淺談高中數(shù)學(xué)柯西不等式及應(yīng)用

摘 要：柯西不等式是一個(gè)非常重要的不等式，結(jié)構(gòu)對(duì)稱和諧，具有較強(qiáng)的應(yīng)用性。本文就高中數(shù)學(xué)方面，給出柯西不等式在證明恒等式、不等式、求最值、解三角與幾何，解析幾何等方面的一些應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：柯西不等式；應(yīng)用；高中數(shù)學(xué)

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2013）25-137-02

在自然界中，不等量關(guān)系是普遍存在的，是最基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，也是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容，不等式在數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)應(yīng)用中起著重要作用。柯西不等式是由19世紀(jì)數(shù)學(xué)家（Cauchy）在研究數(shù)學(xué)分析中的“留數(shù)”問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)的，柯西不等式出現(xiàn)中學(xué)課本中，是中學(xué)生解決一系列疑難問(wèn)題的法寶。為讓學(xué)生對(duì)柯西不等式有更好的認(rèn)識(shí)、了解，本文從特殊到一般的介紹柯西不等式，對(duì)柯西不等式的一般形式做證明，再給出柯西不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用的一些典型案例。

柯西不等式——初等中學(xué)的形式

一、二維形式的柯西不等式

1、二維形式的柯西不等式

若 都是實(shí)數(shù)，則 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立。

2、柯西不等式的向量形式

設(shè) 是兩個(gè)向量，則 ，當(dāng)且僅當(dāng) 是零向量時(shí)，或存在實(shí)數(shù) ，使 時(shí)，等號(hào)成立。

3、一般形式的柯西不等式

設(shè) 都是實(shí)數(shù)，則 ——（1）

當(dāng)且僅當(dāng) 或存在實(shí)數(shù) ，使得 時(shí)，等號(hào)成立。

二、柯西不等式的應(yīng)用

1、利用用柯西不等式證明恒等式

用柯西不等式取等號(hào)的條件或者兩邊夾逼的方法證明某些恒等式。

例1、已知 ，求證： 。

證明：由柯西不等式

當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立。即 ，得 。

2、利用柯西不等式證明一些不等式

觀察欲證不等式的特征，結(jié)合已知條件，對(duì)照柯西不等式的標(biāo)準(zhǔn)形式，構(gòu)造柯西不等式的兩組數(shù)，用柯西不等式來(lái)證明不等式，往往可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

例2、已知 ，且 ，求證

證明：因?yàn)?/p>

，

利用柯西不等式證明時(shí)，關(guān)鍵是構(gòu)造出柯西不等式的兩個(gè)適當(dāng)數(shù)組，常用的技巧是“1”和常數(shù)的變化轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化化歸思想。

3、利用柯西不等式求某些函數(shù)的最值

例3、已知 ，求 的最小值。

解：

由柯西不等式： ，所以 ，

當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)，等號(hào)成立，所以 。

例4、求函數(shù) ， 的最大值。

解：因?yàn)?，所以 。由柯西不等式得：

，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，取等號(hào)。

4、利用柯西不等式解某些方程

不等式中的等號(hào)成立的時(shí)候，不等式就成了方程，由此可以利用柯西不等式取等號(hào)的充分必要條件解方程。

求方程 的解。

解：方程可變形為： ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，取等號(hào)，解得 。

5、柯西不等式在解析幾何方面的應(yīng)用

例6、直線 與橢圓 相切，求切點(diǎn)坐標(biāo) 。

解：因?yàn)?所以，由柯西不等式得：

。

當(dāng)且僅當(dāng) 即 ，代入 ，解得 ，所以 。

6、利用柯西不等式解三角和幾何問(wèn)題

例7、在半徑為 的圓內(nèi)，求周長(zhǎng)最大的內(nèi)接長(zhǎng)方形。

解析：假設(shè)出變量表示長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，得出目標(biāo)函數(shù)，在利用柯西不等式求解。

解：設(shè)內(nèi)接長(zhǎng)方形 的長(zhǎng) 、寬為 ，于是長(zhǎng)方形 的周長(zhǎng) ，由柯西不等式得：

。當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)，取等號(hào)。此時(shí)寬為 即內(nèi)接長(zhǎng)方形 為正方形時(shí)，周長(zhǎng)最大為 。

7、利用柯西不等式求參數(shù)的取值范圍

例8、已知正數(shù) 滿足 ，且不等式 恒成立，求 的取值范圍。

解析：利用柯西不等式求出最值，也即求出 的取值范圍。

解：因?yàn)?/p>

，所以 的取值范圍 。

柯西不等式在中學(xué)階段，雖然只是選講內(nèi)容，但在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，引起了教師教學(xué)的重視。柯西不等式不僅應(yīng)用于證明代數(shù)不等式，它在實(shí)數(shù)大小比較、解方程、確定參數(shù)的取值范圍、求最值及幾何不等式的證明等方面都有廣泛的應(yīng)用。

運(yùn)用柯西不等式的過(guò)程中，要求我們要以敏銳的思維，細(xì)致的觀察，構(gòu)造出適合柯西不等式的兩組數(shù)，以便可以使用柯西不等式。這是學(xué)生拓寬知識(shí)，打開(kāi)思維的鑰匙，是解決一系列問(wèn)題的法寶。

參考文獻(xiàn)：

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[2] 薛金星.中學(xué)教材全解數(shù)學(xué)選修4—5.西安：陜西人民教育出版社.2010.4.

[3] 柯西不等式的證明與應(yīng)用.百度文庫(kù)，2013.7.