淺談競(jìng)賽數(shù)學(xué)的內(nèi)容

摘 要：本文討論競(jìng)賽數(shù)學(xué)的內(nèi)容，競(jìng)賽數(shù)學(xué)的內(nèi)容包括代數(shù)、幾何、初等數(shù)論，組合初步。代數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容；幾何提供幾何直覺(jué)和邏輯推理方面仍有其不可替代的教育價(jià)值；初等數(shù)論能方便地提供從小學(xué)到大學(xué)的各層次競(jìng)賽試題。

關(guān)鍵詞：競(jìng)賽數(shù)學(xué)、代數(shù)、幾何、初等數(shù)論，組合初步

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2013）33-231-01

數(shù)學(xué)競(jìng)賽的開(kāi)展導(dǎo)致了競(jìng)賽數(shù)學(xué)的誕生，競(jìng)賽開(kāi)始的那些年頭，其內(nèi)容主要是中學(xué)教材中的代數(shù)方程、平面幾何、三角函數(shù)等，經(jīng)過(guò)40多年的發(fā)展，已形成一個(gè)源于中學(xué)又高于中學(xué)的數(shù)學(xué)新層面，其思想方法日漸與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的潮流合拍，對(duì)第1～45屆IMO試題的統(tǒng)計(jì)表明競(jìng)賽數(shù)學(xué)正相對(duì)穩(wěn)定在幾個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容上，可以歸結(jié)為四大支柱、三大熱點(diǎn)。

四大支柱是：代數(shù)、幾何、初等數(shù)論，組合初步（俗稱(chēng)代數(shù)題、幾何題、算術(shù)題和智力題）。三大熱點(diǎn)是：組合幾何、組合數(shù)論、集合分析、我國(guó)的冬令營(yíng)試題和國(guó)家隊(duì)選手選拔題，與國(guó)際發(fā)展趨勢(shì)是完全一致的，高、初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱的內(nèi)容，也以中學(xué)教材為依托而努力接軌國(guó)際潮流。

一、代數(shù)

代數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容，其在競(jìng)賽中占據(jù)重要地位是理所當(dāng)然的，已廣泛涉及恒等變形、方程、函數(shù)、多項(xiàng)式、不等式、數(shù)列、復(fù)數(shù)、函數(shù)方程、矩陣等方方面面，近年的主要特點(diǎn)是：

1、出現(xiàn)集中的趨勢(shì)。

統(tǒng)計(jì)表明，近幾十年來(lái)，難度較小的問(wèn)題（如恒等變形、單一的解方程等）消失了，明顯超出中學(xué)范圍的問(wèn)題（如矩陣等）也消失了，代數(shù)問(wèn)題正在向不等式、數(shù)列、函數(shù)方程上集中，這表明IMO代數(shù)題的命題趨向是，既在努力避開(kāi)有求解程式的內(nèi)容、提高試題的難度，又在盡力避免超出中學(xué)生的知識(shí)范圍，而在思維的靈活性、創(chuàng)造性上做文章。

2、與數(shù)論、組合、幾何的交叉

代數(shù)知識(shí)在各個(gè)學(xué)科中都有基礎(chǔ)的作用，無(wú)論哪一門(mén)中學(xué)數(shù)學(xué)分支都少不了代數(shù)運(yùn)算。IMO試題在避開(kāi)常規(guī)代數(shù)題的同時(shí)，正在加強(qiáng)與各個(gè)學(xué)科的綜合，不等式不僅有大量的數(shù)列不等式、最優(yōu)化背景的不等式，而且有越來(lái)越多的幾何不等式、數(shù)論不等式、組合不等工；方程知識(shí)也在數(shù)論問(wèn)題、幾何問(wèn)題或其他離散問(wèn)題中屢屢出現(xiàn)。

二、幾何

歐幾里得幾何雖然古老，但在提供幾何直覺(jué)和邏輯推理方面仍有其不可替代的教育價(jià)值，因而歷來(lái)受到數(shù)學(xué)競(jìng)賽的青睞，平面幾何證明已經(jīng)屬于IMO的屆屆必考內(nèi)容，少則1題，多則2-3題。我國(guó)高中聯(lián)賽加試（二試）和冬令營(yíng)考試，也是年年必有平面幾何題。

IMO中的幾何問(wèn)題，包括平面幾何與立體幾何，但以平面幾何為主。

IMO的平面幾何題數(shù)量較多、難度適中、方法多樣，可以分成兩個(gè)層次。

第一層次，是與中學(xué)教材結(jié)論比較緊密的常規(guī)幾何題，雖然也有軌跡與作圖，但主要是以全等法、相似法為基礎(chǔ)的證明題，重點(diǎn)是與圓有關(guān)的命題，因?yàn)閳A的命題其知識(shí)容量大、變化余地大、綜合性也強(qiáng)，是編擬競(jìng)賽題的優(yōu)質(zhì)素材。

第二層次，是比中學(xué)教材要求稍高的內(nèi)容，如共點(diǎn)性、共線性、幾何不等式、幾何極值等。這些問(wèn)題結(jié)構(gòu)優(yōu)美，解法靈活，常與幾何名題相聯(lián)系。

三、初等數(shù)論

初等數(shù)論也叫整數(shù)論，其研究對(duì)象是自然數(shù)。由于其形式簡(jiǎn)單，意義明確，所用知識(shí)不多而又富于技巧性，因而歷來(lái)都是競(jìng)賽的重點(diǎn)內(nèi)容。

如果說(shuō)代數(shù)、幾何離中學(xué)教材還比較近的話，那么初等數(shù)論則在中學(xué)教材未系統(tǒng)介紹、而中學(xué)生（特別是優(yōu)秀中學(xué)生）又不是不能接受這樣一種思維發(fā)展區(qū)中，其在培養(yǎng)數(shù)感和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)才華方面有獨(dú)特的功能，正在與組合數(shù)學(xué)相融合而成為數(shù)學(xué)競(jìng)賽的一個(gè)熱點(diǎn)題源。它還有一個(gè)優(yōu)勢(shì)是，能方便地提供從小學(xué)到大學(xué)的各層次競(jìng)賽試題。“奇偶分析法”也成了從小學(xué)到大學(xué)都使用的數(shù)學(xué)奧林匹克技巧。

四、組合初步

數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的組合數(shù)學(xué)不是一個(gè)嚴(yán)格的概念，它離中學(xué)教材最遠(yuǎn)，通常指中學(xué)代數(shù)、幾何、算術(shù)（數(shù)論）之外的內(nèi)容（俗稱(chēng)雜題）。對(duì)中學(xué)生而言，這類(lèi)問(wèn)題的基本特點(diǎn)是不需要專(zhuān)門(mén)的數(shù)學(xué)用語(yǔ)就可以表述明白，解決起來(lái)也沒(méi)有固定的程式（非常規(guī)），常需精巧的構(gòu)思，從內(nèi)容上可以歸結(jié)為兩大類(lèi)；組合計(jì)數(shù)問(wèn)題，組合設(shè)計(jì)問(wèn)題。

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