數學建模思想在數學教學中的應用

湯明清

隨著課程改革的不斷深入，數學教學轉變了傳統的觀念，教材編寫背景結合了生活實際和社會實踐，突出了理論與知識結合，理論與實踐結合，強調了學生對數學知識的應用，呼喚數學應用意識.而中學數學最常用和最有效的教學方法之一是探索法，這一方法與數學建模有很多共同特征.本文擬通過探討數學建模思想應用于中學數學教學的可行性，為中學數學課堂教學改革尋找一條可行之路.

一、數學建模思想應用于中學數

學教學的教學原則

數學知識應用的教學，主要研究的是具有實際背景的例子，多是經過加工的實際問題，但突出的是數學.所要達到的教學目的是加深對所學知識的理解，鞏固所學數學知識和數學方法，解決數學知識“有用”的認識問題.數學建模運用的是數學工具，解決的是來自生產生活中的非數學問題.盡管受知識和能力所限，中學數學建模問題較多的還帶有應用的性質.數學知識與數學建模的教學模式，必須體現以下教學原則.

1.“再創造”原則.數學知識應用與建模課堂教學為學生提供了一個自己學習、自己探索、自己提出問題、自己解決問題的可能和機會.所以數學建模的核心是在學生的積極參與前提下進行的“再創造”活動.

2.“數學化”原則.學生是在將實際問題抽象成純數學問題，也就是將實際問題數學化的過程中學習數學.我們所看重的是幫助學生學會數學的思考，學會用數學的眼光觀察世界.因此整個教學過程印證了著名的荷蘭數學家弗賴登塔的名言：與其說是學習數學，還不如說是學習“數學化”.

3.“數學現實性”原則.教學中我們要充分肯定并強調學生個體的特殊性，對不同能力的學生開展不同層次的數學應用與建?；顒樱M量為不同的學生提供不同的能展現他們創造力的舞臺.實現每個學生在自己“數學現實”基礎上的數學能力、應用意識與實踐能力的提高，進而獲得“學然后之不足”的感悟，從而更刻苦地去學習數學.

此外，數學建模的教學還應遵循：具體與抽象相結合；歸納與演繹相結合；數與形相結合；理論與實踐相結合；探索與論證相結合的一般教學原則.同時做到目的與手段的辯證統一；間接經驗與直接經驗的有機統一；理論與應用的有機統一；學習與創造的有機統一.

二、數學建模思想應用于中學數

學教學的舉隅

數學建模思想可應用于中學數學教學那些地方呢？根據課標要求和現行教材內容，主要有：不等式的應用，函數的應用，三角函數的應用，幾何的應用等.結合時代發展的特點，教材和習題中涉及現代生活的經濟統計圖表（識別、分析、繪制），動態規劃（生產計劃問題等），網絡規劃（繪制、計算、優化），股票、彩票發行模型，風險決策，市場預測，存貯原理，供求模型，廣告與稅款等等，還有跨學科的生態平衡、環境保護、人口生命等方面的問題，等等.現例舉以下幾種.

1.建立或化歸為方程或不等式模型， 解決實際生產生活的“等量或不等關系”問題

現實世界中廣泛存在著數量之間的相等或不等關系，如，投資決策、人口控制、資源保護、生產規劃、交通運輸、水土流失等問題中涉及的有關數量問題，常歸結為方程或不等式求解.

2.建立或化歸為函數模型，解決實際生產生活的“動態變化”問題

現實生活中普遍存在著最優化問題——最佳投資、最小成本、設計最佳等，常常歸結為函數的最值問題（盈利最大、用料最?。?，通過建立相應的目標函數，確定變量的限制條件，運用函數知識和方法解決.

例如，某商場將進價40元一個的商品按50元一個售出時能賣出500個.已知這種商品每個漲價1元，其銷售量就減少10個，為了賺得最大利潤，售價應定為多少？最大利潤為多少？在教學中引導分析：①利潤的含義；②在研究利潤問題時，常用的一個關系式：利潤=每件商品所獲利潤×銷售件數.數學建模，問題求解：設每個售價為（50+x）元（x≥0且為整數），總利潤為y元，則y=（50+x-40）（500-10x），y=10[-（x-20）2+9000]（0≤x≤50，x 為整數）故當x=20時，y最大，最大值為9000.所以，每個售價為70元時，最大利潤為9000元.這里就是把最大利潤問題通過數學建模轉化成二次函數的最大值問題，再回到實際問題中使問題得已解決.

3.建立或化歸為統計型模型，解決實際生產生活的“信息處理”問題

當今是信息時代，我們廣泛地與數字打交道，要學會如何收集數據和分析數據，深刻理解用樣本估計整體的基本統計思想，掌握描述數據集中趨勢和離散程度的兩類基本統計量，建立或化歸為統計型模型.

總之，在課堂教學中，教師應充分利用教材的優勢，創造性地使用教材，創設合適的問題情境，讓學生投入到解決問題的實踐活動中，自己去探索，經歷數學建模的全過程，領會數學模型的思想和方法，增強數學應用意識，提高學生的創新能力，養成良好的思維品質，使學生學到有用的數學，學到不同的數學.

隨著課程改革的不斷深入，數學教學轉變了傳統的觀念，教材編寫背景結合了生活實際和社會實踐，突出了理論與知識結合，理論與實踐結合，強調了學生對數學知識的應用，呼喚數學應用意識.而中學數學最常用和最有效的教學方法之一是探索法，這一方法與數學建模有很多共同特征.本文擬通過探討數學建模思想應用于中學數學教學的可行性，為中學數學課堂教學改革尋找一條可行之路.

一、數學建模思想應用于中學數

學教學的教學原則

數學知識應用的教學，主要研究的是具有實際背景的例子，多是經過加工的實際問題，但突出的是數學.所要達到的教學目的是加深對所學知識的理解，鞏固所學數學知識和數學方法，解決數學知識“有用”的認識問題.數學建模運用的是數學工具，解決的是來自生產生活中的非數學問題.盡管受知識和能力所限，中學數學建模問題較多的還帶有應用的性質.數學知識與數學建模的教學模式，必須體現以下教學原則.

1.“再創造”原則.數學知識應用與建模課堂教學為學生提供了一個自己學習、自己探索、自己提出問題、自己解決問題的可能和機會.所以數學建模的核心是在學生的積極參與前提下進行的“再創造”活動.

2.“數學化”原則.學生是在將實際問題抽象成純數學問題，也就是將實際問題數學化的過程中學習數學.我們所看重的是幫助學生學會數學的思考，學會用數學的眼光觀察世界.因此整個教學過程印證了著名的荷蘭數學家弗賴登塔的名言：與其說是學習數學，還不如說是學習“數學化”.

3.“數學現實性”原則.教學中我們要充分肯定并強調學生個體的特殊性，對不同能力的學生開展不同層次的數學應用與建?；顒?，盡量為不同的學生提供不同的能展現他們創造力的舞臺.實現每個學生在自己“數學現實”基礎上的數學能力、應用意識與實踐能力的提高，進而獲得“學然后之不足”的感悟，從而更刻苦地去學習數學.

此外，數學建模的教學還應遵循：具體與抽象相結合；歸納與演繹相結合；數與形相結合；理論與實踐相結合；探索與論證相結合的一般教學原則.同時做到目的與手段的辯證統一；間接經驗與直接經驗的有機統一；理論與應用的有機統一；學習與創造的有機統一.

二、數學建模思想應用于中學數

學教學的舉隅

數學建模思想可應用于中學數學教學那些地方呢？根據課標要求和現行教材內容，主要有：不等式的應用，函數的應用，三角函數的應用，幾何的應用等.結合時代發展的特點，教材和習題中涉及現代生活的經濟統計圖表（識別、分析、繪制），動態規劃（生產計劃問題等），網絡規劃（繪制、計算、優化），股票、彩票發行模型，風險決策，市場預測，存貯原理，供求模型，廣告與稅款等等，還有跨學科的生態平衡、環境保護、人口生命等方面的問題，等等.現例舉以下幾種.

1.建立或化歸為方程或不等式模型， 解決實際生產生活的“等量或不等關系”問題

現實世界中廣泛存在著數量之間的相等或不等關系，如，投資決策、人口控制、資源保護、生產規劃、交通運輸、水土流失等問題中涉及的有關數量問題，常歸結為方程或不等式求解.

2.建立或化歸為函數模型，解決實際生產生活的“動態變化”問題

現實生活中普遍存在著最優化問題——最佳投資、最小成本、設計最佳等，常常歸結為函數的最值問題（盈利最大、用料最?。?，通過建立相應的目標函數，確定變量的限制條件，運用函數知識和方法解決.

例如，某商場將進價40元一個的商品按50元一個售出時能賣出500個.已知這種商品每個漲價1元，其銷售量就減少10個，為了賺得最大利潤，售價應定為多少？最大利潤為多少？在教學中引導分析：①利潤的含義；②在研究利潤問題時，常用的一個關系式：利潤=每件商品所獲利潤×銷售件數.數學建模，問題求解：設每個售價為（50+x）元（x≥0且為整數），總利潤為y元，則y=（50+x-40）（500-10x），y=10[-（x-20）2+9000]（0≤x≤50，x 為整數）故當x=20時，y最大，最大值為9000.所以，每個售價為70元時，最大利潤為9000元.這里就是把最大利潤問題通過數學建模轉化成二次函數的最大值問題，再回到實際問題中使問題得已解決.

3.建立或化歸為統計型模型，解決實際生產生活的“信息處理”問題

當今是信息時代，我們廣泛地與數字打交道，要學會如何收集數據和分析數據，深刻理解用樣本估計整體的基本統計思想，掌握描述數據集中趨勢和離散程度的兩類基本統計量，建立或化歸為統計型模型.

總之，在課堂教學中，教師應充分利用教材的優勢，創造性地使用教材，創設合適的問題情境，讓學生投入到解決問題的實踐活動中，自己去探索，經歷數學建模的全過程，領會數學模型的思想和方法，增強數學應用意識，提高學生的創新能力，養成良好的思維品質，使學生學到有用的數學，學到不同的數學.

隨著課程改革的不斷深入，數學教學轉變了傳統的觀念，教材編寫背景結合了生活實際和社會實踐，突出了理論與知識結合，理論與實踐結合，強調了學生對數學知識的應用，呼喚數學應用意識.而中學數學最常用和最有效的教學方法之一是探索法，這一方法與數學建模有很多共同特征.本文擬通過探討數學建模思想應用于中學數學教學的可行性，為中學數學課堂教學改革尋找一條可行之路.

一、數學建模思想應用于中學數

學教學的教學原則

數學知識應用的教學，主要研究的是具有實際背景的例子，多是經過加工的實際問題，但突出的是數學.所要達到的教學目的是加深對所學知識的理解，鞏固所學數學知識和數學方法，解決數學知識“有用”的認識問題.數學建模運用的是數學工具，解決的是來自生產生活中的非數學問題.盡管受知識和能力所限，中學數學建模問題較多的還帶有應用的性質.數學知識與數學建模的教學模式，必須體現以下教學原則.

1.“再創造”原則.數學知識應用與建模課堂教學為學生提供了一個自己學習、自己探索、自己提出問題、自己解決問題的可能和機會.所以數學建模的核心是在學生的積極參與前提下進行的“再創造”活動.

2.“數學化”原則.學生是在將實際問題抽象成純數學問題，也就是將實際問題數學化的過程中學習數學.我們所看重的是幫助學生學會數學的思考，學會用數學的眼光觀察世界.因此整個教學過程印證了著名的荷蘭數學家弗賴登塔的名言：與其說是學習數學，還不如說是學習“數學化”.

3.“數學現實性”原則.教學中我們要充分肯定并強調學生個體的特殊性，對不同能力的學生開展不同層次的數學應用與建模活動，盡量為不同的學生提供不同的能展現他們創造力的舞臺.實現每個學生在自己“數學現實”基礎上的數學能力、應用意識與實踐能力的提高，進而獲得“學然后之不足”的感悟，從而更刻苦地去學習數學.

此外，數學建模的教學還應遵循：具體與抽象相結合；歸納與演繹相結合；數與形相結合；理論與實踐相結合；探索與論證相結合的一般教學原則.同時做到目的與手段的辯證統一；間接經驗與直接經驗的有機統一；理論與應用的有機統一；學習與創造的有機統一.

二、數學建模思想應用于中學數

學教學的舉隅

數學建模思想可應用于中學數學教學那些地方呢？根據課標要求和現行教材內容，主要有：不等式的應用，函數的應用，三角函數的應用，幾何的應用等.結合時代發展的特點，教材和習題中涉及現代生活的經濟統計圖表（識別、分析、繪制），動態規劃（生產計劃問題等），網絡規劃（繪制、計算、優化），股票、彩票發行模型，風險決策，市場預測，存貯原理，供求模型，廣告與稅款等等，還有跨學科的生態平衡、環境保護、人口生命等方面的問題，等等.現例舉以下幾種.

1.建立或化歸為方程或不等式模型， 解決實際生產生活的“等量或不等關系”問題

現實世界中廣泛存在著數量之間的相等或不等關系，如，投資決策、人口控制、資源保護、生產規劃、交通運輸、水土流失等問題中涉及的有關數量問題，常歸結為方程或不等式求解.

2.建立或化歸為函數模型，解決實際生產生活的“動態變化”問題

現實生活中普遍存在著最優化問題——最佳投資、最小成本、設計最佳等，常常歸結為函數的最值問題（盈利最大、用料最?。?，通過建立相應的目標函數，確定變量的限制條件，運用函數知識和方法解決.

例如，某商場將進價40元一個的商品按50元一個售出時能賣出500個.已知這種商品每個漲價1元，其銷售量就減少10個，為了賺得最大利潤，售價應定為多少？最大利潤為多少？在教學中引導分析：①利潤的含義；②在研究利潤問題時，常用的一個關系式：利潤=每件商品所獲利潤×銷售件數.數學建模，問題求解：設每個售價為（50+x）元（x≥0且為整數），總利潤為y元，則y=（50+x-40）（500-10x），y=10[-（x-20）2+9000]（0≤x≤50，x 為整數）故當x=20時，y最大，最大值為9000.所以，每個售價為70元時，最大利潤為9000元.這里就是把最大利潤問題通過數學建模轉化成二次函數的最大值問題，再回到實際問題中使問題得已解決.

3.建立或化歸為統計型模型，解決實際生產生活的“信息處理”問題

當今是信息時代，我們廣泛地與數字打交道，要學會如何收集數據和分析數據，深刻理解用樣本估計整體的基本統計思想，掌握描述數據集中趨勢和離散程度的兩類基本統計量，建立或化歸為統計型模型.

總之，在課堂教學中，教師應充分利用教材的優勢，創造性地使用教材，創設合適的問題情境，讓學生投入到解決問題的實踐活動中，自己去探索，經歷數學建模的全過程，領會數學模型的思想和方法，增強數學應用意識，提高學生的創新能力，養成良好的思維品質，使學生學到有用的數學，學到不同的數學.