用于多普勒回波去噪的雙重指數型閾值函數

張 翔，王海彬，楊軍超

（1.西安機電信息技術研究所，陜西 西安710065；2.機電動態控制重點實驗室，陜西 西安710065）

0 引言

小波變換［1］的概念是由法國工程師J.Morlet在1974年首先提出的。近年來，小波變換理論得到了非常迅速的發展，特別是在信號分析所涉及的去噪、壓縮、傳遞等領域［2］。在信號去噪領域中，Donoho和Johnstone［3］提出了小波閾值去噪的方法，他們研究的是在疊加性高斯白噪聲環境下檢測出真實信號的情況，獲得了非常好的去噪效果。

濾波器去噪是實際應用最廣泛的一種方法，但時常在濾除噪聲的同時導致了有用信號的失真，它是從純頻域的角度來分析和消除噪聲。在常用的基于傅里葉變換的信號去噪方法中，總是使得信號和噪聲的頻帶重疊部分盡可能小，這樣在頻域通過時不變濾波，就將信號和噪聲區分開，但如果兩者重疊區域很大時，就無法實現去噪的效果了。由小波變換的特性可知，高斯噪聲的小波變換仍然是高斯分布的，它均勻分布在頻率尺度空間的各部分，而信號由于其帶限性，它的小波系數僅僅集中在頻率尺度空間上的有限部分，利用正交小波變換和高斯隨機變量的性質對信號的小波分解系數做閾值量化，就可以完成去噪的過程［4］。但是在閾值量化過程中，Donoho提出的閾值函數存在不連續或估計的小波系數和分解的小波系數存在偏差的問題，這些問題都會降低去噪效果。本文針對此問題，提出了雙重指數型閾值函數對多普勒回波信號進行去噪處理。

1 小波閾值去噪算法和雙重指數函數

1.1 小波閾值去噪算法

小波變換是一種信號的時-頻分析，發展了傳統的傅里葉變換思想，在時域和頻域都具有良好的局部特性，特別是對非平穩信號的分析明顯優于傅里葉變換。同時它具有多分辨率的特點，可以方便地從含有噪聲的信號中提取原始信號，小波變換能將信號的能量集中到少數的小波系數上，而白噪聲在任何正交基上的變換仍然是白噪聲，其分量分布在大多數展開系數上［5］。相對來說，有用信號所對應的小波系數幅值較大，但數目較少，而噪聲對應的小波系數是一致分布的，個數較多，但幅值小?；谶@一思想提出了“硬閾值”和“軟閾值”［6］去噪方法，即在眾多小波系數中，把絕對值較小的系數置為零，而讓絕對值較大的系數保留或收縮，得到估計小波系數，然后利用估計小波系數直接進行信號重構，即可達到去噪的目的。

因此，小波閾值去噪過程可分為以下三個步驟：

1）選擇一個小波基函數，確定小波分解層數并對信號進行小波分解，得到一組小波系數。

2）確定閾值并選擇合適的閾值函數對小波系數進行閾值處理。

3）小波重構。根據閾值化處理后的高頻小波系數以及未處理的低頻小波系數進行離散小波反變換重構信號。

在小波閾值去噪算法中，閾值函數的選取會直接影響小波閾值去噪的質量，因此一個完善的閾值函數對于小波閾值去噪是一個重要的因素。

常用的閾值函數有以下兩種：

1）硬閾值函數

2）軟閾值函數

其中ω 是分解的小波系數，ω′是估計的小波系數，λ是指定的閾值。

1.2 雙重指數函數

雙重指數函數常規公式為：

當x＜0 時，雙重指數函數接近1，但當x＞0時，雙重指數函數成長速率比指數函數還要快，如圖1為雙重指數函數和一般實數指數冪的比較。

圖1 雙重指數函數和一般實數指數冪的比較Fig.1 Comparing of double exponential function and general exponential power

2 雙重指數型閾值函數

閾值函數的作用是對小波系數作門限閾值處理操作，通常都是將較小的小波系數置零，將保留較大的小波系數或對較大的小波系數進行收縮處理。直接將較小的小波系數置零雖然能濾除大部分噪聲，但是同樣會濾去一定量的真實信號；如果直接保留較大的小波系數，會使去噪后的信號存在較多的尖峰，不夠平滑；如果對較大的小波系數進行收縮處理，雖然能夠使去噪后的信號更加平滑，但是收縮后的小波系數（即估計的小波系數）始終與分解的小波系數存在一個恒定的偏差，該偏差值大小等于閾值λ。閾值函數的連續性同樣重要，硬閾值函數在│ω│=λ處是不連續的，容易引發偽吉布斯現象，即在不連續點四周的信號會在一個特定目標水平上下波動。

可以通過設計一個連續的新閾值函數解決上述問題。處理較小的小波系數時，為了保留真實信號的同時又最大程度地濾去噪聲，可以對較小的小波系數進行收縮處理，考慮使用一個指數形式的系數來滿足條件，類似2a，其中a是一個包含閾值λ 和分解的小波系數ω 的函數，當│ω│→0時，2a→0；處理較大的小波系數時，既要兼顧信號去噪后的平滑性，又要使估計的小波系數與分解的小波系數在數值上盡可能接近，這就要求當│ω│→∞時，2a→1，且2a向1逼近的速度要隨著│ω│的增大而加快，這樣才能夠更好地減小估計的小波系數與分解的小波系數之間的偏差，使用雙重指數形式的系數可以滿足這個要求。

式中α為正整數。

所以該閾值函數是呈線性逼近ω′=ω 的，當ω增大時，ω′逐漸逼近ω，因此雙重指數型閾值函數可以很好地解決軟閾值函數中ω和ω′和恒定偏差問題。

雙重指數型閾值函數不是分段的，相比傳統的閾值函數更為簡單。同時該閾值函數在對低于給定閾值的小波系數處理上同樣具有優勢，傳統的閾值函數設定當小波系數的絕對值小于給定的閾值時，小波系數取零；雙重指數型閾值函數對那些絕對值小于給定閾值的小波系數進行縮減處理，使得它們遠小于其他系數，在一定程度上保留其包含的真實信號。調控參數α 越大，雙重指數型閾值函數越近似于硬閾值函數，但是隨著α的增大，計算量也會相應地增加。

3 仿真驗證

3.1 使用三種閾值函數進行閾值處理

分別使用三種閾值函數對簡單信號進行閾值處理，結果如圖2所示。從圖中可以看出，雙重指數型閾值函數的處理結果最為平滑，而且相比軟閾值函數的處理結果更能夠保留一些真實信號中的尖峰特性。

圖2 三種函數閾值處理結果Fig.2 The results of three kinds functionthreshold processing

3.2 引信回波信號的模擬

考慮相對簡單的情況：點目標靜止，引信勻速直線運動，速度為V，點目標與引信運動方向垂直距離為H，設從引信工作起始點到離目標最近點長為R0，經過時間t后，引信運動至與距目標最近點相距R 處，具體如圖3所示。

圖3 引信工作歷程圖Fig.3 Fuze work process diagram

由圖3可知R=R0-Vt，假設發射波形為f=sin（2πf0t），其中f0為載頻，取15GHz。則回波可表示為：

脈沖多普勒雷達的發射信號是按一定的脈沖重復周期進行幅度調制的脈沖，因此多普勒頻移表現為脈沖到脈沖的相移。若目標相對引信的徑向速度為零，則經過模數轉換后的回波信號為一等幅脈沖串；若目標相對引信的徑向速度不為零，則經過模數轉換后的回波信號為一經過余弦信號調幅的脈沖串，此余弦信號的頻率即為多普勒頻率，徑向速度不同則多普勒頻率也不同。

將回波信號與本振f=sin（2πf0t）混頻再經低通濾波后，得到多普勒信號

對相位求導得多普勒頻率為：

圖4 模擬回波信號Fig.4 Simulate echo signal

3.3 去噪處理以及結果對比

3.3.1 去噪處理

首先對回波信號y（t）進行采樣處理，得到離散采樣數據y［k］，y［k］=c0，k，則信號y（t）的小波變換分解為：

其中cj，k為尺度系數，dj，k為小波系數；h、g 為一對正交濾波器組；j為分解層數；N 為離散采樣點數。

再對分解得到的每個小波系數進行閾值處理，閾值?。?/p>

此處N 為樣本序列長度，取N=40 001。

分別用雙重指數型閾值函數、軟閾值函數和硬閾值函數對分解的小波系數進行處理，雙重指數型閾值函數的參數取α=7。

最后通過反變換公式

重構函數，得到去噪處理后的信號。

3.3.2 結果對比

圖5為分別使用雙重指數型閾值函數、“軟閾值函數”和“硬閾值函數”三種閾值函數對信噪比為10 dB的回波信號作去噪處理后得到的信號放大到單個脈寬的信號圖，從圖中可看出，“軟閾值函數”處理后的信號較雙重指數型閾值函數和“硬閾值函數”處理后的信號更為平滑，但是在信號幅度上有明顯的衰減，這對于通過回波信號的幅度大小判斷目標方位的無線電定向探測引信的定向精度有很大影響。雙重指數型閾值函數和“硬閾值函數”處理后的信號僅從圖中無法看出明顯區別，可以通過計算處理后信號的信噪比、與原始信號的均方差進行優劣判別。

圖5 回波信號去噪結果Fig.5 Echo signal denoising results

將原始信號y 作為標準信號，則經過小波去噪后的估計信號y'的信噪比（SNR）公式定義為：

原始信號與估計信號的均方差（MSE）定義為：

上述兩個公式中n為信號長度。

估計信號的信噪比越高，原始信號與估計信號的均方差越小，則估計信號越接近原始信號，去噪效果越好。表1中列出了使用雙重指數型閾值函數、軟閾值函數和硬閾值函數三種情況下，估計信號的信噪比和均方差的比較。從信噪比和均方差的角度看，使用雙重指數型閾值函數去噪后得到的估計信號信噪比最大，與原始信號的均方差最小，去噪效果最好。

表1 三種去噪結果比較Tab.1 Result comparison of three kinds of de-noising

通過多次仿真驗證發現，當回波信號信噪比為1dB時，使用雙重指數型閾值函數對回波信號作去噪處理，處理后信號信噪比約為4.8dB；當回波信號信噪比為0dB時，使用雙重指數型閾值函數對回波信號作去噪處理，處理后信號信噪比約為1.4 dB，此時信號與噪聲的功率相差不大，去噪效果已經開始呈現不理想的狀態；當回波信號信噪比為-1 dB時，處理后信號已出現明顯丟失。具體結果如圖6所示。

圖6 處理不同信噪比的回波信號Fig.6 Process echo signal has different SNR

4 結論

本文提出雙重指數型閾值函數對多普勒回波信號進行去噪處理。該閾值函數呈雙重指數形式，不是分段函數，含有一個調控參數控制估計的小波系數向分解的小波系數或0逼近的速度，以閾值和分解的小波系數的比值是否大于1判定估計的小波系數逼近的方向。仿真結果表明使用雙重指數型閾值函數去噪后得到的信號最為平滑。在回波信號信噪比低于0dB時，使用雙重指數型閾值函數去噪效果不理想。在對多普勒回波的去噪過程中，使用雙重指數型閾值函數去噪后得到的信號的信噪比大于使用“軟閾值函數”和“硬閾值函數”得到的信號的信噪比；使用雙重指數型閾值函數去噪后得到的信號與原始信號的均方差小于使用“軟閾值函數”和“硬閾值函數”得到的信號與原始信號的均方差，雙重指數型閾值函數在去噪效果上優于傳統的“軟閾值函數”和“硬閾值函數”。

［1］楊建國.小波分析及其工程應用［M］.北京：機械工業出版社，2005.

［2］Delyon B，Juditsky A，Benverniste A.Accuracy Analysis for Wavelet Approximation［J］.IEEE Transactions on Neural Networks，1995（6）：320-350.

［3］Donoho DL，Johnstone I.Wavelet shrinkage：Asymptopia［J］.Journal of Royal Statistical Society，1995，57（2）：301-369.

［4］Gu Jie.Wavelet Threshold De-noising of Power QualitySignals［C］／／Fifth International Conference on Natural Computation，2009（6）：591-597

［5］K Berkner，Jr R O Wells.Wavelet transforms and denoising algorithm ［C］／／Signal，System ＆ Computers，Conference Record of the Thirty-Second Asilomar Conference.Pacific Grove，California：Monterey Bay Aquurium Research Institute，1998：1639-1643.

［6］Donoho DL.De-noising by soft-thresholding［J］.IEEE Trans.on Inf.Theory，1995，41（3）：613-627.