大學數(shù)學案例教學研究與應(yīng)用

[摘 要]大學數(shù)學其主要包括高等數(shù)學、概率論與數(shù)理統(tǒng)計和線性代數(shù)三門課程。案例教學法模式能很好地把理論學習與實踐應(yīng)用相結(jié)合。大學數(shù)學應(yīng)用案例教學有助于培養(yǎng)學生的學習興趣，活躍課堂氣氛，有助于實現(xiàn)教學相長。實施案例教學中需合理選擇案例，遵循可行性原則、針對性原則和趣味性原則。教師的主導作用在于做好課前準備、課中引導、課后總結(jié)工作案例教學方法應(yīng)與多種教學方式相結(jié)合。

[關(guān)鍵詞]大學數(shù)學 案例 案例教學

[中圖分類號] G642.0 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2013）15-0102-03

一、引言

大學數(shù)學是高校理工農(nóng)類、經(jīng)管類等專業(yè)必修的公共基礎(chǔ)課程，其主要包括高等數(shù)學、概率論與數(shù)理統(tǒng)計和線性代數(shù)三門課程。大學數(shù)學的理論和方法是高校許多學科各專業(yè)后續(xù)專業(yè)課程學習的基礎(chǔ)，有助于學生數(shù)學素養(yǎng)的養(yǎng)成及提高運用數(shù)學思想和方法解決實際問題的能力。然而，由于大學數(shù)學內(nèi)容豐富、抽象，邏輯推理性較強，一直被許多學生認為是枯燥乏味、比較困難的課程，學生上課興趣普遍不高、考試通過率低。因此，如何結(jié)合課程和專業(yè)特點，科學合理地設(shè)計教學方式、方法，有效開展教與學的雙邊活動，提高課堂效率，是廣大從事大學數(shù)學教學的教師應(yīng)該關(guān)注和研究的問題。

本文結(jié)合大學數(shù)學理論和方法具有較強應(yīng)用性的特點，結(jié)合教學實踐，研究案例教學在大學數(shù)學課程教學中的應(yīng)用問題，以期通過科學設(shè)計教學環(huán)節(jié)、合理運用案例教學，把大學數(shù)學抽象的理論知識與實際問題聯(lián)系起來，培養(yǎng)學生的學習興趣，使學生不僅樂于學，而且感覺學有所用，從而提高教學效果。

二、案例教學的定義

案例教學法是由美國哈佛法學院前院長克里斯托弗·各倫斯布斯·蘭德爾在1870 年提出的一種全新的教學方法，由于該教學模式能很好地把理論學習與實踐應(yīng)用相結(jié)合，故自其出現(xiàn)之后，案例教學方法便迅速在世界各地得到了廣泛的發(fā)展和應(yīng)用。與此同時，對案例教學的定義也由于各種不同的認知觀點和理論基礎(chǔ)而存在不同的表述。一般認為，案例教學是圍繞教學目標，在教師的指導下，讓學生對呈現(xiàn)的典型案例進行討論分析、歸納總結(jié)，從而培養(yǎng)其思維能力的一種新型教學方法。[1]由于案例教學以案例為基本教學材料，將學生引入理論與實踐相結(jié)合的情境中，使學生在對話、交流和討論中加深對課程基本理論、概念和方法的理解和掌握，因此，案例教學對于培養(yǎng)學生自主學習能力、創(chuàng)新精神、團隊協(xié)作精神及提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題能力等多方面具有重要的意義。

三、大學數(shù)學課程應(yīng)用案例教學的可行性

案例是案例教學中的一個重要的要素，[2]而來源于現(xiàn)實生活中出現(xiàn)的實際情況與具體問題的真實案例更能引起學生的關(guān)注和參與，也有助于案例教學活動實現(xiàn)最佳的教學效果。大學數(shù)學的三門公共基礎(chǔ)課的理論和方法在實際中都具有廣泛應(yīng)用。首先，在高等數(shù)學中，對函數(shù)各種性態(tài)的研究方法和結(jié)果可用于解決實際生活、生產(chǎn)活動中諸如求最優(yōu)值、平面圖形面積、變力做功及相對或絕對變化率等相關(guān)的問題。其次，由于現(xiàn)實世界中普遍存在著各種不確定性和隨機性，故概率論與數(shù)理統(tǒng)計的理論與方法在生物、醫(yī)學、金融以及管理決策等多個領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。法國數(shù)學家拉普拉斯就曾說過：生活中最重要的問題，其中絕大多數(shù)在實質(zhì)上只是概率的問題。另外，隨著電子計算機技術(shù)的快速發(fā)展和普及，線性代數(shù)作為一種解決離散變量的線性關(guān)系問題的重要的計算和分析工具也已在控制與決策、經(jīng)濟管理等領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。因而，大學數(shù)學在實際中的廣泛應(yīng)用實例為開展案例教學提供了必要的可行性。

四、實施案例教學中需注意的幾個問題

（一）合理選擇案例

案例是案例教學的主要內(nèi)容，在整個課程教學中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用，案例選取的好壞直接影響到案例教學的效果。下面結(jié)合作者本人的教學實踐，給出大學數(shù)學課程案例選擇的幾個參考原則。

1.可行性原則

可行性是指所選案例要有真實感，同時能讓學生用當前所學知識理解和分析案例。案例最好來源來實際的工作或生活問題且難度適當，不切實際或難度太大的案例都會讓學生失去討論和分析的興趣。例如在講概率論與數(shù)理統(tǒng)計時，可選取如下在日常生活中常見的抽簽問題作為案例。

案例1 一場精彩的足球比賽將要舉行，5個球迷好不容易才弄到一張球票，由于大家都很想去看球，只好用抽簽的方法來決定，試問后面抽簽的比先抽簽的吃虧嗎？

這是一個很簡單的案例，學生可先通過直觀的認知感覺對結(jié)果進行討論，在教師的引導下，相信多數(shù)的學生很快就會發(fā)現(xiàn)該問題實質(zhì)上等價于用乘法公式計算每個人抽中球票的概率。并通過分析計算得到結(jié)論：每個人抽中球票的概率是一樣的，即抽簽不必爭先恐后。

2.針對性原則

案例應(yīng)盡可能根據(jù)本專業(yè)特點來選擇。通過案例教學，讓學生認識到數(shù)學理論和方法在本專業(yè)中的具體應(yīng)用，明確為何學數(shù)學的問題，進而增強學習數(shù)學的主動性和積極性。如在講《線性代數(shù)》中相似矩陣及矩陣對角化的知識點時，可考慮如下的兩個案例。

案例2 有甲、乙兩個地區(qū)，假設(shè)甲地每年有30%的人遷入乙地，乙地每年有20%的人遷入甲地，設(shè)甲地人口60萬，乙地人口40萬，且兩地區(qū)總?cè)丝诒３植蛔儭?年后甲地及乙地人口分別是多少？ 經(jīng)過很長時間后，兩地人口的分布是否會趨于一個“穩(wěn)定狀態(tài)”？

案例3 設(shè)某個農(nóng)業(yè)研究所植物園中某植物的基因型為AA，Aa和aa.常染色體遺傳的規(guī)律是：后代是從每個親體的基因?qū)χ欣^承一個基因，形成自己的基因?qū)ΑＨ绻紤]的遺傳特征是由兩個基因A，a控制的，那末就有三種基因?qū)Γ洖锳A，Aa，aa.研究所計劃采用AA型的植物與每一種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代。另設(shè)雙親體結(jié)合形成后代的基因型概率如表一所示，問經(jīng)過若干年后，這種植物的任意一代的三種基因型分布如何？

表一 基因型概率矩陣

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上述兩個案例都可以歸結(jié)為用《線性代數(shù)》矩陣對角化的方法結(jié)合極限方法求解。[3]但兩個案例的應(yīng)用背景不同，一個是人口問題，另一個則為生物育種問題。故在案例教學中，對于經(jīng)管類專業(yè)可以選取案例2進行討論分析，而對于農(nóng)林類和生科類的學生，則選取案例3較為適宜。

3.趣味性原則

興趣是最好的老師，一個生動、有趣的案例會引起學生極大的興趣，從而積極主動地參與到案例的討論和分析中。例如講授《高等數(shù)學》差分方程的內(nèi)容時，可以選擇以下案例。

案例4[4] 設(shè)某人目前體重100kg，如果每周吸收20000kcal的熱量，則體重維持不變，現(xiàn)欲通過控制飲食和增加運動減肥至75kg.考慮以下的塑身計劃問題。

（a）如果在不運動的情況下分兩階段進行塑身。第一階段：每周減肥1kg，每周吸收熱量逐漸減少，直至達到下限（10000kcal）.第二階段：每周吸收熱量保持下限，直至達到減肥目標。則第一階段每周應(yīng)吸收多少熱量？第一和第二階段各需多少周？

（b）如果在第二階段增加運動以加快塑身計劃進程，試就表二給的數(shù)據(jù)安排計劃。

（c）給出達到目標后維持體重的方案。

表二 每小時每千克體重消耗的熱量（kcal）

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該案例可以通過求解一階非齊次差分方程得到塑身計劃方案。由于減肥問題是日常生活中喜聞樂見的問題，故該案例能吸引學生濃厚的興趣，在對問題的探究求解過程中也必將加深對所學數(shù)學內(nèi)容的理解和掌握。

（二）發(fā)揮好教師的主導作用

案例教學強調(diào)以學生為參與的主體，教師為主導，主導服務(wù)于主體。雖然教師不再是講授的主要角色，但發(fā)揮好教師的主導作用是案例教學成功的重要保證。這需要求其做好以下幾方面的工作。

1.課前準備。首先，任課教師需根據(jù)授課內(nèi)容在課前確定所用案例，教師可以從已有的案例庫中選取，也可以安排學生課前分組通過網(wǎng)絡(luò)、報刊、雜志等渠道搜集他們感興趣的案例。其次，確定案例后，教師需充分熟悉案例及蘊涵在案例中的理論方法，并對案例教學過程中可能出現(xiàn)的各種情景預(yù)先做出估計和分析，并制定相應(yīng)的應(yīng)對措施。

2.課中引導。教師作為案例教學的主持人，在積極引導學生發(fā)言和討論的同時，需根據(jù)所授內(nèi)容的難易以及學生的現(xiàn)場反應(yīng)，把握好節(jié)奏和尺度，調(diào)動和營造良好的課堂氣氛，使學生的主體性得以充分的發(fā)揮，實現(xiàn)最佳的教學效果。

3.課后總結(jié)。案例教學結(jié)束后，教師要及時進行總結(jié)。一方面，對學生在案例討論分析中的表現(xiàn)進行點評，如對學生在分析解決問題中呈現(xiàn)出的創(chuàng)造性思維給予表揚，而對于某些不足之處則加以指正和鼓勵。同時，教師應(yīng)引導學生歸納和整理案例教學中所用到的知識和方法，使知識系統(tǒng)化。另一方面，教師也要根據(jù)案例教學的實踐情況，對案例選擇、教學方法、組織方式等方面進行總結(jié)，不斷地改進和完善案例教學方法。

（三）案例教學與多種教學方式相結(jié)合

如前所述，案例教學在激發(fā)學生學習興趣，實現(xiàn)教學相長等方面具有傳統(tǒng)教學方法所不能比擬的優(yōu)勢。但我們也應(yīng)注意到，案例教學的有效開展無論是對教師還是學生都有較高的要求，學生只有將相關(guān)數(shù)學理論和方法理解得透徹，才能充分參與案例討論。而作為主導者的教師，能在案例教學的過程中熟練融合運用啟發(fā)式、問題式、討論式等教學方法也是案例教學取得成功的重要因素。另外，案例教學也存在傳授知識缺乏系統(tǒng)性及教學復雜、耗時等不足。因而，案例教學應(yīng)與多種教學方式、方法相結(jié)合，才能發(fā)揮其最大的作用。

五、結(jié)束語

數(shù)學是一門理論與實踐并重的科學，隨著社會的發(fā)展進步，數(shù)學與其他學科的交叉融合不斷得到加強和發(fā)展。時代的發(fā)展要求學生不但要學會數(shù)學的基本理論和方法，更重要的是學會將其靈活運用。案例教學法作為理論聯(lián)系實際的橋梁，雖然其也存在一定的不足，但通過教學實踐表明，在大學數(shù)學課程中引入案例教學，對培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣、提升教學效果、完善數(shù)學課程建設(shè)及實現(xiàn)學生的素質(zhì)教育等多方面都有著積極的作用。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 關(guān)秋，陳梅.案例教學的理論研究綜述[J].教育與職業(yè)，2011，（20）：145-146.

[2] 郭德紅，紀向榮.案例教學的要素和方法[J].衡水學院學報，2007，9（2）：107-110.

[3] 黎虹.線性代數(shù)教學中結(jié)合應(yīng)用問題舉例[J].菏澤學院學報，2009，31（2）：127-130.

[4] 王中興.微積分[M].北京：科學出版社，2012.

[責任編輯：林志恒]