知識教學：邁向兒童的“意義世界”

摘要：教育學立場下的數學世界是一個知識的符號世界與兒童的意義世界相互聯結的世界。故而，數學教學就絕不僅僅是讓學生認識數學的“客觀知識”，更為重要的是讓學生以知識為載體，形成豐富的意義，包括數學本體性知識所蘊含的思想、方法、文化與精神意義以及兒童的主體發展意義。由此舒展數學本體性知識的意義特質，讓教學知意圓融、知理共生、知知和諧，并從兒童與知識間的意義形成視角落實數學的“教育性教學”。

關鍵詞：知識教學；意義特質；意義形成

中圖分類號：G42 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2013）04-0026-05

知識是兒童學校學習的主要內容，也是教育論爭的主要對象。從英國教育家斯賓塞的知識價值追問——“什么知識最有價值”到美國教育社會學家阿普爾的知識屬性拷問——“誰的知識最有價值”；從國內有名的“王鐘之爭”（王策三和鐘啟泉）到新課標的三維目標定位——知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀[1]，可以說，知識問題和知識教育問題貫穿于教改、課改的始終。知識的本質是什么？知識教學何為？作為一名小學數學教師，筆者嘗試對數學知識和知識教學展開微觀的“教育學式”思考與研究，追問教育學立場下數學本體性知識的意義特質，落實教育視野中“有意義的知識教學”。

一、回歸“教育學立場”：舒展數學本體性知識的意義特質

當我們站在教育學立場上去觀照數學知識時，知識不僅是事實性的“符號存在”（數學的概念、原理、法則等），更是兒童“生命·實踐”的活動存在，不僅是無可懷疑的真理匯集，更是兒童“有意義”的創新建構。因此，應在教育學立場下舒展數學本體性知識的意義特質，讓教學知意圓融、知理共生、知知和諧。

（一）表象性特質——追求知意圓融

在知識學習中，兒童獲取的不只是幾句條文式的數學定義，而是豐富、鮮活的知識表象。首先，兒童往往是選取典型性對象作為知識代表進行加工，建立數學模型的。比如，兒童往往用大拇指的寬度建立“單位厘米”表象，用手掌的寬度建立“單位分米”表象，用兩臂張開的長度建立“單位米”的表象等。其次，兒童的知識心理表征在大多數情況下并非相應的“形式化定義”，而是由多種成分組成的復合物——如心智圖像、對有關性質和過程的記憶等，如兒童常常借助圖像來理解正反比例的意義，借助數軸上的點來理解正負數意義等。教學中教師要以豐富的知識表象作支撐，讓兒童理解“形式化定義”，讓豐富的知識表象因為有了簡約的形式定義而更精確、更深刻，讓簡約的形式定義因為有了知識表象而更豐富、更生動，由此實現知識表象和知識定義的耦合。

（二）過程性特質——追求知理共生

從知識獲得過程分析，數學知識具有二重性：過程性與對象性。數學知識既表現為一種過程操作，又體現為特定的對象、結構。“這些知識最初是作為一個過程得到引進的，但最終則又轉化成一個對象，我們不僅可以研究它們的性質，也可以此為對象去施行某些新的運作（指廣義的數學運演）。”[2]教學中我們既要將知識看作思維成果（對象性或結構性數學），更要將知識理解為思維過程（過程性數學）。

例如“乘法”，既是相同加數的和的簡便運算過程，又是運算結果的表現；又如“平移和旋轉”，既代表一個幾何圖形在平面內作特定位移的過程，又代表這種特定的變換本身。將知識看作一個對象或結構，意味著知識是靜態的、獨立的東西，并能把它作為一個整體來進行思維而無需考慮其細節；而將知識理解為一個過程，則意味著它只有在一連串操作下才能存在，是動態的、有步驟有順序的。數學知識的對象屬性決定了數學知識具有明確的內涵與外延、鮮明的本質屬性和特定的數學形式；數學知識的過程屬性說明數學知識具有豐富的歷史背景、創新的思維方法和獨有的發展歷程。“過程”是對知識的支撐和演繹，“對象”是對認知過程的抽象和提煉，知識教學中二者都不可偏廢。

（三）結構性特質——追求知知和諧

數學知識存在著密切關聯，由此形成了數學多元、動態、優美的結構（如代數結構、拓撲結構、序結構等）。“……盡管數學知識千差萬別。但在數學的整體中，都使用著相同的邏輯工具，存在著概念的親緣關系。……數學理論越是向前發展，它們的結構就愈加協調一致。并且這門科學一向相互隔絕的分支之間也會顯露出原本意想不到的關系。”（希爾伯特語）因此，教學中教師要不斷追問知識之“源”，梳理知識之“流”，有意識地從結構視角去把握知識關聯點，將數學新知有意義地納入兒童已有的認知結構中，讓兒童不斷形成新的、更高更和諧的認知結構。

二、落實“教育性教學”：基于兒童與知識間的“意義形成”視角

當我們站在數學學科立場來落實教育家赫爾巴特的“教育性教學”時，知識教學意味著：以知識為載體，將教學落實到數學的思想、方法、語言、視角等特質上來，落實到兒童的數學素養發展上來。教學中要讓兒童體驗知識的產生、發展與應用，經由“有意義的知識教學”，讓知識形成豐富的意義（包括知識本體所蘊含的思想、方法、文化與精神意義以及兒童的數學素養發展性意義）。

（一）意義還原：與兒童“前理解”有效對接

兒童的“前理解”不僅包括“結構性知識”，更包括大量的“非結構性經驗背景”。兒童不只是模仿和接受成人的思維策略或模式，他們要調用自己已有的知識經驗去過濾和解釋新信息，以至同化它。正因為如此，兒童與其說是“學習數學”，毋寧說是兒童經驗的“數學化”。

1.用常識進行意義闡釋

荷蘭數學教育家弗賴登塔爾說：“數學是系統化的常識，數學根源于普通常識。”語文學習中的詞義解釋、生活運用中的點滴積累、學習現場中的即興思辨等都能在遭遇數學新知的一瞬被激活。一方面我們可以借助“常識數學”對“學校數學”進行生動的意義闡釋，如通過釣魚中浮標的沉浮反映魚吃不吃餌的狀態，讓學生理解數學中的生動概念——“相關聯的量”；借助“山上有座廟”的故事讓學生明白數學中的“循環”；借助練習本的橫線、雙杠等形象幫助學生認識“平行”；借助于溫度計讓學生感悟“正負數”概念等。另一方面我們也要警惕、抑制和糾正“常識數學”對“學校數學”的干擾，如“生活角”對“數學角”、“生活高”對“數學高”、生活中的“質量”概念對數學中的“質量”概念干擾等。作為教師，我們應善于取舍兒童的經驗常識，讓教學于簡單之處見深刻，于平常之處展博遠。

2.在情境中進行意義再現

還原數學知識的發現歷程，通過情境進行意義再現，從而讓學生領略“被規定的風景”。如教學“三角板的度數”，當學生探索出15°的倍數的角都能用一副三角板畫出來后，筆者借助多媒體課件用情境進行意義再現：三角板是古希臘時期就有的，它是由兩種基本圖形——正三角形與正方形分割而成。當把正三角形與正方形對半切割時，便得到了兩種直角三角形，這正好是我們所用的一副三角板的形式。古希臘數學家柏拉圖認為，這兩種三角形最完美，只要沿著直角頂點作斜邊的垂線，仍能得到同一形狀三角形，并且可以無限地分下去。經過意義再現，學生產生了許多發現：用兩副三角板可以拼成等腰直角三角形，并且斜邊是高長度的2倍；可以拼成等腰銳角三角形，也就是等邊三角形，并且原來三角板斜邊的長度是短直角邊的2倍；也可以拼成等腰鈍角三角形、不同的四邊形等等，由此學生體會到三角板構造的實用與完美。小數教材中這樣的例子很多，如“結繩計數”、“埃拉托斯特尼篩法”、“劉徽的割圓術”、“負數的產生史”、“量角器的來歷”等。

3.與舊知建立意義關聯

由于數學知識間存在著實質性的和非人為的意義聯系，因此教學中教師要找準知識間的關聯點，幫助學生建立意義關聯，讓學生融會貫通。如在四年級，學生學習過三角形內角和與三角形的分類，因此在六年級，當學生學習了“按比例分配”后，筆者出了三道題：一個三角形，它的三個內角度數比是2：3：4，這個三角形是（ ）三角形；一個三角形，它的三個內角度數比是2：3：5，這個三角形是（ ）三角形；一個三角形，它的三個內角度數比是2：3：6，這個三角形是（ ）三角形。開始的時候，學生經過計算，得出了正確結論。而到了第三道題，一個學生在計算過程中嚷道：“老師，第三題除不盡。”我適時啟發：“能不能不計算直接判定呢？”學生經過觀察迅速發現，直角三角形三個角度數比，其中兩個數之和等于第三個數；銳角三角形三個角度數比，其中兩個數之和大于第三個數；鈍角三角形三個角度數比，其中兩個數之和小于第三個數。如此，將知識點進行意義統整，發展了學生的認知力。

（二）意義建構：將知識轉變成兒童的“思維對象”

數學知識是前人“生命·實踐”活動的智慧結晶。在數學知識沒有形成以前，人類的數學活動是作為思維對象而存在的。弗賴登塔爾說：“認識不是從概念開始的，而是從圍繞著它的其他途徑開始的，概念是認識過程的結果。”數（shù）源于數（shǔ），量（liàng）源于量（liáng）。教學中，教師應將知識轉變成兒童的“思維對象”。

1.知識發生的意義獲取

香港教育學院馮振業先生認為，“從操作的層面看，由‘數學化’觀點指導的教學，就是要讓學生經歷數學知識由無到有，由粗疏到精密的演變過程。由此，學生不但可以得知數學知識的來歷，更可掌握數學獨特的思維模式”。如教學“認識厘米”這一貌似“規定性的知識”，筆者設計了這樣幾個活動讓學生充分經歷：度量物體“統一長度單位”的思辨活動；“認識直尺并建立1厘米表象”的遷移活動；“認識幾厘米”的思維拓展活動；“用直尺測量和繪制線段”的技能形成活動；“將厘米單位延伸應用于生活測量”的運用活動；“厘米只是一種較小長度單位”的延伸滲透活動。學生充分經歷了數學活動，獲取的就不是“厘米”的“形式定義”，而是“厘米”的豐富意義。

2.知識結構的意義整合

如果說知識發生的意義獲取是貫通知識本身的縱向來龍去脈，那么，對于知識間的橫向關系處理就是讓知識串聯成線、重組成片、編織成網。[3]如筆者在教學“長方體與正方體的認識”時，首先引領學生觀察將一個大蘿卜用刀切割成長方體進而再變成正方體的全過程，學生不但形象地看到長方體“由面及棱”、“由棱及頂點”以及“由面及體”的知識生發過程，更重要的是學生從中體會到長方體和正方體兩個概念間的屬種關系。不但如此，有趣的切割還讓知識發生了多向關聯，如長方形與方形等，由此單子式的“知識點”獲得結構化的意義。

3.思想方法的意義提升

將知識轉變成兒童的思維對象，不僅要著眼于知識本身的結構性生長，更重要的是要著眼于兒童心智的發展，著眼于兒童數學思想方法的意義提升。要不斷地把兒童引入數學的“思”“想”狀態，讓兒童經歷“思想實驗”、“理智歷險”，不斷地開掘兒童的“思”之潛能，讓兒童“通過數學學習學會思維”。教學“圓的認識”，筆者在學生認識了圓的特征之后借助課件進行演示，讓學生邊觀察邊想象：

孩子們驚嘆：越來越圓了。接著，我讓他們閉眼想象，如果是正二十四邊形、正六十四邊形、正五百邊形、正一億邊形呢？……隊伍的最遠方是誰呢？孩子們齊答：圓！接著我說：“孩子們，剛才這個過程，我們經歷了數學上很重要的一種思想方法——無限逼近的思想方法，我們也稱它為極限思想。你們知道嗎？早在戰國時代，《莊子·天下》篇中的‘一尺之棰，日取其半，萬世不竭’就表達了這種思想。許多同學經常會問0.9=0.9999……應該比1小，怎么會等于1呢？現在你明白了嗎？”如此，學生不但認識了“圓”，更重要的是學生的心里悄悄地生長了“極限思想”。

（三）意義賦予：多向度凸顯知識的本質內涵

凸顯知識的本質內涵即是抽象概括知識的本質屬性、舍棄非本質屬性。教學中可以從知識的多重背景、多重層次、多個側面、多個維度結構去賦予知識意義。[4]

1.提供典型進行意義揭示

數學知識有著豐富的屬性，如何正向揭示知識的本質屬性，選取典型的意義素材很重要。教學“平移和旋轉”，筆者選取“鉛筆”作為揭示知識本質內涵的素材。因為鉛筆的“平移和旋轉”現象比較純粹，利用鉛筆作平移或旋轉運動時，鉛筆的對應點、對應線段比較清晰，學生容易把握“平移”和“旋轉”的本質特征，抽取本質屬性，理解本質內涵。

2.引領逆思進行意義追問

如果說典型是知識本質的正向揭示，那么對知識條件的充分必要性展開思考就是對知識本質的深層次把握。如在學生學習了“等底等高的圓柱和圓錐，圓柱的體積是圓錐的3倍”后，筆者引領學生展開“逆思”和“否思”：如果圓柱的體積是圓錐的3倍，它們是否一定等底等高？如果圓柱和圓錐不等底等高，圓柱的體積是否一定不是圓錐的3倍？經常引領學生展開逆思、否思，有助于發展學生的數學思辨力、判斷力。

3.運用變式進行意義比較

所謂變式，就是從不同角度組織感性材料，變換非本質特征，突出本質特征，從而讓學生對概念達到本質理解。[5]如教學“垂線”，學生很容易形成從上往下垂的非本質特征印象，于是筆者讓學生從斜線上方一點、斜線下方一點、斜線左邊一點、斜線右邊一點分別向斜線作垂線，孩子們在豐富的變式中領悟到“垂線”的本質內涵——“垂直”。在后續學習中，筆者適時讓學生作兩條平行線之間的垂線，作銳角三角形、鈍角三角形的三條高等，通過多向度、全方位比較，促使學生深刻認識垂線。

（四）意義協商：主體間形成“視域融合”

知識意義的社會化建構是通過對話交往來實現的。在數學課堂中，兒童、教師、教材之間都在通過對話交往進行著意義交流，實現著意義共享。[6]在對話與交往中，不同主體（兒童、教師、教材等）的意義世界相互碰撞、融合，從而讓兒童自我的意義世界不斷地澄明、敞亮。

1.與文本進行意義交流

與文本進行意義交流是指兒童憑借已有的知識經驗調動潛在的思維靈性去閱讀文本，建構知識意義。引領學生對文本的重點字、詞、句展開研讀，讓學生獲得對知識本質的深層次感悟。教學“分數、小數、百分數的互化”，筆者以“通常”為突破口，引領學生研讀結語——把分數化成百分數，通常先把分數化成小數（遇到除不盡時，通常保留三位小數），再化成百分數。

師：在這段結語中，有一個詞挺特別，你發現了嗎？你能提出哪些數學問題呢？

生1：這里為什么要用上兩個“通常”？

生2：這里兩個“通常”的意思相同嗎？

生3：這里兩個“通常”之外的含義是什么？

師：讀得細致，想得透徹！對于這些問題，你們能否結合剛才的例題作出合理的解釋？小組里商量一下。

生4：第一個“通常”之外的意思是，如果分母擴大若干倍后，恰好是10、100、1000時，可以直接把分數化成百分數。如■=■=25%。

生5：（馬上舉手）第一個“通常”之外還有一個意思，當分母縮小若干倍后恰好是10、100、1000時，也可以直接轉化。如■=■=5%。

生6：第二個“通常”的意思是分子除以分母除不盡時，一般保留三位小數。“通常”之外是指有特定要求時，應按要求保留小數位數。

經過對教材文本的意義解讀，數學知識的邏輯意義自然生成。

2.和他人進行意義對話

在意義協商過程中，不同兒童的經驗和理解呈現于同一個互動空間，通過表達自己和聆聽他人，兒童感受到自己對他者的意義認同或沖突，在認同或沖突中，兒童的經驗不斷地被解碼和重新編碼。教學《平行四邊形的面積計算》，小結時筆者引導：這節課我們研究了平行四邊形面積的計算，回憶一下，我們是怎樣研究的，中間你有沒有遇到什么困難，又是怎樣克服的？學生紛紛發言。

生1：我一開始是用數方格方法計算面積的，但太繁了，后來就覺得應該研究更簡便的方法。

生2：我一眼就看出從平行四邊形中沿高剪下一個三角形，平移到另一邊，就轉化成長方形，這樣通過長方形面積得出平行四邊形面積就方便多了。

生3：只要沿著高剪開就能轉化為長方形，所以不一定是剪三角形，也可以剪梯形。

生4：我把平行四邊形轉化成長方形后，誤以為長方形的長和寬分別相當于平行四邊形的兩條邊，后來在同桌的幫助下發現錯了，看來以后學習中還是要細心觀察。

經過意義對話，兒童主體間的視域走向了融合。

3.對自我進行意義反思

筆者不但“教知識”，而且“教思考”、“教猜想”（波利亞語）。引領兒童對外顯探究活動和內隱思維活動展開自我評價、監控與調節，讓兒童擁有良好的元認知意識和技能。[7]教學“圓柱的體積”，活動前，筆者讓學生回顧“圓的面積”推導過程，進而對圓柱體積的探究策略展開猜想。活動中，引領學生對活動過程進行回顧、審視：我的探究活動經過了哪些步驟？長方體的長、寬、高分別相當于原來圓柱的什么？底面積變化了嗎？高變化了嗎？得出公式后，筆者再次引領學生反思：如果將長方體橫著放、豎著放、側著放，底面積又該怎樣表示？公式V=Sh也適用于長方體、正方體嗎？公式V=Sh還適用于怎樣的幾何形體？通過探究我有什么收獲（知識上、技巧上、思維策略上）？學生在這種“自我發問”式的省察之思中，數學的思想力真正得以提升。

知識問題是教育學的經典問題，是任何一個教育工作者都無法繞過去的現實問題。對知識問題的回答，在很大程度上支配著我們的課程理念和教學行為。在數學教學中，通過對知識進行意義還原、意義建構、意義賦予、意義協商等活動，讓數學的知識教學超越文本的符號、邁向兒童的“意義世界”。

參考文獻：

[1]郭元祥.知識的性質、結構與深度教學[J].課程·教材·教法，2009（11）.

[2]鄭毓信.數學思維與小學數學[M].南京：江蘇教育出版社，2008：82.

[3]袁亞敏.讓學生自己織網[J].江蘇教育（小學教學），2012（1）.

[4]鄧友祥.數學活動的特質與有效教學策略[J].課程·教材·教法，2009（8）.

[5]竇平.數學教學心理學重塑[J].江蘇教育（小學教學），2011（2）.

[6]靳玉樂，董小平.課程知識的客觀表征與主觀建構——21世紀課程與教學的整合問題[J].教育研究，2009（11）.

[7]王兆正.向兒童展現數學本身[J].江蘇教育（小學教學），2011（1）.

責任編輯：楊孝如