個向量組分別表示零向量，一個組合系數(shù)只能為零，另一個系數(shù)除了零之外還有其他非零的情況，這樣引入的好處可以讓學(xué)生具體理解線性相關(guān)的概念，同時可以做到和前面線性表示知識的有效銜接。當然線性代數(shù)抽象的概念很多，如何引入不再一一列舉。

2.針對課時量少這一特點，求同存異，在不影響教學(xué)基本內(nèi)容的前提下，根據(jù)不同專業(yè)的需求適當弱化定理證明，強調(diào)知識應(yīng)用，將一些抽象的證明過程具體化，這樣既讓學(xué)生弄清楚了“從何而來”，又讓學(xué)生知道“如何去用”。例如：齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的推導(dǎo)，很多教材都有詳細的證明過程，但在講授的過程中實際上不用對這一證明過程進行詳細的說明，只需要通過一兩個例子解決以下三個問題：（1）如何去找基礎(chǔ)解系？（2）為什么這樣找的是基礎(chǔ)解系？（3）基礎(chǔ)解系的個數(shù)是由誰所決定？通過這幾個問題的解決便可以完全達到我們的教學(xué)目的，教學(xué)實踐證明學(xué)生確實容易接受并且理解這塊知識點。

3.恰當使用“啟發(fā)式”教學(xué)方式，培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力。下面結(jié)合教學(xué)實踐，淺談在教學(xué)實踐中如何做到“啟發(fā)式”教學(xué)。例如：在講解矩陣乘法運算時，沒有直接給出乘法運算的定義，而是以一個具體班的同學(xué)吃早餐的例子引出矩陣乘法，這樣可以讓學(xué)生有一個超前認識，打破學(xué)生想象的錯誤定義，在具體學(xué)習(xí)乘法定義之前提出了三個問題：（1）兩個矩陣A，B滿足什么條件時才能相乘？（2）若C=AB，則C的行數(shù)和列數(shù)與A，B的行數(shù)列數(shù)有什么樣的關(guān)系？（3）矩陣C的每一個元素又是怎樣通過A，B的元素所得到的？讓學(xué)生帶著問題去學(xué)習(xí)定義，這樣不僅可以讓他們準確地學(xué)習(xí)矩陣的乘法，而且還可以培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)的學(xué)習(xí)能力。在講解矩陣對角化的內(nèi)容時，首先以一個具體的例子為例，解釋為什么要學(xué)習(xí)對角化的內(nèi)容，再給出矩陣對角化的準確定義，給出定義之后提出三個問題：（1）是不是每一個n階方陣都可以對角化？若不是必須滿足什么樣的條件？（2）若n階方陣A可逆，則對角化定義中的可逆矩陣P和對角陣怎樣通過A得到？（3）可逆矩陣A和對角陣唯一嗎？他們是否存在某種對應(yīng)關(guān)系？引導(dǎo)學(xué)生帶著這三個問題去學(xué)習(xí)，教學(xué)實踐證明，采用這樣的教學(xué)方式，學(xué)生能更有效地掌握相關(guān)知識，優(yōu)化教學(xué)質(zhì)量。

4.教學(xué)過程中注重“對比法”教學(xué)方式的運用。將一些容易混淆的概念經(jīng)常進行對比，例如行列式和矩陣的表示形式和本質(zhì)的對比；行列式性質(zhì)和矩陣的初等變換的對比，特別是行列式提公因式、矩陣倍乘變換和數(shù)乘運算的對比。

5.教學(xué)過程中注重“數(shù)學(xué)思想方法”的滲透，讓學(xué)生合上書本之后依舊清晰地記得從這門課程所得到的數(shù)學(xué)思想。（1）“聚零為整，化整為零”思想。例如：在講解線性方程組的求解時，可以用“聚零為整”思想將一個個方程聚成一個整體，得到方程組的整體矩陣形式，從而可以利用矩陣的初等變換來解決線性方程組的求解問題；相反地，矩陣的某些問題也可以通過“化整為零”的思想轉(zhuǎn)化為線性方程組進行求解：設(shè)A，B分別是m×n，n×t矩陣，AB=0，證明：R（A）+R（B）≤n，此證明過程便使用了“化整為零”的思想，將矩陣關(guān)系式AB=0“化整為零”化為n個等式，從而與齊次線性方程組聯(lián)系，再利用線性方程組的相關(guān)理論進行證明。（2）“一般向特殊，特殊向一般轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想。例如：矩陣對角化即是將一個一般矩陣向特殊對角陣轉(zhuǎn)化，將一般矩陣的計算問題歸結(jié)為對角陣研究；化二次型為標準型，也是利用特殊的標準型來研究一般二次型的問題；高斯消元法求解線性方程組也是將矩陣化為特殊的行最簡形矩陣，通過特殊的行階梯形方程組求解一般線性方程組的問題等等。

6.針對課程教學(xué)師資不足，缺乏教學(xué)經(jīng)驗的現(xiàn)狀，可以給每位青年教師配備一位指導(dǎo)老師，通過跟班聽課的方式，提前掌握本門課程的教學(xué)體系，掌握一些相關(guān)教學(xué)手段和方法；講授線性代數(shù)課程的老師還可以經(jīng)常進行教研活動，對某一章節(jié)各抒己見，在交流學(xué)習(xí)中明白“如何上好一門課”。

7.對于課程的考核可以適當改革單一的考核方式。舊的考核體系學(xué)生成績一般由兩部分組成：平時成績（出勤、交作業(yè)等平時表現(xiàn)）+卷面成績（試卷的實際分數(shù)），而光靠試卷的實際分數(shù)來認定卷面成績太單一，我們可以適當改革這個單一的考核方式，比如試卷可分為兩個相對獨立的部分，第一部分為基本理論，采用閉卷考試形式；第二部分為數(shù)學(xué)實驗部分，采用開卷的形式，這樣的形式不僅打消了學(xué)生考前突擊的學(xué)習(xí)思想，同時討論的過程讓他們學(xué)會交流，學(xué)會如何通過查找資料的方式解決學(xué)習(xí)中的問題，這對他們以后的成長是有很大幫助的。

[ 參 考 文 獻 ]

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[4] 唐揚斌，陳摯，戴清平.關(guān)于線性代數(shù)課程引入的思考[J].湖南工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2010，（3）.

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[責(zé)任編輯：左 蕓]