化歸：“形”變“道”通

李純聰

（福建省廈門市鐘宅民族小學，福建廈門361009）

化歸：“形”變“道”通

李純聰

（福建省廈門市鐘宅民族小學，福建廈門361009）

化歸，即化轉歸結。它是將所遇問題不斷地變形，直至把它轉化成另一個熟知、容易解決的問題，或者已經會解決的問題，這就是化歸的思維方式。通常有：化生疏為熟悉、化復雜為簡單、化抽象為具體、化疑難為容易、化綜合為單一、化不規則為規則、化無形為有形、化無模為有模、化單解為多解、化間接為直接等等。化歸，對于解決問題，將起到綱舉目張的作用，實現圖形變換，讓思路“明”了；數形轉換，讓規律“現”了；關系轉換，讓解法“活”了；算式變形，讓道路“通”了。

化歸方法；“形”變；“道”通

化歸，即化轉歸結。它是將所遇問題不斷地變形，直至把它轉化成另一個熟知、容易解決的問題，或者已經會解決的問題，這就是化歸的思維方式。通常有：化生疏為熟悉、化復雜為簡單、化抽象為具體、化疑難為容易、化綜合為單一、化不規則為規則、化無形為有形、化無模為有模、化單解為多解、化間接為直接等。化歸，對于解決問題，將起到綱舉目張的作用。以下是筆者在教學實踐中運用化歸教學的幾點體會。

一、圖形變換，讓思路“明”了

有些數學問題，看似條件不足，關系不清，解決起來有難度。不過，借助恒等法、分割法進行變形轉化，即對圖形恒等變換，有時可以起到“柳暗花明又一村”的感覺，讓思路變得明了，讓問題解決成為可能。

如：計算圖1等腰直角三角形面積。（單位：厘米）

看完題目，學生產生困惑，即要求三角形面積，通常需要知道它的底和高，而本題只知道等腰直角三角形底，這面積該怎樣計算呢？對此，引導學生觀察，我們可不可以這樣變形？（做法：再復制出三個完全一樣的等腰直角三角形，與原來的那個等腰直角三角形組合，見圖1。）變形后，現在從圖1中，我們知道了什么？它與原圖形相比，前后發生了怎樣的變化？學生在觀察、比較中明白并理清了關系，也感受到了恒等變形的轉化思想。

當然，還可以這樣轉化（如圖2）8.4×8.4÷ 4=17.64（cm2）進行求解。

事實證明，借助圖形變換進行轉化，可以化間接關系為直接關系，以此溝通了問題之間的聯系，明確了數量之間的關系，解答思路明晰。這樣在變形中，有效地掃清障礙，找到了圖形問題解決的光明之“道”。

圖1

圖2

二、數形轉換，讓規律“現”了

華羅庚先生說過，數形結合百般好，隔離分家兩邊飛。數上構形，形上覓數，即借助數形對應，可以使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，讓潛在的、不易發現的規律原形畢露。

比如，探究“前n項連續自然數的和”，即求“1+2+3+…+（n-1）+n”的和。對于要找到這樣的計算規律，談何容易？特別是在面對自然班全體學生教學時，更加突顯它的難度，在此如果借助數形轉化，利用數形對照，發現它的計算規律已不在話下。過程大體是這樣：

從簡單算式入手，讓復雜問題簡單化。學生從1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10，1+2+3+4+5=15等算式和結果中，只能發現前一個算式的結果加上新的自然數，等于當前算式的結果，除此之外，很難發現計算上的普遍規律，操作性也不強。于是，筆者借助如下點陣圖讓學生感受規律。

學生通過觀察圖形，比較算式，發現紅色或黑色點陣正好是連續自然數列的和，以1+2+3+4+5=15為例，這個數列的和正好是占長為5、寬為6的方形點陣數的一半，而5對應算式的項數，6是項數與1的和，由此推導得到計算規律為“項數×（項數+1）÷2，其實就是項數×（首項+末項）÷2，當項數為n時，前n項連續自然數求和規律便昭然于眾，即n×（n+1）÷2。

教學發現，借助數形結合方法進行轉化，可以化復雜為簡單，轉抽象為具體，在數上構形，形上覓數中，利于學生數學思考和自主發現、理解、把握規律，讓蘊含于數式中的規律，在直觀形象的圖形中暴露無疑，讓難覓的規律“現”了出來。

三、關系轉換，讓解法“活”了

在問題解決中，有些題目數量間的關系錯綜復雜，學生有所迷惑，但通過單位“1”或者間接向直接關系轉化，還可以實現解法多元，策略多樣。

比如，在解決“已知比一個數多（或少）幾分之幾的數是多少，求這個數”稍復雜的分數除法應用題時，借助單位“1”的轉換，可以有不同的解決問題的方法。

例：小明體重是35kg，他的體重比爸爸的體重輕，小明爸爸的體重是多少千克？

在問題解決教學中發現，通過數量間關系的轉換，可以化單（或少）解為多解，可以使算法多樣，對促進學生思維的靈活性、廣闊性等數學品質大有益處。

四、算式變形，讓道路“通”了

在分數的巧算與速算計算教學中，有些算式的簡便特點隱蔽較深，如果借助裂項方法對算式進行等量變形，讓相對的兩個分數抵消為0，可以達到簡算的目的，由此實現化復雜為簡單的計算效果。

在教學中，我們一定要把復雜的事情變得簡單，那是本事，千萬別把簡單的事情變得復雜，那是找事。老子曾經說過，天下難事必成于易，天下大事必作于細。為此，教學中我們應該靈活地運用數學思想方法——化歸。通過圖形變換、數形結合、關系轉換、算式變形等方法，達到化抽象為具體、化復雜為簡單、化單解為多解、化困難為容易。借助化歸，實現“形”變“道”通，將讓問題解決中的“天塹”變成思路、算理、算法上的“通途”。

編輯∕高偉

李純聰（1966－），男，福建龍巖漳平人，大專，小學高級教師，研究方向：數學教學。