注重知識生成 教會學生舉一反三

摘 要：學生數學練習的指導經常性的會陷入如一種事倍功半的效果，本文立足于課堂教學過程，從教學不同層次闡述了練習指導的一些做法和思考，打破以往就練習談練習僵化思維，追根朔源發人深思。

關鍵詞：知識生成過程；數學概念；思維轉換；舉一反三

中圖分類號：G622 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）33-068-01

數學教學中，我常常因為無法打開學生的思路而苦惱。書上的練習學生大部分都會計算，但是你一但將其放在試卷中或者稍作變換時，學生往往一片茫然，不是做錯就是不會。我也曾將這一現象戲稱為“不良反應”，究其實，產生這一現象的原因有：學生對考試的恐懼心理造成的思維停滯和知識盲區；學習過于死板，應變能力不強；所學知識沒有融會貫通，缺乏自信?；谏厦娴姆治觯谡n堂練習中，我將變式練習作為學生訓練的重點，從基本概念中展開，教會學生舉一反三，逐類旁通。

在圓柱表面積和體積、圓錐體積的計算練習中，我曾進行過如下的嘗試：

一、從圓柱與圓錐的形成入手，強化數學概念理解：

“探索一些圖形的形狀、大小和位置關系，了解一些幾何體和平面圖形的基本特征；體驗簡單圖形的運動過程，能在方格紙上畫出簡單圖形運動后的圖形，了解確定物體位置的一些基本方法；掌握測量、識圖和畫圖的基本方法?！?/p>

在圓柱概念形成的過程中，學生知道以長方形的一邊為軸，旋轉一周，便形成了一個圓柱。教學中，我以此出發點指導學生進行變式訓練。

例、將一個長為3cm ，寬為1cm 的長方形，以一條邊為軸進行旋轉，所得到的圓柱，它的表面和體積各是多少？

在這一題目的計算中，學生要從兩個角度進行考慮：

（1）以 a=3cm 為軸進行旋轉，得到的圓柱為：底面 r=3cm h=1cm.

（2）以b=1cm為軸進行旋轉，得到的圓柱為：底面 r=1cm h=3cm .

通過這兩個層次的解析，使學生明確了數學概念內涵和外延，強化了學生數學思維的深度，拓展了數學思維的廣度。其次通過計算的結果對比，也讓學生明確了圓柱表面積和體積的大小，與地面半徑和高的大小有著密不可分的關系，聯系生活實際，學生為自己的豁然頓悟，感到了興奮和自豪，增強了學習數學的興趣。

思考與訓練：1、將一邊長為 2cm 的正方形，以一條邊為軸進行旋轉，所得圓柱，它的表面積和體積各是多少？

2、將例題中的長方形如果以對角線為軸進行旋轉，所得的圖形是什么圖形，你能算出它的體積嗎？試試看。

有了圓柱概念形成的經驗，我又讓學生以兩個三角板（正三角板和斜三角板）的直角邊為軸，進行旋轉。看看可以形成幾個圓錐，你能算出他們的體積嗎？學生個個興趣盎然，躍躍欲試。通過這一變式訓練，不僅強化了學生對于數學概念的掌握，同時也使得他們對圓柱表面積和體積以及圓錐體積的計算有了更深刻的認識。

二、變化公式條件，增強數學靈活性。

“在數學課程中，應當注重發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。為了適應時代發展對人才培養的需要，數學課程還要特別注重發展學生的應用意識和創新意識?！?/p>

圓錐體積的計算公式是從與圓柱的對比實驗中得到的 V= 1/3Sh 。這一結論有一個重要的條件：圓柱和圓錐等底等高。在一般的計算中，學生是不用考慮這一要素的，只要是圓錐，就按公式計算出體積就可以了。但在圓錐與圓柱的對比練習中，這一要素就顯得尤為重要學生稍有不慎，就會思想模糊容易出錯。其實質是公式理解不到位舍本求末，靈活性太差。為此，在練習中我進行如下的嘗試訓練：

（1）體積底面積相等，圓柱與圓錐的高有何關系？（圓柱是圓錐高的1/3）

（2）體積高相等，圓柱與圓錐的底面積有何關系？（圓柱是圓錐底面積的1/3）

通過訓練和對比分析，學生從最基本的結論“底面積和高相等，圓柱的體積等于圓錐體積的3倍”推演和驗證了，圓柱和圓錐體積及其構成要素之間的密切聯系，以及在各要素之間相互變化時產生出不同的結論。從而感受到了數學的“求變”思想和變化的無窮魅力。

三、截剖變形，轉換思維角度。

為使每個學生都受到良好的數學教育，數學教學不僅要使學生獲得數學的知識技能，而且要把知識技能、數學思考、問題解決、情感態度四個方面目標有機結合，整體實現課程目標。

圓柱與圓錐在教學過程中，更要注意其幾何體的特點及其形成過程，讓學生在這一動態的生成過程中，細心的觀察、發現、感受其特點，從而從本質上掌握定義公式性質等解決問題的基本要素，才有可能在形變的過程中進行靈活的演變，抓住其核心和關鍵的計算要素，靈活正確的處理和解決問題。

圓柱與圓錐的形成都是通過長方形和直角三角形旋轉得到的，那么這個截剖變形就是有章可循的。為了增強學生求異思維，在數學練習中，進行簡單的“破壞”原型幾何體的訓練，就顯得非常重要。

例：一圓柱高為3米，沿地面直徑將它剖開，表面積增加了12平方米，請問這個圓柱的體積是多少平方米？

通過訓練使學生明確了，無論截還是剖，都是通過轉化條件的方式來考察我們解決問題靈活性。這就要求我們在解決數學問題時，首先從數學概念的原始形成入手，注重知識生成過程的分析，全方位多角度掌握概念和公式的應用，舉一反三，逐類旁通，只有這樣，才會在數學解題時思維活躍，得心應手，增強自信。

參考文獻：

[1] 義務教育數學課程標準（2011年版）.