淺談數學創新思維能力的培養

左廣蘭

創造性思維是人類心理活動的高級水平，是一種創造性活動。創新思維主要是指歸納推理、類比推理、發散思維、逆向思維等多種思維形式，是思維的深刻性、廣闊性、獨創性、敏捷性的綜合表現。

如何在新課程改革中培養學生的創新思維？筆者結合教學經驗，提出了數學教學中培養學生創新思維的幾點方法。

一、歸納推理

歸納是從一類事物的部分對象具有某一屬性，而做出該類事物都具有這一屬性的一般結論的推理方法。它的一般推理模式是：

S■具有（或不具有）性質P；

S■具有（或不具有）性質P；

……

S■具有（或不具有）性質P；

（S■、S■、…S■是A類事物的部分對象）

所以A類事物具有（或不具有）性質P.因此，歸納是從個別到一般的推理方法。比如，“等差數列”一節中通過觀察歸納幾個數列的特點得出等差數列的概念；又如，通過引導學生觀察下列式子：

a■=a■+d，a■=a■+d=a■+2d，a■=a■+d=a■+3d，…

歸納出數列a■■的項與數列的首項a■和公差d之間的關系：a■=a■+（n-1）d.

二、類比推理

類比推理是根據兩個或兩類對象在某些屬性上相同，推斷出它們在另外的屬性上（這一屬性已為類比的一個對象所具有，另一個類比的對象那里尚未發現）也相同的一種推理。

它的一般推理模式為

A類事物具有性質a■，a■，a■，a■，

B類事物具有性質a■，a■，a■，

所以，B類事物可能具有性質a■.因此，類比是一種從個別到個別，或者是從一般到一般的推理。

波利亞指出：“類比似乎在一切發現中有作用，在某些發現中它有最大的作用。”數學研究中，常用的類比有數與形的類比，平面與空間的類比，一維與多維的類比，低次與高次的類比，相等與不等的類比，有限與無限的類比。在立體幾何教學過程中，往往通過與平面幾何的比較發現類似之處，結論的形式類似，解決問題的方法類似。如平面幾何中的等角定理可以推廣到立體幾何中：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等。運用類比的方法，將平面幾何中的結論推廣到立體幾何中，然后再證明其是否成立。這樣會大大增加學生的知識量，使學生體會知識之間的有機聯系，感受數學的整體性。

三、發散思維和聚合思維

發散思維是沿著不同的方向去思考，對信息或條件加以重新組合，找出幾種可能的答案、結論或假設。聚合思維也叫集中思維。它是把問題所提供的種種信息或條件朝著一個方向集中，從而得出一個正確的答案或一個最優的解決問題的方案。

在創新思維培養中，發散思維起主導作用。發散思維具有靈活性、獨特性。靈活性能突破思維定勢的限制、使人產生新的構思，提出新的方法。獨特性能使思維產生新的成分，對問題提出獨特的見解。教師在教學中應有意識地培養學生的發散思維。

教學中可以從以下幾方面入手：

1.消除思維定勢。思維定勢又稱“習慣性思維”，是指人按照比較固定的、習慣的方法去考慮問題和解決問題，表現為在解決問題過程中作特定方式的加工準備。在學習過程中表現為，學生在解決一些常規問題時常常采用已掌握的解決同類問題的方法，從而加速了問題的解決，這種對問題的解決實際是對先前已經解決了的問題的練習和鞏固。當學生在解決新問題時，采用一些已掌握、已熟悉的方法有時會使問題的解決出現困難，從而阻礙學生創造性的發揮。因此，教師在教學中要幫助學生克服思維定勢的消極作用。如通過一題多解、一題多變等方法拓寬學生的思維空間，激發學生的探索興趣，幫助學生克服思維定勢。

2.鼓勵學生學會提出問題。1994年，著名的美國教育家Silver論述了問題提出在課程和教學中的重要作用：問題提出是創新式教學的一種重要標志。

教師要盡可能地為學生提供“真實的”教學活動場景，使他們在教師的指導下以類似數學家的活動方式進行數學的再創造，以便在積極參與數學知識的獲得過程中掌握探究技能，養成科學態度，形成創新意識。比如，在教學“等比數列的前n項和公式”一節時，首先給學生引入印度國際象棋發明者的故事，國王能否滿足象棋的發明人、宰相達依爾的要求呢？以此激發學生思考和探索的熱情，引導學生提出等比數列求和的問題，并探索如何解決這一問題。問題是思維的起點，學生的創新思維在遇到了問題才會引發出來的，這是培養學生創新思維的重要途徑。

3.注重發散與聚合的統一。發散思維的最大特點是思考的方向多，面廣。盡管發散思維的產物多種多樣、千奇百怪，但它的出發點和落腳點都離不開聚合思維所得的結論。因此，在訓練學生發散的同時，還要進行思維的聚合，也就是對發散的結果進行歸納和整理，找出共同的本質特征，這是提高發散思維質量的歸宿。實際上，創新思維的形成是發散思維和聚合思維協調統一、綜合運用、辯證發展的結果，它們互為前提、互相促進。

在實際教學中教師要有意識地培養和訓練學生的發散思維，在這一過程中教師要轉變傳統的教育教學觀念，不能單純地傳授知識，把學生當成是知識的接收器，要充分發揮學生學習主體的作用，激發學生主動探索的興趣，教師不僅要采用靈活多變、富有創意的教學方法，還要創設刺激學生發散思維的情境，設計發散性的問題。同時教師還要適時地進行設問、反問、分析錯因、反思結果，幫助并鼓勵學生大膽假設、善于質疑，并將尋求結論的任務交給學生，經過長時期的鍛煉，有利于促進學生發散思維習慣的形成，這就為創造性人才的培養奠定了基礎。

四、逆向思維

在許多的問題解決中，需要將公式、法則逆用。學生缺乏這種自覺性和基本功，教學中應注意這方面的培養和訓練。

例如，應用誘導公式求sin（-210°）。

做法一：sin（-210°）=sin180°■-（-210°）=sin390°=sin30°=■

做法二：sin（-210°）=-sin（210°）=-sin（180°+30°）=-（-sin30°）=■

做法一與做法二不同，做法一的sin（-210°）=sin180■°-（-210°）是逆用公式sin（180°■-α）=sinα體現了逆向思維過程。

教學中多注意對學生的逆向思維訓練，引導學生做與習慣性思維相反的探索。證明題順證不行就逆證；直接解決不行就間接解決；正面解決不了就考慮反面解決；探索問題的可能性有困難就探索其不可能性。

例如，一段線路中并聯著3個自動控制的常開開關，只要其中有一個開關能夠閉合，線路就能正常工作。假定在某段時間內每個開關能夠閉合的概率都是0.7，計算在這段時間內線路正常工作的概率。

分析：如果線路正常工作，那么需要3個開關中至少有一個能夠閉合，這包括恰有其中1個開關閉合、恰有其中某2個開關閉合、恰好有3個開關閉合等幾種互斥的情況，逐一求其概率較為麻煩，為此，先求3個開關都不閉合的概率，從而求其對立事件——3個開關中至少有1個能夠閉合的概率。

總之，正確巧妙地運用逆向轉換的思維方法解決問題，常常使人茅塞頓開，使問題的解答變得簡便，使思維進入新的境界。

【責編 田彩霞】