東海大橋基于溫度序列的撓度分析

摘 要 東海大橋工程是上海國際航運中心洋山深水港區一期工程的重要配套工程，為洋山深水港區集裝箱陸路集疏運和供水、供電、通訊等需求提供服務。

撓度是指建筑體在一定條件下發生彎曲形變時橫截面形心沿與軸線垂直方向的線位移。本文主要對撓度與溫度之間的關系進行討論和探究。力求最終所得模型對數據有較好的擬合，并用于對橋梁撓度的預測分析。

關鍵詞 橋梁 撓度 溫度 時間序列分析 主成分分析

中圖分類號：U448 文獻標識碼：A

在橋梁建成后，由于受到氣候、環境因素的影響，會被逐漸腐蝕和老化，長期的荷載作用，使其強度和剛度降低。不僅會影響行車安全，也會使使用壽命縮短。對結構布局十分復雜的大型橋梁上若仍然沿用傳統方法的進行外觀檢查、養護以及局部檢測，已遠遠難以完備的反映其健康狀況，尤其是橋梁的安全問題難以保障。建立一種用以提供全面檢測，實時觀測大橋結構的承載能力，保證橋體的安全運營。

綜合已有研究資料，為建立撓度和溫度關系數量模型，研究研究思路如下：首先對溫度序列與撓度序列進行獲取和整理，對于其中的異常值選定規則予以剔除，其次嘗試建立若干可行模型，通過對擬合優度，多重共線性分析和殘差序列分析等方法對所建模型進行合理性評價最后，對最終所提出模型進行優缺點評析并提出應用辦法。（由于版面限制，輸出圖表基本略去，僅保留最終擬合結果及少量必要圖表）

一、數據集概述及初步分析

在日常觀測中，溫度隨時間的推移而周期性變化，而溫度又為撓度的主要影響因素之一，故嘗試將數據集DATA視為時間面板數據進行分析并建立適當模型對撓度（GP）進行估計并對數據集DATA中的缺失值進行填補。

（一）數據的性質檢驗及篩選。

根據時間序列分析的要求，不論自變量或因變量，均不得為白噪聲序列。經分析，撓度（GP）與18個溫度序列的自相關系數與偏自相關系數顯著不為零，因而不是白噪聲序列。又通過ADF檢驗方法，在1%、5%、10%的置信度下，GP（撓度序列，下文中撓度序列可用GP代指）及溫度序列均顯著拒絕存在單位根的原假設，即GP平穩。最后由6 法刪去由儀器失常及其他因素造成的異常值。

（二）缺失數據的填補。

撓度的具體表現為橋梁在溫濕度及其他自然環境的共同作用下，由于不同結構體導熱性能以及膨脹系數不同而導致的橋體中心點具有連續性的位移變化（隆起或下沉）。因而在此嘗試用自回歸模型對序列GP進行擬合。

通過自回歸圖，發現GP在短期內存在的偏自回歸并一階截尾，自回歸系數拖尾，即GP有明顯的一階自回歸趨勢。嘗試用模型1對其進行擬合。

其中C1為一維系數向量， t為白噪聲項。

其自回歸圖亦表明殘差并未完全呈現白噪聲的特征，換用表達式2對GP進行擬合。

其中，GP的一階差分系數顯著，且差分項D（GP）的增加使得R2大幅提高并達標準因而選用模型2對空白數據進行填補。

二、線性時間序列模型的建立

線性參數模型的建立：

協方差分析顯示十八個溫度序列之間存在著強相關；而任意溫度序列與撓度的相關系數均小于0.2，可以認為無線性相關。于是放棄變量線性擬合，尋求溫度與撓度之間的關系。嘗試下列模型：

其中TEM=（CT1，CT2，…，CT6，ST1，ST2，…ST12）'為18€？9980的溫度矩陣，C1為1€？8系數向量，C2為1€？8的系數向量，C0表示殘差項，LNGP=ln（-GP）。

擬合后，前三個方程擬合程度極弱，不能有效估計GP的數值和波動情況均予以舍去，其相關輸出與分析由于篇幅限制均不列示。僅有LNGP=C€譚EM在無自回歸項時擬合優度既已達到R2=0.49，推測此模型在經過修正和擴大樣本量之后可能會較好的預測LNGP。在進行修正之前舍棄 t 檢驗參數不顯著的變量。

步驟如下，記為操作1：

1）刪去模型中最不顯著序列（相應 p 值最大的序列）；

2）舍棄此序列對模型重新擬合；

3）重復步驟1）、2），直到所有變量系數都顯著；

4）對模型進行最終擬合。

所得殘差的自回歸系數拖尾，偏自回歸系數一階截尾。表明殘差序列存在顯著地一階自回歸。對模型加入一階自回歸并重復操作1中1）～4）步，

得R2=0.615148，較上一模型雖有提高但仍不完善。對殘差進行同樣操作，發現無短期相關。回憶本文先前所提及的撓度受到周期性序列溫度的影響。繪制100階滯后自相關圖得殘差序列在滯后96階時對當前階影響顯著，向模型中加入AR（96），并重復操作步驟1）～4）。重新擬合后可以看出，通過自回歸項的添加，自變量的數目的顯著減少和R2的上升證明以該方向探究溫度序列與撓度序列之間的參數關系的方法是可取的。再觀察相應的殘差序列100階滯后的自回歸圖。從圖中看來，自相關或偏自相關系數均呈正弦方式波動遞減，雖然普遍在兩倍標準差以內波動，但仍存在高于兩倍標準差的現象，但由于自回歸值或偏自回歸值高于兩倍標準差的數量較少，分部零散以及p值不顯著等特征在此認為殘差基本達到白噪聲的水平，不予繼續提取殘差中的剩余信息。

三、非線性模型的建立

在以上分析中注意到，正值GP不可被估計，且等式右端的常數項估計為0。因此更改模型為非線性模型：

選擇指數混合非線性模型與撓度自回歸模型相比將有以下兩點優勢：

在理想情況下，由于在橋梁使用壽命中，自然狀態下上海地區氣溫始終在一定范圍內波動，并且嚴格以年為周期。因而用以估計非線性模型的自變量范圍取值范圍可以取遍可能的全集。在做預測或估計時不會出現輸入自變量超出模型所適合的范圍。

由于該模型的預測依靠于外生變量的輸入作為指數項，所以不會因為預測時間的推移而使因變量（GP）趨于某一固定的值，0。由Matlab計算并進行擬合優度檢驗，計算得R2=0.9558，表明模型對原方程擬合程度貼切。

四、進行主成分分析達到模型簡化

在上述建模中發現在最終模型中所選取的溫度序列組隨著所選時間段的不同而不同。因而在此嘗試使用主成分分析選取主成分代替溫度序列對撓度進行擬合，從而減少因樣本框選取而產生的估計誤差。

回顧18個溫度序列根據監測點位置不同而分為檢測鋼梁溫度的CT1～CT6序列（記為矩陣TEM1）以及檢測混凝土結構的ST1～ST12序列（記為矩陣TEM2）。而撓度主要由結構溫差導致，所以通過對兩溫度矩陣分別取主成分帶入擬合進而得到模型。用princomp語句對TEM1以及TEM2進行主成分分析得到得分函數和主成分矩陣（得分矩陣）。TEM1的第一主成分至第六主成分依次記為X1～X6。相應的得分函數為[747.7219 22.0784 7.9347 1.9127 0.4917 0.1667]，累計貢獻率為[95.82% 98.65% 99.67% 99.92% 99.98% 100.00%]，則選取第一主成分代作為溫度序列TEM1的替代。

TEM2的第一主成分至第六主成分依次記為X01～X12。相應的得分函數為[876.6472 18.9095 9.0033 1.9399 1.0674 0.9025 0.5468 0.3370 0.2085 0.1221 0.0633 0.0445]，累計貢獻率為[96.36% 98.44% 99.42% 99.64% 99.76% 99.85% 99.91% 99.95% 99.97% 99.99% 100.00%]，則選取第一主成分作為溫度序列TEM2的替代。

將X1和X01代入下式對撓度進行擬合

與模型2相比減少了輸入參數且擬合優度接近。因此選取模型3代替模型2作為最終模型。

五、應用

通過本實驗得到了撓度與外生變量溫度的非線性時間序列分析，對此我們可以滿足實驗伊始所提出的要求。在進行擴大數據量檢驗模型后如若無誤，可定期或不定期的將檢測所得數據帶入該模型，以擬合程度撓度和溫度檢測器進行評價和估計，并在可預測外溫變化的情況下對撓度進行預報以及橋梁穩定性或老化程度進行評判。由于工科背景不足及相關經驗缺乏，就應用部分不作詳述。

六、結語

受到樣本跨度不足及質量不高等問題的影響，該模型仍存在很多不足，詳述如下，并希望在數據充足時可依思路對其進行修改并希望可以對讀者進行啟發。

1、殘差序列非白噪聲：對于最終模型（模型3）相應的殘差序列并沒有通過JB檢驗，不服從正態分布。表明殘差序列中仍有可以提取的信息以對模型進行改進和優化。

2、季節性因素并未提取：從工科方向了解到，橋梁撓度收到月度和季度周期性因素的影響。然而個人操作技巧及數據的時間跨度不足以支持在本次分析中對季節性因素予以提取和分析。因此推測在圖15中Yhat和GP間所存在的差異也概為未提取的季節性因素所致。

3、誤差項的刪除：再刪除誤差項的時候本文采取簡單的6 法，然而既然本文從時間序列出發，選擇迭代法剔除異常值可能更為恰當。

4、溫度序列分析不足：由于方向模糊和相關知識背景不足，本文中除在主成分分析中嘗試綜合提取溫度序列中的信息外并未對主要影響撓度的溫度序列進行深入分析，從而可能導致實驗效率低下或信息提取不足。

5、滑動平均項的影響：基于模型擬合的目的，滑動平均項的添加將影響預測功能的實現因而在實驗過程中發現，當引入滑動平均項后線性—指數模型的擬合程度會有顯著提高。在不注重預測功能的模型估計中可以考慮。并且，在缺失外生變量的撓度自回歸中，該模型的擬合程度依然出色。

6、橋梁老化問題：任何建筑都有使用壽命問題，由于受到樣本數據的限制，在此未能對橋梁老化進行討論。

7、危險臨界值：本文僅限于對撓度與溫度提出了分布關系并對相關參數進行擬合，然而受知識和數據所限，并不能提出基于此模型或關系的警戒值。

然而本模型也有很多可取之處：

1、定義域：該模型基于基本涵蓋全定義域的數據集進行擬合，擴大適用范圍，并與自回歸模型相比能更好的對模型進行預測。

2、差分運算的省略：與此前文獻相比，本文所述方法并不依賴差分，較完整的保留了數據特征，減少了由于差分導致的信息損耗，

3、溫度序列組合的應用：此處用溫度序列組合代替參考文獻中所提及的溫度加權值，保留溫度序列本身，盡可能完善的提取溫度序列中所含信息，減少信息損耗。

4、總體而言，本文雖然存在一定的不足和局限，但在溫度與撓度的時間序列分析問題上達到了甲方要求并得到了較為滿意的結果。

（作者單位：畢業于上海對外經貿大學，統計專業，現就讀于Cardiff University）

參考文獻：

[1]高淑照.灰色系統理論及在混凝土橋梁施工撓度變形監測中的應用.西南交通大學，2003年01期

[2]吳大宏.基于遺傳算法與神經網絡的橋梁結構健康監測系統研究.西南交通大學，2004年04期

[3]陳德偉，荊國強，黃崢.用人工神經網絡方法估計橋梁在溫度作用下的撓度行為.結構工程師，2006年04期