激活課堂，告別沉悶

[摘 要]高等數學由于其抽象的語言形式和“沉悶”的邏輯推演而容易使學生對其敬而遠之，從而影響教學效果。要改變這種狀況，首要的任務是要激發學生的學習興趣和學習熱情。在多年授課經驗的基礎上，本文就如何激活課堂，將抽象的高等數學解構得既深刻又生動進行了一些探索和思考。

[關鍵詞]興趣 高等數學 教學探索

[中圖分類號] G420 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2013）18-0071-03

大學數學通常給人以枯燥乏味的印象，“學生不愿學，教師教不動”的沉悶局面時常出現在教學過程中[1-2]。這種狀況與數學在科技和經濟發展中的重要地位形成強烈對比。顯然，學生不愿學的主要原因是對學數學沒有產生興趣。因此，如何把抽象的數學解析成既生動又富有啟發性，是每一位大學數學教師所面臨的重要課題。著名的數學家、教育家——王梓坤院士也曾指出：“數學教師的職責之一在于培養學生對數學的興趣，這等于給了他們長久鉆研數學的動力。優秀的數學教師之所以在學生心中永志不忘，就是由于他點燃了學生心靈中熱愛數學的熊熊火焰[3]。”下面是筆者近幾年來在講授高等數學課程中的探索與實踐。

一、精心設計所有教學內容，對學生形成持久的吸引力

“工欲善其事，必先利其器”，然而，要想在教學中讓學生對抽象的東西感興趣，不是件容易的事。因為，數學教材通常以“定義--定理--性質--例子”的形式呈現出來。學生看到的是完美的結論、天衣無縫的證明，至于書中的證明是如何想出來的，對學生來說是神秘的。可以想象，假如一個教師備課時完全拘泥于教材，上課時只是干巴巴地重復課本上的定義和定理，其課堂氣氛一定很沉悶。因此，為了吸引學生的注意力，調動學生的思維，教師必須要舍得花時間深入研究教材，吃透教材，并在教材的基礎進行再度創作。比如，如何將知識的背景及其發展過程呈現出來？如何提出問題引導學生思考？對于容易產生誤解的問題如何去分析？特別是，如何激發學生對已有知識和經驗的回憶與升華？甚至是如何啟迪學生思維，使學生走得更遠一點、看得更深入一點？這些都需要教師在課前精雕細琢、提煉分析，才能在課堂上深入淺出地進行教學，并使學生感受到數學的魅力，從而對學生形成持久的吸引力。總之，多年的教學實踐使我們深深體會到，備課時，教師要做有心人，要站在學生的角度進行備課，課堂上才能吸引學生的注意力。

二、問題驅動，激活思考

問題是數學的心臟。1900年，在巴黎召開的第二次國際數學家大會上，德國數學家Hilbert提出的著名的23個問題至今影響著數學的發展。既然數學是問題化的，那么，傳授數學的過程也應該是問題式的[5]。然而，現行的教材往往一上來就直接下定義，很少講“為什么”？這種強調數學的邏輯嚴密性，忽視其豐富的思維過程的做法，大大挫傷了學生的學習積極性。因此，為激發學生的學習熱情，筆者在教學中，并沒有像書本一樣從一開始就從天而降地給學生講抽象的概念，而是針對每一節課的內容，精心設計一系列具有啟發性、能激發學生探意識、展現思維過程的“問題”，然后圍繞要解決的“問題”展開教學，以“問題”來調動學生思維，讓學生在解決問題中去探索、學習，并逐步養成自己在問題中尋找規律的習慣。例如，講“無窮小的比較”時，筆者是透過下面的問題集展開教學的。

問題1：兩個無窮小的和、差、積仍是無窮小；那么商的情況又會怎樣呢？

問題2：當x→0，時，函數x，x3，sinx，tan2x都是無窮小，觀察下列各極限的值：

問題3：顯然 而且當x趨于零時，這三個極限的分子和分母都趨于零，那么，x3和x，tan2x和4x，sinx和x趨于零的速度是否一樣？

問題4：如何刻畫兩個無窮小在同一過程中趨于零的“快慢”程度？

一般在提問問題3之后，筆者會讓學生再觀察表1和圖1之后才提問問題4，從而水到渠成地引出“無窮小的階”的概念。

表1

圖1

又如，講“曲率”這節內容時，首先設問：火車在鐵軌上行駛時， 如果拐彎太急， 乘客的感覺如何？當學生回答：“感覺會被甩出去、不舒適時”。追問，如何避免此類情況的出現？當學生提出拐彎處鐵軌的彎曲程度是個關鍵問題時，順勢提問：曲線的彎曲程度與什么量有關系？并引導學生觀察圖2-1，學生很快就明白曲線彎曲程度與切線轉過的角度有關。接著讓學生觀察圖2-2，并自主探究切線轉過的角度與曲線彎曲程度的關系，很快學生得出切線轉過的角度越大曲線彎曲得越厲害，即曲線彎曲程度與切線的夾角Δα成正比；然后讓學生觀察圖2-3，并得出弧長越小的曲線弧彎曲得越厲害，即曲線彎曲程度與曲線的長度Δs成反比。在此基礎上，引導學生類比“速度”的概念，得出“曲率”的概念，K= | |，并讓學生動手計算直線和圓的曲率，以檢驗用“曲率”度量曲線的彎曲程度的合理性。最后，讓學生思考當曲線的彎曲情況較復雜時，如何計算曲率？并引導學生借助微商、弧微分等知識，推導出曲率的計算公式K=

圖2-1 開叉的竹枝

圖2-2

圖2-3

三、盡量使抽象的數學變得自然，引導學生逐步從形象思維走向抽象思維

由于數學的抽象形式及其嚴格的證明推導與人們的直覺經驗相距甚遠，加上數學教材總是力求寫得“完美無缺”，這就造成了數學在認知上的困難。難怪有人戲稱數學課堂很容易催生特“困”生：本來還很明白的東西，聽著聽著就困惑了，接著就搖搖欲睡。針對這一情況，我們在教學中努力要做到的一件事就是讓數學通俗易懂。為此，在教學中，筆者盡可能地以直觀的圖形、深入淺出的方式講解數學。即用數形結合的方法、或通俗的比喻、或形象的類比，讓抽象的數學變得自然形象起來。

例如，講“微分中值定理”時，利用美國某些高速公路的收費辦法作為問題的引入：在每一個入口處，檢查人員給車上貼上標簽，標明進入路段的時間和地點；在出口處，檢查人員會根據此標簽判斷是否有超速行駛行為[6]。然后提問：你知道檢查人員是如何判斷的嗎？這樣的問題引入既有強烈的生活氣息，又不乏趣味性，一下子就調動了學生聽課的興趣。接著引導學生將上述問題轉化為圖形，如圖3。學生很快發現，在從入口到出口的這段時間里至少有某個時刻， 車的速率剛好等于平均速率。于是得出結論：檢查人員是根據車的平均速率來判斷汽車有否超速行為的。接著，讓學生試著用數學語言將這樣一個性質表示出來，從而順理成章地引出Lagrange中值定理。之后讓學生思考：如果圖3中的弦AB平行于x軸，這個性質是否還存在？從而引出Rolle中值定理。講Cauchy中值定理時，引導學生考慮以下問題：當閉區間[a，b]上的連續光滑曲線是由參數方程給出時，Lagrange中值定理的結論會發生怎樣的改變？并啟發學生將Lagrange中值定理中的結論用參數方程的形式表示出來，從而Cauchy中值定理水到渠成地浮出水面。

圖3

最后，在分析證明了這三個中值定理之后，啟發學生歸納三個中值定理的實質與聯系，如圖4所示。即連續光滑的曲線上至少存在一條切線平行于端點的連線；三個微分中值定理是這一幾何特征在不同條件（主要是曲線方程的不同）下的表述結果[4]。

圖4 三個微分中值定理的實質與聯系

實踐證明，以上的教學安排，能引發學生積極思考，逐步從形象思維走向抽象思維，并讓學生在課堂中大膽探索、感受發現真理的過程。既提高了學生的學習興趣，也培養了學生的創造性思維能力。

四、將數學史融入教學，增加數學的親和力

數學中任何一個概念的建立、一個定理的誕生都有一定的歷史背景和艱難曲折的探索過程。但現行教材限于篇幅，大多忽略了其產生過程的曲折和坎坷，使學生看不到數學發展的全貌，而只看到機械化的表述和完美的結論。因此，如果教師上課時只是照本宣科，很容易讓學生覺得數學課堂只是干巴巴的符號定義和枯燥的推導證明，從而對數學失去學習興趣。回顧歷史，我們發現，數學的發展也曾有過動人心弦的歷史：因沉迷于幾何題的計算，而被愚蠢的羅馬士兵殺死的阿基米德的故事，會讓我們為先賢扼腕，美麗的哥尼斯堡的七橋令人心馳神往，神奇的莫比烏斯帶讓人對數學的美妙產生無限的遐想……因此，在教學中適當穿插介紹一些數學定理和概念的歷史演變過程，讓學生了解數學不是由數學家突發奇想憑空產生的，數學原來是如此神奇，通常可以產生意想不到的教學效果。特別是當學生了解這些定理和概念誕生背后的艱難歷程和那些為數學拼搏一生、奉獻一生的數學家的故事之后，再去細細品味定理和概念的內涵，感受肯定和以前不一樣。

比如，函數極限的ε-δ定義，許多學生只知道如下定義：對？坌ε>0，？堝δ>0，當0<|x-x0|<δ時，有|f（x）-A|<ε，則稱 f（x）=A[4]。課堂上老師會舉例說明可以用此定義證明函數極限的存在性。如果學生追問為什么，老師往往會回答：能做就行。顯然，這樣的教學無法消除學生剛接觸極限概念時的畏難心理。相反，如果教師在課堂上能扼要地介紹微積分的發展歷史，讓學生了解極限概念從萌芽到完善，經過了近兩千多年的時間，正是基于前人不懈的探索，數學家柯西才給出了極限動態的描述性定義，維爾斯特拉斯則又進一步給出了極限靜態的ε-δ定義。相信學生了解了這段歷史，弄清楚極限定義的來龍去脈后，剛接觸極限概念時的畏難心理會煙消云散，并仔細聆聽課堂上老師的講解，從而為后面連續性、導數、積分等重要概念的學習打下良好的基礎。

總之，只要我們善于挖掘數學史上那些閃耀著科學思想光輝的人文軼事，并合理融入課堂上，是可以消除數學在學生心中的神秘感，增加數學的親和力，從而激發學生的學習熱情和學習興趣，使“沉悶”的高等數學變得既深刻又生動。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 高等學校非數學類專業數學基礎課程教學指導分委員會.關于大學數學教學現狀和提高教學質量的建議[J].中國大學教學，2005，（2）.

[2] 伍建華，江世宏，戴祖旭，等.大學數學教學的現狀調查和分析[J].數學教育學報，2007，（8）.

[3] 王梓坤.讓你開竅的數學叢書序[M].鄭州：河南科學技術出版社，1997.

[4] 同濟大學數學系編.高等數學（上、下冊）（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[5] 烏蘭哈斯.問題應貫穿于教學始終[N].汕頭大學校報，2004：190.

[6] 王高峽.讓微積分的學習生動有趣[J].高等數學研究，2000，（3）.

[責任編輯：左 蕓]