麥克斯韋方程組及其邊值關系獨立性的討論＊

張子珍 林 海 楊成全

（山西大同大學物理與電子科學學院，山西 大同 037009）

電磁場的普遍規律總結為麥克斯韋方程組.在兩種介質的分界面上，表征電磁場的麥克斯韋方程組被相應的邊值關系所取代.麥克斯韋方程組微分形式的4個式子是不獨立的.在時諧電磁波傳播時，邊值關系的4個式子也不完全獨立，而大部分教材只給出了不獨立的結果，［1－4］沒有加以證明.近年來，也有許多關于麥克斯韋方程組以及邊值關系方面的論文，多數是討論電磁場在分界面上發生突變的原因，對麥克斯韋方程組以及邊值關系獨立性分析的較少.［5－7］2005年，山東農業大學李慧娟教授對法向邊值關系的不獨立性作了證明.［8］2010年，華中師范大學物理學院汪德新教授在大學物理的文章［9］提供了一種邊值關系不獨立性的證明.李慧娟教授提出▽＝▽t＋▽n，在計算散度時，▽t＋▽n還可以理解，但計算旋度時，▽t，▽n分別代表什么？有些困惑.汪德新教授將麥克斯韋方程組的微分形式在分界面的長方體各表面上作了面積分.本文擬從平面波出發對兩種絕緣介質的分界面上邊值關系不獨立性加以證明.

1 介質中麥克斯韋方程組的不獨立性

介質中的麥克斯韋方程組為

2 時諧電磁波傳播時麥克斯韋方程組的不獨立性

在很多實際情況下，電磁波的激發源往往以大致確定的頻率做正弦振蕩，因而輻射出來電磁波也以相同的頻率做正弦振蕩.這種以一定頻率做正弦振蕩的波就是時諧電磁波.其電磁場對時間的依賴關系是E（x，t）＝E（x）e－iωt，B（x，t）＝B（x）e－iωt，即使不是單色波，也可以用傅里葉級數分解為不同頻率的正弦波的疊加.線性均勻介質有D＝εE，B＝μH.麥克斯韋方程組變為

很顯然，該方程組是不獨立的，從（5）、（7）式可導出第（6）、（8）式.

3 邊值關系的獨立性分析

當電磁波在兩種不同介質的分界面上傳播時，麥克斯韋方程組被相應的邊值關系所取代，兩介質分界面上的邊值關系如下

時諧電磁波傳播時，邊值關系的4個式子也是不獨立的.下面從平面波出發對兩種絕緣介質分界面上邊值關系的不獨立性加以證明.

在兩種絕緣介質的分界面上邊值關系為

圖1

第1種介質和第2種介質中傳播的都 是 平 面 波，即E（r，t）＝E0ei（k·r－ωt），H（r，t）＝H0ei（k·r－ωt），分兩種情況來考慮.

3.1 E⊥入射面

兩邊用單位法矢量點乘，得

將此式運用在分界面附近的第1種介質與第2種介質中，并相減，得

E平行于界面，故得

即B2n－B1n＝0成立時，E2t－E1t＝0成立.也就是·（B2－B1）＝0成立時，×（E2－E1）＝0成立.

在圖1中，D2n＝0，D1n＝0.

3.2 E∥入射面

如圖2，可得

圖2

將此式用到分界面處的兩種介質中，并相減得

即D2n－D1n＝0成立時，H2t－H1t＝0成立.

也就是說·（D2－D1）＝0成立時×（H2－H1）＝0成立.

在圖2中，B2n＝0，B1n＝0.

4 結束語

麥克斯韋方程組的微分形式是不獨立的.邊值關系也不完全獨立.在時諧電磁波傳播時，邊值關系的4個式子只有兩個是獨立的，一般來說只考慮兩個切向分量即可.

1 郭碩鴻.電動力學［M］.北京：高等教育出版社，2008.06.

2 楊世平，張波，李敬林等.電動力學［M］.北京：科學出版社，2010.02.

3 梁紹榮，王雪君.電動力學［M］.北京：北京師范大學出版社，1986.10.

4 蔡圣善，朱耘，徐建軍.電動力學［M］.北京：高等教育出版社，1984.04.

5 江孟蜀.電磁場邊值關系的物理起源探討［J］.重慶工商大學學報，2005，22（1）：20－21.

6 黃鳳.電磁場邊值關系的討論［J］.安慶師范學院學報，2012，18（2）：126－128.

7 夏從新，危書義.電磁場切向邊值關系的討論［J］.大學物理，2010，29（1）：21－22.

8 李慧娟.麥克斯韋方程和法向邊界條件的非獨立性［J］.山東農業大學學報，2005，36（2）：455－457.

9 汪德新.理想導體與均勻絕緣介質界面上邊值關系獨立性的討論［J］.大學物理，2010，29（1）：34－35.