淺談立體幾何的入門(mén)教學(xué)

摘 要：本文主要闡述了立體幾何入門(mén)教學(xué)的建議與方法：過(guò)畫(huà)圖、識(shí)圖關(guān)，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力；過(guò)符號(hào)關(guān)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用符號(hào)說(shuō)話(huà)；過(guò)表達(dá)關(guān)，把證明思路準(zhǔn)確地寫(xiě)出來(lái)。

關(guān)鍵詞：立體幾何；圖形；符號(hào)；表達(dá)

從平面幾何到立體幾何，從研究平面上的圖形關(guān)系到研究空間的圖形關(guān)系，從形象思維到主要依靠抽象思維，學(xué)生對(duì)這種轉(zhuǎn)變大都不習(xí)慣，需要一個(gè)逐步適應(yīng)的過(guò)程。初學(xué)立體幾何時(shí)，學(xué)生普遍感到困難，主要原因有：⑴缺乏空間觀(guān)念。不理解立體圖形，不能清晰地區(qū)別立體圖形與平面圖形。⑵知識(shí)的混淆。受平面幾何的影響，學(xué)生容易把平面幾何的定理套用于立體幾何中，甚至立體幾何中的定理也會(huì)混淆。⑶對(duì)定理、定義機(jī)械記憶，而不會(huì)應(yīng)用。

鑒于以上原因，教師在此不能急于求成、單純追求教學(xué)進(jìn)度，而需適當(dāng)?shù)胤怕M(jìn)度，降低起點(diǎn)要求，抓好入門(mén)訓(xùn)練，等學(xué)生基本適應(yīng)后再逐步加深加快，效果會(huì)更理想。那么如何抓立體幾何入門(mén)教學(xué)呢？筆者在此談一談自己粗淺的想法和做法。

一、過(guò)畫(huà)圖、識(shí)圖關(guān)，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力

立體幾何的學(xué)習(xí)始終離不開(kāi)圖形，理解圖形對(duì)于立體幾何的學(xué)習(xí)起到至關(guān)重要的作用，而畫(huà)圖、識(shí)圖的實(shí)質(zhì)，就是空間想象能力的再現(xiàn)。如果學(xué)生能看懂直觀(guān)圖所反映的真實(shí)現(xiàn)象，或能畫(huà)出文字符號(hào)所反映的立體圖形，就達(dá)到了我們的要求。這大體上可以分為四個(gè)階段：

1.運(yùn)用實(shí)物模型，直觀(guān)地反映立體圖形

如：⑴準(zhǔn)備幾張硬紙板、幾只鉛筆、一個(gè)立方體框架，便于直觀(guān)地研究出直線(xiàn)與平面以及正方體中各條線(xiàn)段的關(guān)系。⑵也可以書(shū)本、硬紙板等為例，如兩張硬紙板構(gòu)成的相交平面，并畫(huà)出圖形。⑶反過(guò)來(lái)再由畫(huà)出的相交平面，判定兩張硬紙板的位置關(guān)系。

2.離開(kāi)模型，鍛煉空間想象能力，形成觀(guān)念系統(tǒng)化

⑴學(xué)會(huì)用圖形表示定理、公理；反過(guò)來(lái)會(huì)將定理、公理用圖形表示。如公理3，線(xiàn)面平行的判定定理，線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理，三垂線(xiàn)定理。

⑵學(xué)會(huì)直接由題意畫(huà)圖。如：已知直線(xiàn)a、b異面，直線(xiàn)c與a平行且與直線(xiàn)b不相交，求證：直線(xiàn)b與直線(xiàn)a異面。關(guān)鍵要把直線(xiàn)a、b異面在圖上直觀(guān)地表示出來(lái)，可借助平面為參照物。

3.增強(qiáng)構(gòu)象能力和識(shí)圖能力

排除平面幾何的干擾，找出圖形的真正意義。例：如圖1，直線(xiàn)AB、CD，與面α交于C、B兩點(diǎn)，與面β于A、D兩點(diǎn)，α⊥β，判斷這兩條線(xiàn)是否一定相交。

分析：不一定相交。只有當(dāng)AD∥BC時(shí)，AB與CD相交。而當(dāng)AD與BC異面時(shí)，AB與CD不相交。

4.研究圖形組成的元素，深刻理解圖形內(nèi)部結(jié)構(gòu)和特性，從中找出相互關(guān)系

例：如圖2，在正方體中，過(guò)面BC上一點(diǎn)P，做一直線(xiàn)與AP垂直。

從圖形分析，連結(jié)BP，AB⊥面BC，而AP是面BC的斜線(xiàn)，BP為斜線(xiàn)AP在面BC上的射影，由三垂線(xiàn)定理可知，只要在面BC上過(guò)點(diǎn)P作一直線(xiàn)垂直于BP即可。

二、過(guò)符號(hào)關(guān)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用符號(hào)說(shuō)話(huà)

立體幾何有自己特殊的語(yǔ)言，就是用圖形和符號(hào)“說(shuō)話(huà)”，學(xué)生只有將普通語(yǔ)言翻譯成幾何語(yǔ)言，才能解決問(wèn)題。

1.用符號(hào)表達(dá)普通語(yǔ)言

首先掌握立體幾何語(yǔ)言體系，大寫(xiě)字母A、B、C……表示點(diǎn)，小寫(xiě)字母a、b、c……表示直線(xiàn)，α、β、γ……表示面，以及表示位置關(guān)系的符號(hào)∥、⊥、∩……其次學(xué)會(huì)把這些符號(hào)串起來(lái)。如“點(diǎn)A在平面α外且在與α平行的直線(xiàn)a上”，用符號(hào)表達(dá)即表達(dá)三點(diǎn)意思：A在α外為A？埸α；A在a上為A∈a；a與α平行為a∥α.切勿漏寫(xiě)。

2.用符號(hào)表示定理

如線(xiàn)面平行的判定定理，先用圖形表達(dá)，然后用符號(hào)“翻譯”過(guò)來(lái)：a？埭α，b？奐α，a∥b？圯a∥α.這種符號(hào)表達(dá)，抓住了定理中條件和結(jié)論的實(shí)質(zhì)，簡(jiǎn)化了定理，也便于記憶和應(yīng)用。證題中定理的應(yīng)用、定理書(shū)寫(xiě)的表達(dá)，用的就是符號(hào)語(yǔ)言，所以符號(hào)的表達(dá)對(duì)證題至關(guān)重要。

3.用符號(hào)將題意“翻譯”過(guò)來(lái)

如：a、b為異面直線(xiàn)，過(guò)直線(xiàn)a與b平行的平面α，必與經(jīng)過(guò)直線(xiàn)b與a平行的平面β平行。分析條件：a、b為異面直線(xiàn)；α過(guò)直線(xiàn)a；α與b平行；β經(jīng)過(guò)直線(xiàn)b；β與a平行。結(jié)論：α與β平行。因此可“翻譯”為：a、b異面，a？奐α，b∥α，b？奐β，a∥β？圯α∥β.經(jīng)常這樣訓(xùn)練的好處是：學(xué)生以后在解題中，一看到題意，馬上能寫(xiě)出已知、求證。

4.用符號(hào)描述位置關(guān)系

掌握點(diǎn)線(xiàn)面位置關(guān)系圖形的畫(huà)法，并學(xué)會(huì)用符號(hào)描述。如a？奐α，a∥α，a∩α=A，a⊥α.符號(hào)是架起普通語(yǔ)言與圖形的橋梁，提學(xué)生得符號(hào)語(yǔ)言的表達(dá)能力，對(duì)幾何的學(xué)習(xí)將有很大的幫助。

三、過(guò)表達(dá)關(guān)，把證明思路準(zhǔn)確地寫(xiě)出來(lái)

1.定理的表達(dá)式

證明的表達(dá)式與定理的表達(dá)式是相對(duì)應(yīng)的，在證題中應(yīng)用定理的實(shí)質(zhì)，其實(shí)是一個(gè)“對(duì)號(hào)”的問(wèn)題，證題中的條件與定理中的條件要相對(duì)應(yīng)、相符合，如能“對(duì)上號(hào)”，證題將勢(shì)如破竹。

2.證明出來(lái)后還需要把思路準(zhǔn)確地寫(xiě)出來(lái)

如：已知平面α與平面β交于直線(xiàn)c，直線(xiàn)a、b分別在平面α、β內(nèi)，且a∥b，求證：a∥b∥c.分析：把公理“對(duì)號(hào)入座”，線(xiàn)線(xiàn)平行（已知）線(xiàn)面平行線(xiàn)線(xiàn)平行（求證），第一步推理用到“直線(xiàn)與平面平行的判定定理”，第二步推理用到“直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)定理”，第三步推理用到“公理4”。

以上是筆者根據(jù)教學(xué)實(shí)踐，結(jié)合親身感受提出的一點(diǎn)粗知拙見(jiàn)，旨在拋磚引玉，為學(xué)生更好地學(xué)習(xí)立體幾何打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

李春明.學(xué)好立體幾何的訣竅[M].北京：教育科學(xué)出版社，1993.