數學建模思想融入數學專業課程教學的探討

[摘 要]在數學專業課程教學中融入數學建模思想具有其必要性與重要性。數學專業課程教學應將數學建模思想融入數學分析、高等代數、概率論與數理統計、常微分方程課程教學中。對教學方法進行必要的改革，更新教材內容，建立新的課程體系。

[關鍵詞]數學建模 數學專業課程 課程教育

[中圖分類號] G640 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2013）15-0106-03

在知識經濟時代，數學科學的地位發生了巨大的變化，數學理論與方法不斷擴充，數學應用越來越廣泛和深入。傳統的數學教育重視的是數學知識體系的傳授，數學概念、定義、定理及基本計算方法的傳授，課堂教學基本以教師為中心，以教材為藍本，內容抽象，學習難度較高，學時少，內容多，不重視如何應用數學方法解決實際問題，忽視了訓練學生如何從實際問題出發提煉出數學模型，以及如何用數學知識來解決實際問題的環節。筆者認為將數學建模思想融入數學專業課程教學中，能為數學與外部世界構建一架橋梁，改變學生的學習方式，提高課堂教學效率，從而培養學生提出問題、分析問題、解決問題與科學探究的能力，是對數學教學體系和內容改革的一個有益嘗試。

一、在數學專業課程教學中融入數學建模思想的必要性與重要性

數學家吳文俊曾說過，“數學要真正得到應用，數學建模是取得成功最重要的途徑之一”。數學建模是如何定義的呢？數學建模競賽全國組委會主任李大潛這樣來解釋，數學是一門重要的基礎學科，它的呈現形式是非常抽象的，而它豐富的內涵往往是掩蓋在其抽象的形式背后的，學生不能理解，往往認為學數學無用。現實中我們要解決一個工程技術、經濟建設、控制與優化、預報與決策或是社會領域等方面的問題，首先要在實際問題與數學問題之間架設一個橋梁，把實際問題轉化為數學問題，其次要對它進行分析和計算，求得結果，最后要驗證這個結果是否符合實際，其中最關鍵的就是用數學語言來表述我們所要研究的對象，即建立數學模型。可見，數學建模是聯系數學理論與實際問題的橋梁，它是對實際問題進行分析，建立數學模型，對模型求解并用于處理實際問題的。可見，在各個專業開設數學建模課程，同時積極參加全國大學生數學建模競賽，在數學專業課程中努力融入數學建模思想，是值得大力提倡的做法。

二、在數學專業課程教學中融入數學建模思想的一些建議

（一）更新教材內容，建立新的課程體系

教材是教師“教”和學生“學”的主要依據，教材編寫的好壞與教學質量有直接的聯系。傳統的數學教材內容是一個完整的知識體系，是以“知識點為中心”來呈現的，知識點非常抽象且難以理解。而新的課程體系的指導思想是以提高數學素質為目的， 從基礎出發，同時注重理論聯系實際，把數學建模思想真正融入數學專業課程當中。在將純理論的數學知識與實際應用聯系起來時，最好在學習定義、性質、定理等都能介紹相關的背景知識或者是與之有關的小故事，讓學生了解該定義與定理是如何在實際中產生的，能解決實際中的哪些問題，從而提高學生的學習興趣，讓他們積極主動地探索，并進一步提高學生的數學應用能力。最后，在新教材的編寫上面應注重教育理念的更新，教材內容的呈現方式，注重數學與現實生活的聯系，培養學生的問題意識。

（二）對教學方法進行必要的改革

傳統的數學專業課教學一般采用教師講、學生聽的教學模式， 始終把學生當成是知識的容器，這種以知識為中心的模式有必要進行改革了。我們的教學重點應該是培養學生具備獲取知識的能力，主動探索的精神，自我思考的意識。教師在講授時可以創設豐富的問題情境，精講多思，引發學生進行思考，加深學生對知識點的理解。課堂上可以采用小組的形式（同組、前后四人小組、六人小組乃至大組）進行合作學習，對該堂課的知識點進行反復強化，這樣可以有效提高課堂教學效率。在課堂教學中還可以采用理論與實際結合、教師講授與學生討論結合、數形結合的方式來開展教學活動。另外，在數學專業課程教學中，也可以采用數學建模教學中普遍用到的案例教學和課堂討論來豐富數學專業課程教學的形式和方法，還可以用“項目教學法”和“面向問題式教學法”來引入新的概念和定理，從而培養學生的團隊協作意識與面對困難的勇氣。

（三）在數學專業課程中巧妙滲透數學建模思想

1.在數學分析課程中滲透數學建模思想

廣義地說，數學分析要研究的是與所謂連續性有關的數學問題，為此人們建立了許多有效的方法，其中重要的工作是確切地說清楚了極限現象，也就是在數學上合理地定義了極限。而極限概念是學生很難理解的一個概念，是教學中的一個難點。但極限也是從現實世界抽象出來的一個數學模型，教師可以用數學建模思想來解釋這個概念，以此提高學生的學習興趣。例如：我們可以利用《莊子·天下篇》中的一句話“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”來引入，引導學生分析并歸納出數列極限的概念。而在學習導數概念時，可以引入瞬時速度與曲線上某一點處的切線斜率這兩個模型來抽象出共同的本質特點從而導出導數的概念，這樣學生就不會覺得突兀，難以接受了。數學分析中有很多定理，在定理的證明過程中，傳統的教學方式往往是用定理來證明定理，學生不容易理解。此時，可以先讓學生了解定理產生的背景以及與定理有關的小故事，引起他們的興趣，然后把定理的結論看作是一個特定的數學模型，教師通過定理的條件（看作是模型的假設）預先設計的問題情境引導學生去建立這個模型，從而證明出定理的結論。

2.在高等代數課程中滲透數學建模思想

《高等代數》是數學教育專業的三大專業基礎課之一。該課程內容比較多，學時少，在有限的學時內要完成教學任務，教師只能在課堂教學中注重高等代數的基本概念、基本方法和基本思想的闡述，對于高等代數中問題產生的背景以及在學科中的應用和與中學內容的聯系等內容就無法涉及，因而數學專業的大學新生很難迅速地由中學初等思維向大學高等思維轉變，大部分學生都覺得高等代數太抽象、太難理解，甚至覺得沒有用。面對這樣的教學狀況，教師可以考慮將數學建模思想融入高等代數課程當中，可以在概念與定理的教學中，先給出一些簡單的數學模型例子，把實際問題融入高等代數的內容中，讓學生知道抽象的代數概念也是來源于現實世界的，是與實際問題息息相關的，這樣會激發學生的學習興趣，有利于教學的開展。在高等代數教學中，主要涉及的內容是多項式概念、行列式概念、線性方程組概念、矩陣概念及線性空間概念，針對每一個概念，教師可以先找與它有關的實際問題作為一個簡單的數學模型，在課堂上，可以讓學生從該模型入手，小組討論，展示結果，從而得到本堂課要學習的知識點。

3.在概率論與數理統計課程中滲透數學建模思想

近幾年來，在全國大學生數學建模競賽試題中，很多競賽題目都用到了概率統計的知識。概率論與數理統計課程描述、分析和處理問題的方法與其他數學分支不同，它是一種觀測試驗與理性思維相結合的科學方法。概率統計中蘊涵著豐富的數學方法，如模型化法、構造法、變換法等。例如：現在備受大家關注的一種對人類生命產生嚴重威脅的疾病——腦卒中（也叫做腦中風），專家已經證實它的誘發與環境因素（包括氣溫和濕度）存在密切的關系。因此，我們需要針對腦卒中發病率與氣溫、氣壓以及相對濕度的關系建立數學模型，并結合高危人群的特征和關鍵指標，研究腦卒中發病的規律。首先，根據病人的基本信息，對其性別、年齡段、職業等三方面進行分類統計，利用賦值、作圖等形式得出下面的結論：腦卒中男性患者多于女性患者；中老年人在發病人群中發病率最高，高達98%；在各類職業發病人群中農民的發病率最高（占68%），其次為退休人員（16%）和工人（11%）。其次，先對病例和氣象因素數據進行分析、處理，運用圖表的形式展現2007至2010年各月病例數和氣象因素的變化規律，再利用圓形統計分析法通過三角函數變換計算出腦卒中的高峰期。進而采用多元線性回歸分析，建立模型，運用最小二乘法計算得多元線性回歸方程，并對其作隨機誤差項方差的估計得出回歸方程的標準誤差較大，進而采用8項氣象指標分別與同期腦卒中的月發病例數進行單因素相關性分析，再應用后退法多元逐步回歸分析多種氣象因素共同作用與腦卒中的相關性，得出腦卒中與最高氣壓、平均氣壓、最高溫度、平均相對濕度相關性較大。最后，通過網上查閱相關資料及有關文獻，運用軟件對其數據進行處理，計算出腦卒中發病率的各因素的爆發率，從而確定影響高危人群引發腦卒中疾病的重要因素。結合前面的結論，從腦卒中的可干預因素及不可干預因素中對腦卒中高危人群提出相應的預防措施和建議方案。可見，研究腦卒中發病的規律，利用概率統計知識建立數學模型對衛生部門和醫療機構各方面的改善和改革都具有實際意義。

4.在常微分方程課程中滲透數學建模思想

在常微分方程教學中，涉及建立數學模型的問題很多。教師在授課當中，要注重在實際問題中提煉出微分方程，同時進行求解。如傳染病模型：我們知道各種傳染病一直是大家關注的熱點，然而不同類型的傳染病它的傳播過程有其各自不同的特點，弄清這些特點需要相當多的病理知識，我們不可能從醫學的角度一一分析各種傳染病的傳播，而只能按照一般的傳播機理來建立幾種模型。最初建立的模型把病人人數看成是連續、可微函數，把每天每個病人有效接觸的人數看成是常數，此模型不符合實際，基本上不能用，于是修改假設后得到SI模型，此模型雖有所改進，但仍不符合實際，進一步修改假設，并針對不同情況建立SIS模型和SIR模型，這兩個模型描述了傳播過程、分析感染人數的變化規律，預測傳染病高潮到來時刻，度量傳染病蔓延的程度并探索制止蔓延的手段，是比較成功的模型。如正規戰與游擊戰：在第一次世界大戰期間，F.W.Lanchester提出了幾個預測戰爭結局的簡單數學模型，其中有描述傳統的正規戰爭的，也有考慮稍微復雜的游擊戰爭的，以及雙方分別使用正規部隊和游擊部隊的混合戰爭的。后來對這些模型進行進一步的改進和完善，用以分析一些著名的戰爭。J.H.Engel用二次大戰末期美日硫磺島戰役中的美軍戰地記錄，對正規戰爭模型進行了驗證，發現模型結果與實際數據吻合得很好。

5.在考核中適當滲透數學建模思想

在傳統的數學專業課程考核中，教師大都采用一套試卷來進行測試，試題的題型是固定的，內容是例題的翻版。這種考核方式根本不能看出學生對知識掌握的程度。因此，教師有必要在考核中適當引入一些數學建模問題；或者在考核中引入一些趣味游戲，由學生獨立或組隊去完成問題，記錄成績，把這作為學生平時成績的一個方面。通過這種做法，學生體會到數學與實際確實是不可分開的，數學來源于實際，同時也體會到團隊合作的重要性，從而獲得除數學知識本身以外的素質與能力。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 李大潛.中國大學生數學建模競賽[M].北京： 高等教育出版社，2008.

[2] 姜啟源， 謝金星， 葉俊. 數學模型（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3] 畢曉華，許鈞.將數學建模思想融入應用型本科數學教學初探[J].教育與職業，2011，（9）：113-114.

[4] 李大潛.將數學建模思想融入數學類主干課程[J].中國大學教學，2006，（1）：9-11.

[5] 唐紅兵. 淺談《概率論》教學中如何融入數學建模[J]. 黑龍江生態工程職業學院學報，2010，23（4）：101-102.

[6] 林遠華，盧鈺松.關于數學分析課程滲透數學建模思想的思考[J].科教文匯（下旬刊），2011，（4）：72-73.

[7] 商秀印，顧志華.將數學建模思想融入大學數學課堂[J].長春理工大學學報， 2010，5（6）：164-165.

[8] 劉振云.將數學建模思想融入高職數學教學初探[J].高等職業教育（天津職業大學學報）， 2007，16（6）：53-55.

[9] 王汝發.數學教學中融入數學文化與數學建模思想之探索[J].教育文化論壇， 2011，（4）：90-93.

[責任編輯：陳 明]