促進學生數學理解的線性代數教學研究與實踐

陳建華 劉金林

[摘 要]根據線性代數課程教學目標和學生的認知水平、心理特征，選準基于“問題解決”的課程教學作為促進學生數學理解的切入點，探索如何以為學生提供問題解決情境為抓手，從課程、教材和教法三個層面全方位進行線性代數課程建設.依托線性代數課程，如何利用核心問題統領課程數學內容，利用綜合問題增進數學知識聯系，利用應用問題體現數學的應用價值，利用趣味問題發揮數學的文化功能，是線性代數教學研究與實踐中的重要問題.

[關鍵詞]理解性教學 數學理解 問題解決 線性代數

[中圖分類號] G421 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2014）01-0091-03

線性代數是一種語言.在現代社會，除了算術以外，線性代數是應用最廣泛的數學學科了.[1]線性代數課程目標的取向是幫助學生追求智力的卓越發展，數學能力和數學素養的提升.瑞典數學家LarsGarding指出：“如果不熟悉線性代數的概念，要去學習自然科學，現在看來就和文盲差不多，然而按照現行的國際標準，線性代數是通過公理化來表述的，它是第二代數學模型……這就帶來了教學上的困難.”如何讓學生更好地掌握線性代數的基本理論，熟練運用線性代數的核心思想與技術，一直是備受關注的課題.

自20世紀80年代以來，人們倡導將知識與其應用情境聯系起來的教育方法，建議通過支持探究、應用、問題解決的學習來支持發展21世紀技能。[2]在這樣的背景下，我們的具體做法是：以教學問題為出發點，從課程、教材和教法三方面做了全方位探索，精心設計教學問題，認真組織、實施教學，既有理論研究，又有實踐創新.

一、準確定位，構建線性代數課程體系

“問題解決”被教育專家稱作“21世紀課程的基礎”.在此觀點下，課程的基本單位就是“問題”，課程改革的主要任務是“重新組織”課程，即通過問題設計來組織課程內容.自2007年以來，我們從線性代數課程結構、與相關課程的關系等方面開展了課程內容研究.

（一）基于問題解決理論，構建線性代數課程內容體系

我們運用“問題解決”理論對線性代數課程內容作了梳理，將科學研究方法融入課程教學，以期在教學實施過程中對促進學生的概念性理解起一定的作用.對于非數學專業的學生來講，線性方程組的求解、矩陣的對角化判定和二次型的化簡是該課程的三個核心問題.針對以上三個問題，從知識準備的角度將行列式、矩陣和向量等基礎知識作為課程的基礎內容，循著知識發展的軌跡，逐一展開三個核心問題，形成“基礎知識+問題解決+應用”的課程內容框架.[3]這樣，有利于幫助學生建立線性代數知識體系架構，形成對課程的整體性的認知.知識模塊順序及關系如圖1：

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圖1 知識模塊關系圖

教學設計時再將每個章節的教學內容拆解為若干易于理解的單元問題，而具體概念或定理的教學，采用構建問題“鏈”來組織，這種問題鏈的作用正像一顆顆珍珠串成一串，彎一個小指頭就能把它輕輕提起來.這種加工，在加強知識聯系的同時，提高了教學效率.[3]同時方便在課堂教學中采用問題來引發學生的學習動機、思路和行為.

（二）加強相關課程聯系，高觀點理清數與形的關系

根據教學的需要，我們開展了線性代數與解析幾何、微積分、概率統計、矩陣論等課程之間聯系的研究，打破大學數學課程之間的界限，利用綜合問題加強相關課程內容上的聯系與整合.從“行列式的幾何意義及其應用”和“幾何直觀在線性代數教學中的應用”等視角，引導學生利用幾何直觀來理解抽象的代數概念.從“如何用函數思想解線性代數問題”探討了微積分與線性代數的聯系.借助數學模型介紹矩陣在概率統計課程中的應用.相關課程關系結構如圖2：

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圖2 課程聯系關系圖

對于線性代數與矩陣論（后續課程）關系的研究，則是從矩陣范數、矩陣的若爾當標準型和線性空間等概念入手，進行討論.目的是讓學生了解課程的發展趨勢，接受課程的熱點問題，在接受課程前沿知識的過程中體驗創新的方法、創新的方向.這是對學生知識體系的完善，有利于學生創新思維的發展。

二、精益求精，打造線性代數精品教材

教材是整個教育教學工作的重要組成部分，高質量的教材及教學資源是培養高質量人才的基本保證.線性代數教材作為該課程教學的知識載體和教學的基本工具，直接關系到課程教學能否為培養創新人才服務.依據教育部頒發的“線性代數課程教學基本要求”和“碩士研究生入學考試大綱”，結合普通綜合性大學學生的實際情況，編寫了線性代數教材.2007年，由機械工業出版社出版的《線性代數（第2版）》是國家十一五規劃教材.2011年，我們吸收研究成果，再次對教材作了修訂，形成如下特色：

（一）內容宏觀組織合理，邏輯結構清晰明了

“問題解決”作為教學目的，教學過程要求把課程的基本概念、原理及特有的研究方法編入教材.以矩陣為編寫主線，輔以線性空間，遵循了由淺入深、難點分散的原則，做到了刪繁就簡，加強基礎.圍繞矩陣的等價、相似和合同，把線性方程組求解、矩陣對角化判定和二次型標準形問題與之相對應，利用矩陣的分塊將主要內容有機地聯系起來.“矩陣的秩”和“向量組的秩”分章而居，難點分解.向量與線性方程組合并編在同一章，有利于用非齊次線性方程組理解線性表示，用齊次線性方程組理解線性相關和線性無關，讓矩陣的初等變換很好地為線性相關性理論服務.二次型和矩陣的相似對角化內容單立成章，突出課程問題.內容闡述采用“幾何觀點”和“矩陣方法”并重，便于學生通過幾何背景理解代數概念，從幾何背景中獲得解決問題的啟示.

（二）反映數學文化價值，展示課程應用背景

數學文化是促進數學教學的有效工具，數學從生活中來，最終應該回歸于生活.我們以線性代數知識為載體，挖掘了課程若干知識點的文化內涵，為教學中能更好地滲透數學文化，達到“潤物細無聲”的教學目標作了資源上的準備.教材中設置“歷史尋根”欄目，選擇行列式、矩陣、向量和線性方程組等概念，對線性代數課程做出貢獻的數學家凱萊、克萊姆、范德蒙、萊布尼茲和若爾當等作為融入點，讓學生開闊眼界，提高素養.

數學應用的恰當介紹能幫助學生產生數學情感和強烈的學習動機.教材以線性代數知識為載體，通過“方法索引”和“背景聚焦”欄目，介紹重要的數學方法（解析幾何中的行列式、數學歸納法等）和數學應用（矩陣密碼法、天氣的馬爾科夫鏈、面貌空間等）.[4]為學生深刻理解數學、正確運用數學方法，感受數學的威力提供素材.由于教材使用的專業較廣，所以在實際使用中，對促進大學生文理知識的交融也發揮著積極的作用.

（3）習題設置難易得當，補充內容定位恰當

數學習題是解決問題的載體，它在幫助學生掌握基本的數學知識與技能、數學思想與方法，發展學生的情感、態度與價值觀方面有著不可替代的作用.如果把數學知識作為解決現實問題的工具，把“解決問題”作為數學教學的出發點和落腳點，那么，習題就是學生把知識用于實際的初步實踐，實現自我的夢工場.我們從知識掌握功能、應用背景分析和文化教育價值三方面探討，提出習題設計重視課程內涵，反映知識的層次；習題設計關注生活背景，反映課程的應用；習題設計體現數學文化背景，增加習題的趣味性等觀點.[5]

運用研究成果，精心設計、編寫了線性代數課程的教材習題、配套訓練題、專題解析典型例題和考研模擬題.習題設計時，注意溝通各部分知識技能之間的聯系；反映習題在現實生活中原型，編入適當合理的有教學情境的生活背景內容；注意觸及學生的心理現實.根據課程的特點，通過趣味性的習題設置懸念，揭示矛盾，引起學生的認知沖突，引導學生生疑、釋疑.把思維教育作為潛在目的，把數學理解作為新目標.

三、更新觀念，營造豐富多彩的數學課堂

教學只有符合受教育者的心理發展特點和規律，才有可能取得良好的教學效果.日本教育學家菊池章夫曾經指出：“心理發展的水平與特點是教育的起點和依據，是教育的前提.”在對課程內容研究、打造教材的同時，根據大學生的心理特點，我們需要更新教學理念、精心編排教學案例、積極嘗試研究性教學.

（一）更新教學理念，讓學生成為問題的解決者

數學問題解決，指學習者面對初次碰到的問題時，在對原有數學概念、原理重新組合過程中進行創造性學習的過程.[6]在教學過程中，尊重學生的認識規律，在問題解決和現代建構主義教學理論指導下，根據教學內容，我們開展了啟發式、探究式、發現式教學，努力將線性代數內容的學術形態轉變為教育形式.

與傳統教學相比，基于問題解決的線性代數課程教學設計成功地確立了學生的主體地位和教師主導角色.教學中遵循“學習是一種過程，而不是結果[7]”的原則，教師給學生提供的是探究知識的問題情境，而不僅僅是知識.教師為學生更好地理解數學而營造知識環境、挖掘學生的學習潛能，學生積極參與教學過程，在問題解決的過程中親身實踐.學生的主體地位和教師主導角色得以確立.課程教學遷移模式如圖3：

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圖3 課程教學遷移模式圖

在教學中，我們不是以學生學會線性代數中某種方法作為教學的終點，而是鼓勵學生自己生成學習項目.比如矩陣等價理論的教學，從初等變換的引入，初等矩陣概念的形成，到等價標準型定理的證明，都圍繞問題“矩陣求逆方法的改進”來組織，根據學生的已有知識經驗設計教學問題，引起學生對結論迫切追求的愿望，激發學生的認知沖突.將問題結論的尋求過程、方法的思考過程、規律的揭示過程等還給學生，讓數學“冰冷的形式”背后的數學思想呈現給學生，在進行了火熱的思考后實現代數知識與技能的“同化”和“順應”.另外，解題是數學教學的重要組成部分，我們設計了一些特定問題作為學生鞏固和消化所學知識并轉化成為技能，吸收線性代數思想的重要環節.

（二）滲透數學理論的文化內涵，提升學生的數學素養

課堂教學中，我們以介紹重要概念的創建和演變、重訪定理的發現時刻、再現問題的解決過程等形式作為數學文化有機融入方法，以潤物細無聲的方式來傳遞數學理論的文化內涵，呈現一個個豐富的課堂，給學生以廣博的文化浸染.如初等行變換概念的教學引入，提供了《九章算術》中解方程組的“直除法”和高斯的“消元法”的問題背景，學生在學會知識的同時了解到概念的來龍去脈，讓問題背景下的線性代數課程中的教學內容變得“鮮活”起來.讓學生在文化層面體驗了數學的價值和魅力，提升了數學修養.

（三）以課程網站為平臺，關注學生良好學習習慣的養成

問題背景下的現代化教學手段的運用，以課程網站為平臺，拓展課程資源.借線性代數是校級精品建設課程的契機，推進課程網站建設，設置了課時講稿、電子課件、反例倉庫、模型介紹和考研輔導等有特色的欄目，給學生提供更多的課程資源和個性化學習空間，努力讓學生在自己構建知識系統的過程中，鍛煉獲取知識的能力.教學手段的改善，不僅激發學生學習興趣，還豐富了教學方法，提升了課程內涵.[7]

（四）強化應用意識，培育大學生的創新實踐能力

知行統一是人才培養的要求，也是社會對人才能力的期望.根據大學生思維的辯證性成分增多、創造性程度提高，能夠更好地調節和控制自己的思維活動的特點，我們通過對一些具體問題（如矩陣加密，Fibonacci數列通項公式，面貌空間等）進行數學建模，讓學生在運用知識解決問題的過程中思維得到鍛煉，創新意識得到加強.如特征值和特征向量的教學中，引入求Fibonacci數列的通項公式問題.利用二維向量及二階矩陣表示Fibonacci數列的本質關系fn+2=fn+1+fn，求數列通項公式問題轉化為計算矩陣的高次冪問題.如何計算呢？矩陣相似對角化條件的討論成為教學的現實需求，這樣矩陣特征值和特征向量便成為呼之欲出的教學內容.在“基于全息元的線性代數課程的教學研究”中帶領學生研究全息現象在數學教學中的應用，探討如何運用數學全息現象充分調動學生的學習積極性，從而提高教學效率.學生在經歷問題解決的過程中，接受了數學建模的思想，增強了創新意識.在數學學習中，“理解”無疑是第一位的，而“數學理解”已成為繼“問題解決”之后當今世界數學教育界所關注的又一中心話題（PMENews May 1997 edition，Mathematics Forum）.本研究是大學數學基礎課建設的一次嘗試，“問題解決”理論運用于課程教學的一次實踐.雖然“為理解而教（Teaching for Understanding）”作為一種重要教學思想已經逐漸被數學教育界所接受，但是真正實現理解性教學，提升大學數學基礎課教學質量仍任重道遠.

[ 參 考 文 獻 ]

[1] COMAP著，申大維等譯.數學的原理與實踐[M].高等教育出版社，1998.

[2] 琳達·達林—哈蒙德等著，馮銳等譯.高效學習：我們所知道的理解性教學[M].上海：華東師范大學出版社，2010.

[3] 陳建華，李立斌等.基于問題解決的線性代數課程教學設計研究[J].高等理科教育，2011（4）：21-23.

[4] 陳建華，劉金林，魏俊潮.線性代數（第3版）[M].北京：機械工業出版社，2011.

[5] 陳建華，李立斌.線性代數課程習題設計研究[J].教育與教學研究，2011（10）.

[6] 包蕾.數學問題解決研究的主要問題及發展趨勢[J].數學教學研究，2008（9）.

[7] 譚瑞梅，朱云.工科“線性代數”課程改革模式探討[J].高等理科教育，2005（6）：32-34.

[8] 布魯納著，邵瑞珍譯.教學過程[M].北京：文化教育出版社，1982.