淺談?dòng)邢揄?xiàng)級(jí)數(shù)求和的幾種方法

摘 要：有限項(xiàng)級(jí)數(shù)求和問(wèn)題在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中廣泛地被應(yīng)用，占據(jù)著舉足輕重的作用。本文就此分別介紹了有限項(xiàng)級(jí)數(shù)求和的五種方法（公式法、分解法、待定系數(shù)法、裂項(xiàng)法、逐差法），讓學(xué)生可以通過(guò)本文而掌握有限項(xiàng)級(jí)數(shù)求和的幾種方法，從而取得事半功倍的效果。

關(guān)鍵詞：級(jí)數(shù)；前n項(xiàng)和；通項(xiàng)；遞推

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2013）33-159-01

依照某種規(guī)律排列著的一列數(shù) ， ， …， 稱(chēng)為數(shù)列，記為 若把這列數(shù)列的前 項(xiàng)用加號(hào)連接起來(lái)， + + …+ 它就稱(chēng)為級(jí)數(shù)，記為 ，其中 稱(chēng)為數(shù)列或級(jí)數(shù)的通項(xiàng).

對(duì)于一個(gè)數(shù)列（級(jí)數(shù)），除了研究通項(xiàng)并進(jìn)而研究它的一些性質(zhì)外，還要研究計(jì)算前 項(xiàng)的和的方法.對(duì)于等差數(shù)列、等比數(shù)列，高中已經(jīng)學(xué)習(xí)了它們的求和公式，那么當(dāng)出現(xiàn)其它的數(shù)列（級(jí)數(shù)）該怎樣求出它的前 項(xiàng)之和呢？我們下面對(duì)有限項(xiàng)級(jí)數(shù)求和進(jìn)行討論.

一、公式法（直接求和法）

對(duì)于等差級(jí)數(shù)或等比級(jí)數(shù)求前 項(xiàng)的和，用已得到的公式：

等差級(jí)數(shù)： =

等比級(jí)數(shù)： =

例1 求和：（ + ）+（ + ）+…（ + ） （ 0， 1， 1）.

分析 上面各個(gè)括號(hào)內(nèi)均由兩項(xiàng)組成，其中各括號(hào)內(nèi)的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)分別組成等比數(shù)列，分別求出這兩個(gè)等比數(shù)列的和就能得到所求式子的和.

解 當(dāng) 0， 1， 1時(shí)，

（ + ）+（ + ）+…（ + ）

=（ ）+（ + +… ）

= +

= + .

用公式法直接求和很簡(jiǎn)單，但是當(dāng)我們遇到較復(fù)雜的級(jí)數(shù)求和怎么辦呢？

下面對(duì)其它級(jí)數(shù)求和進(jìn)行討論.

二、分解法（化歸法）

某些數(shù)列雖然不是等差數(shù)列或等比數(shù)列，但是可以通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q轉(zhuǎn)化等差數(shù)列或等比數(shù)列來(lái)求前 項(xiàng)和.

三、待定系數(shù)法

利用數(shù)列求和的基本定理，當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng) 是項(xiàng)數(shù)的次函數(shù)時(shí)，該數(shù)列的前 項(xiàng)之和 是項(xiàng)數(shù) 的 次函數(shù).再利用待定系數(shù)法可以求出這類(lèi)數(shù)列的前 項(xiàng)之和.

四、裂項(xiàng)法

如果一個(gè)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都能化為兩項(xiàng)之差，其中前一項(xiàng)化得兩項(xiàng)之差的減數(shù)恰與后一項(xiàng)化得兩項(xiàng)之差的被減數(shù)相同，一減一加，中間項(xiàng)全部相消為零，那么這個(gè)數(shù)列前項(xiàng) 之和就是第一項(xiàng)的被減數(shù)與第末項(xiàng)的減數(shù)之差.

如 = - ，則級(jí)數(shù){ }的前 項(xiàng)和是1- .

有時(shí)，為了通過(guò)和差相消求和，先要對(duì)其進(jìn)行和差化積，如通項(xiàng)的分母有和差時(shí)，就應(yīng)這樣進(jìn)行.

五、逐差法

一個(gè)級(jí)數(shù)的結(jié)構(gòu)規(guī)律并不明顯時(shí)，可考慮用逐差法來(lái)求和.

對(duì)于數(shù)列 ： ， ， …， ，觀察其通項(xiàng)，由 組成的數(shù)列 叫做一階遞差數(shù)列，由 = 組成的數(shù)列 叫做二階遞差數(shù)列.依此類(lèi)推，若到第 階遞推數(shù)列可以求出其前 項(xiàng)之和，那么就逐漸遞推求得 階遞推數(shù)列的和.依此，直到推出原數(shù)列的和，這種方法稱(chēng)為逐差求和法.

綜上所述，我們可以看出：有限項(xiàng)級(jí)數(shù)求和的問(wèn)題在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用不僅廣泛而且靈活.這種源于課本，基于教材的解題和方法值得介紹.通過(guò)研究這些方法在解題中的運(yùn)用不僅可以讓我們更好地理解級(jí)數(shù)的知識(shí)，提高觀察，思考解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，還可以培養(yǎng)我們的思維方法.當(dāng)然本文的論述在研究的深度和廣度上還不夠完善，還有待于在以后的學(xué)習(xí)中不斷的探索和研究.

參考文獻(xiàn)

[1] 吳啟貴，陳堯，劉瘦俠選編.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)文選—高中代數(shù).上海教育出版社，1989.

[2] 高中數(shù)學(xué)解題途徑.華東師范大學(xué)出版社，第一附中數(shù)學(xué)教研社，1986.