論物理專業“高等數學”中數學思想的教學

摘要：對數學思想的三種基本思想進行了論述，對提高物理專業學生數學思想的高等數學教學途徑進行了探討，提出了物理專業高等數學教師在教學中開展數學思想教學的五點要求。

關鍵詞：物理專業；高等數學；數學思想；教學

作者簡介：唐果（1957-），女，湖南湘潭人，湖南科技大學數學與計算科學學院，副教授。（湖南 湘潭 411201）

基金項目：本文系2011年湖南省教育廳教學改革研究資助項目、湖南省教育廳學位與研究生教育教改重點課題（項目編號：JG2011A019）的研究成果。

中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：A 文章編號：1007-0079（2013）19-0125-02

“高等數學”是物理專業學生必修的一門重要基礎課程，是學生學習物理各專業課程的基礎。目前國內外很多學者認為高等數學的任務是為學生學習物理各專業課程以及今后的工作提供必要的高等數學基礎知識。[1，2]數學嚴格的邏輯性、高度的抽象性、語言的簡明性，使數學具有培養學生邏輯推理能力、抽象思維能力和空間想象能力的獨特功能。[3]因此，高等數學的任務除了為學生學習物理各專業課程以及今后的工作提供必要的高等數學基礎知識之外，應該還具有培養學生邏輯推理能力、抽象思維能力和空間想象能力的任務。而物理學中的問題，就是利用數學嚴密的推理、高度的抽象及空間想象建立模型，最終經過實踐檢驗，求得其理論。[4]因此，培養物理專業學生邏輯推理能力、抽象思維能力和空間想象能力就顯得尤為重要，也是物理專業“高等數學”教學責無旁貸的任務。如何在物理專業“高等數學”教學中培養學生邏輯推理能力、抽象思維能力和空間想象能力是每位教師必須思考的問題。

一、數學思想簡介

數學思想是數學產生以及數學發展過程中必須依賴的基本思想，是人們在談論數學時，總要談及到的獨特素質。數學思想是由三種基本思想，即抽象、推理和模型思想組成。抽象思想是把外部世界與數學有關的東西抽象到數學內部，其素質表現為抽象能力強；推理思想是邏輯推理促進數學內部的發展，其素質表現為邏輯能力強；模型思想是溝通數學與外部世界的橋梁，其素質表現為應用能力強。

數學中的抽象主要包括兩方面的內容：數量與數量關系的抽象、圖形與圖形關系的抽象。其中關系是重要的，正如亞里士多德所說：數學家用抽象的方法對事物進行研究，去掉感性的東西剩下的只有數量和關系。對于數學研究而言，線、角，或者其他的量，不是作為存在而是作為關系，通過抽象得到數學的基本概念，從而把現實生活中的與數學有關的東西引入數學的內部。這些基本概念包括數學的研究對象的定義，刻畫對象之間關系的術語和符號，還包括刻畫對象之間關系的運算方法。這種抽象是一種從感性具體上升到理性具體的思維過程，但這樣的抽象只是第一次抽象。在此基礎上，還能憑借想象和類比進行第二次抽象，其特點是符號化，得到那些并非直接來源于現實的數學概念和運算方法，比如實數和高維空間的概念，極限和四元數的運算。第二次抽象是此理性具體擴充到彼理性具體的思維過程，在這個意義上，數學并非僅僅研究那些直接來源于現實生活的東西。

數學主要依賴的是邏輯思維，邏輯思維的集中表現是邏輯推理，人們通過推理，能夠深刻地理解數學研究對象之間的邏輯關系，并且可以用抽象了的術語和符號清晰地描述這種關系。所謂推理，是指一個命題判斷到另一個命題判斷的思維過程。所謂推理有邏輯，是指所涉及的命題內涵之間具有某種傳遞性。在本質上，只存在兩種形式的推理，一種是歸納推理，一種是演繹推理。人們通過推理形成各種命題、定理和運算法則。隨著數學研究的不斷深入，根據研究問題的不同，數學逐漸形成各個分支，而且數學各個分支得到的結果之間卻是相互協調的。為此，人們不能不為數學的這種整體一致性感到驚嘆：數學似乎蘊含著類似真理那樣的合理性。

數學模型是用數學的概念、原理和思想方法描述現實世界中規律性的東西。所以數學模型是指用數學的語言描述現實世界所依賴的思想。數學模型使數學走出數學的世界，是構建數學與現實世界的橋梁，通俗地說，數學模型借用數學的語言講述現實世界的故事。數學模型的出發點不僅是數學，還包括現實世界中的那些將要講述的東西。并且，研究手法也不是單向的，需要從數學和現實這兩個出發點開始，規劃研究路徑、構建描述用語、驗證研究結果、解釋結果含義，從而得到與現實世界相容的、可以描述現實世界的結論。數學模型也必然有其適用范圍，這個適用范圍通常表現于模型的假設前提、模型的初始值、模型參數的某些限制。

由數學思想的概念可以看到，培養物理專業學生邏輯推理能力、抽象思維能力和空間想象能力就是要在物理專業“高等數學”教學中提高學生的數學思想。

二、提高物理專業學生數學思想的“高等數學”教學途徑

對于物理專業的學生，提高了邏輯推理能力、抽象思維能力和空間想象能力，即數學思想，也就增強了他們的創新能力、數學應用能力、可持續發展能力和終身學習能力，才能使培養出來的學生真正做到知識、能力、素質三者并重。下面結合筆者 長期物理專業“高等數學”教學的實踐，針對教師在“高等數學”教學的過程中如何提高物理專業學生數學思想談談體會和具體做法。

1.教師自身必須具有較高數學思想和數學方法論的素養

由于數學思想蘊含于高等數學的各部分內容之中，只有教師具有了較高的數學思想素質，才能挖掘出高等數學各部分內容之中的數學思想，才能做到在高等數學的講授中，善于向學生傳授這些思想以及寓數學思想于平時的教學中，因此教師自身要加強對數學史和數學方法論的學習與研究。

2.教師必須具有較好的物理素質

由于高等數學中的概念和定理只反映數量關系和空間形式，沒有具體的描述對象，而物理中的概念和定理則有具休的描述對象，比如，向量在高等數學中是一個抽象概念，但是在物理中則用來表示力、速度等具體的概念。另外，高等數學中的很多概念和定理是科學家們在研究物理問題時抽象出來的，例如：微積分就是牛頓在研究力學問題時首先提出，并為解決各種力學問題而日益豐富起來的。因此教師具有了較強的物理素質后，一方面與物理專業的學生有更多的“共同語言”，可以使用在實踐中看得到的現象解釋十分抽象的數學概念和定理，提高學生學習高等數學的積極性；另一方面，可以利用物理實例引入高等數學的概念和定理，培養學生的數學思想。所以，教師自身應加強物理知識的學習。

3.教師要善于將高等數學各部分內容中的數學思想挖掘并系統地分類

教師在備課時要深入研究教材，結合教材的知識點，查閱其發生發展過程，把握住有關概念和定理的來龍去脈，抓住數學知識與數學思想的結合點，挖掘出蘊含于教材每章節中的數學思想，在教學中做到統籌安排，有目的、有計劃和有要求地進行數學思想的教學。

4.教師應針對不同的教學內容，通過多種途徑設計數學思想教學

由于同一教學內容可以蘊含多種數學思想，而同一數學思想又分布在不同的教學內容中，所以教師應根據不同的教學內容，選擇不同的教學手段和方法開展數學思想的教學。選擇的原則為有利于學生領悟和掌握數學思想，例如：在遇到反映推理數學思想的教學內容時，可以采用探究式和啟發式教學方法進行教學。特別是對于物理專業的學生，教師應充分利用其對物理現象熟悉和物理問題理解的特點，首先提出問題，然后學生在教師的引導和啟發下模擬科學家解決問題的過程，或支持學生從多角度以不同方式對問題進行思考，最后讓學生自己得出結果。在遇到反映抽象數學思想的教學內容時，可以采用發現式教學方法進行教學，教師可以利用高等數學中的很多概念和定理是科學家們在研究物理問題時抽象出來的特點，結合教學內容，向學生展示該教學內容的形成和演變過程，使學生體驗抽象數學思想的作用和巨大價值；或采用案例式教學方法進行教學，由于抽象是從許多不同事物中提取的共同點，因此教師可以從許多領域收集既體現數學的本質，又通俗易懂，引人入勝的例子，然后根據教學內容適當地提煉一些最新的有趣的例子作為應用案例，從這些案例中提取共同點得出結論。在遇到反映模型數學思想的教學內容時，可以采用啟發式教學方法進行教學。由于數學建模是對實際問題進行合理抽象和量化，利用數學公式進行模擬和驗證的一種處理方法，因此教師可以結合教學內容適當選擇一些實際應用問題，然后引導學生加以分析，通過抽象、簡化、假設、建立和求解數學模型，從而解決實際問題；或采用實驗教學方法進行教學，教師首先設計出注重數學思想的剖析、數學技術的靈活性和數學理論的實用性的實驗項目，然后在教師的指導下，學生親自動手建立和求解數學模型，從而解決問題。當遇到同一教學內容蘊含多種數學思想的情況，可以同時采用多種教學方法進行教學。

5.教師要充分認識到學生掌握數學思想是一個反復認識、訓練和運用的過程

由于學生對于蘊含在具體數學知識中的數學思想開始只能形成初步的感性認識，只有經過多次反復后，在較為豐富的感性認識的基礎上，才能逐步抽象、概括而形成理性認識，再在實踐活動中反復檢驗和運用，才能加深這種理性認識。因此，學生對每種數學思想的認識都是在反復理解和運用中形成的，其間有一個由低級到高級的螺旋上升過程。所以教師應該將高等數學各個內容中的數學思想形成為具有一定結構的系統，對于某一種數學思想而言，所串連的具體數學知識也必須形成自身的體系。由此明確每一種數學知識的教學中可以進行哪些數學思想的教育，并設計好對每種數學思想進行反復認識、訓練和運用的過程。由于緒論課一般都要講述知識產生的背景，發展簡史，研究對象，基本和主要的問題，研究的思想和與其他各章知識的聯系等，教師可抓準時機在緒論中直接簡述有關數學思想，而在復習課中則可順勢總結概括本章用到的數學思想，這也可以形成學生對數學思想系統的反復認識。

三、結束語

數學思想是數學的精髓和靈魂，是知識轉化為能力的橋梁。數學教育的目的不僅要使學生掌握基本的數學知識與技巧，更要重視發展學生的能力，全面提高綜合素質。因此本文就如何在“高等數學”教學中提高物理專業學生數學思想，培養學生邏輯推理能力、抽象思維能力和空間想象能力，提高他們的創新意識和創新能力，根據多年的教學實踐談了一些認識、體會和具體做法，希望能起到拋磚引玉的作用。

參考文獻：

[1]余天培.提高物理系高等數學教學質量初探[J].西北師范學院學報，1987，（4）：86-88.

[2]左東林，滑超倫.高等數學在物理中的應用舉例[J].淮陽教育研究，1994，（4）：18-21.

[3]曾月新，刁雅云.物理系高等數學教學方法改革的幾點思考[J].天津師大學報（自然科學版），1999，19（4）：71-73.

[4]孫麗婭，李和.淺談高等數學在物理教學中的應用[J].內蒙古科技與經濟，1999，（S2）：162-163.

（責任編輯：劉輝）