微積分基本定理的教學探索

王秋寶 王凡梅

摘要：高等數學是大學本科一門重要的公共基礎課程，本文針對高等數學教學現況，結合作者自身的教學實踐以及課程本身的特點和教學目的，以微積分的基本定理的教學為例，探討對高等數學的教學方法的改革。

關鍵詞：高等數學；微積分基本定理；教學方法

一、微積分的研究對象

談到微積分，很多教師會和學生交代其是牛頓和萊布尼茨所發明，其實只能說是二人完成了主要部分。早在笛卡爾引入了變數，運動也就進入數學，微分和積分也就立刻變成了必要。正如列寧在《談談辯證法問題》中指出：數學中的加號與減號，微分與積分，與力學中的作用與反作用，以及化學中原子的化合與分解是相同的。我在此文中繼承列寧的說法，高等數學中的微積分是研究微分與積分這對矛盾的學科。

二、高等數學的教學現況

我們現今的教學，由于課程科目多，所以很多課程要面臨縮減課時，進而就要精簡內容，尤其是高等數學就不得不對很多定理只敘述，不證明推理。而對于教育的受體——學生，為了考試，也就疲于應付，埋身于題海之中，苦不堪言。也正是因為這樣，使得很多大學生對高等數學產生“恐懼”，從心理上拒絕，這樣就會影響到聽課效率，進而學習效率也會降低，而數學是注重邏輯的學科，前后知識環環相扣，學生一次課跟不上，那就次次跟不上，導致最后放棄。

當然，對于基礎的工具課程，熟練其計算方法勢必要有足夠練習作為保障，但是“磨刀不誤砍柴工”，在具體實施之前應該對所要加工處理的對象有個整體的把握。對于一些定理，我們是可以根據學生專業特點對其證明過程做一些適當的舍棄，以免學生產生畏懼，但是作為高校教師的我們一定要注意雖然證明可以舍棄，但是其定理的思想一定要交代清楚。不然，會使得學生僅僅掌握高等數學知識，而在數學素質的提高上收效甚微，考試時也只能是依葫蘆畫瓢，對于知識并沒有真正理解掌握。長此以往，學生會產生疑惑：“高等數學除了應付考試還有何用？”

針對傳統數學教與學方面存在的種種不足以及高等數學本身的特點和教學目的，我以高等數學微積分中的基本定理為例，探討一下除了在教學上采用多媒體這些先進工具之外，更應該去了解和學習的是對知識本身的深層挖掘以及理論聯系實踐的重要性。

三、微積分基本定理的教學

微分與積分的啟蒙思想可以追溯至上千年之前，直到牛頓和萊布尼茨給出并且證明了如下的微積分基本定理，才標志著微積分的誕生。故而，這個基本定理也叫牛頓——萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式。定理1：若函數f（x）在區間[a，b]上連續，且存在原函數F（x），則f（x）在[a，b]上可積，且F（x）是f（x）的一個原函數，則

■f（x）dx=F（b）-F（a）

在講授這個定理時，教師經常會把此式和定積分的計算放在一起，將其作為定積分計算的依據，使得定積分的計算有了一個完善、令人滿意的方法。而在其他方面再也不提及此定理。這是一個很大的誤導，會導致學生把這個定理認定是一個簡單的計算的理論依據而已，對其重要性會失去認識，更嚴重的是使得學生失去了解微積分本質的機會。對于這個定理，我可以改寫成下面兩種等價的形式：定理2：若函數f（t）在區間[a，b]上連續，且x是[a，b]內的一個點，令

F（x）=■f（t）dt

則F（x）在[a，b]上可微，并且dF（x）=f（x）dx。

定理3：若函數F（x）在[a，b]上可微，且dF（x）=f（x）dx，那么

■f（t）dt=F（x）-F（a）

這兩種不同的表現形式反映整體性質的積分和反映局部性質的微分在某種意義下是相互決定著的，這是一對互逆的運算。這個定理之所以成為基本定理，是因為其是整個微積分的核心部分，也是聯系微分和積分的必不可少的橋梁。為了深刻認識其重要性，可以先回顧一下一元函數的微積分定義。

定義1：設函數f（x）在x0的一個鄰域內有定義，若極限

■■

存在，則稱其為函數f（x）在x0處的導數，記作■或f'（x0），即■■=■。而相應的df（x0）稱為函數在x0處的微分。

定義2：設函數f（x）在[a，b]上的一個有界函數，在[a，b]內任取n-1個節點，a=x0

對于一元函數的定積分在幾何上可以理解為曲邊梯形的面積，就最簡單的冪函數而言。我們可以看到利用“分割、近似、求和、取極限”方法來求得積分都是極難的。更何況，采用不同的分割方法會得到不同的極限形式，即使就某一種你得到極限也無法證明其即為所求。但是，有了前面的基本定理，只要我們想到微分和積分是互為逆運算，那么求積分的問題僅僅就是尋求f（x）的一個原函數，這種做法繞開了剛才的難點，不會受到求極限或者不同分割方法的困擾。

在此之后，我們應該對其物理上的意義在做些探討，對于一個函數，如果其表示物體直線運動的速度，那么其在區間[a，b]的定積分可以理解為物體從時刻a到b的路程。在多元函數微積分的基本定理中物理意義更是十分重要。為了說明這一點，我們先回憶下多元函數的微積分基本定理的幾個表現形式：格林定理、斯托克斯定理以及高斯定理。這三條定理在數學上表述的都是一個內容：一個區域邊界上與其內部積分的關系。南開大學的陳省身先生曾經指出，對于這幾個公式，都可以歸結為外微分形式和積分之間的關系，即我們在一元函數微積分中提出的微分和積分，這里只不過是將微分發展為外微分，何為外微分可以參考文獻。我們可以據此將三個定理中的公式總結如下：

■■ω=■dω

這個公式告訴我們：外微分形式在一個區域上的積分等于比自身低一次的外微分形式在區域的邊界上的積分。也就是說，外微分與積分就和物理的正電和負電，化學的化合和分解一樣是互相抵消的。這個公式是微積分學的頂峰，是數學中美輪美奐的定理之一。當然要陳述清楚這點，需要學生對外微分要有一個認識。按照很多大學課程的設置，在學生學習這幾個定理的同時，大學物理正好學到幾個重要的“度”：即梯度、旋度和散度。在我們的課程里可以將其和微積分基本定理聯系起來，對于函數f（x）這幾個度分別對應著它的一次，二次和三次外微分形式。那么我們的那幾個基本定理也就有了它們的物理意義。借助于此學生也就會理解在教材里指出那幾個公式的物理意義是什么意思？還可以引導學生去思考為何沒有其他的微積分定理以及物理上為何沒有第四個“度”，這樣理論聯系實際學生學起來才會事半功倍，對數學才不會“望而生畏”。

四、小結

上面我以微積分基本定理為例來說明在教學方法的改革中，我們不應該只注重整合教學大綱，使用多媒體教學工具，甚至利用網絡中微博、微信等建立網絡教學互助平臺等這些外在的內容，更要加強在具體課堂教授中對知識本質的把握，幫助學生盡快抓住其根源，達到學習時事半功倍的目的。

參考文獻：

1.《馬克思恩格斯選集》第3卷，人民出版社，1995年。

2.《毛澤東選集》第1卷，人民出版社，1991。

3.《列寧選集》第2卷，人民出版社，1995年。

4.同濟大學數學系編，《高等數學（第六版）》[M]，高等教育出版社，2009。

【責編 張景賢】