重視培養初中生數學整體思想之緣由

汪國丞

摘要：在數學的學習過程中，習得數學知識是結果，依靠數學思想方法關注結果的形成過程，卻能使人們更深刻地認識數學的價值.系統論的整體原理應用于數學的教與學形成數學整體思想，整體思想在數學思想系統中有特殊的地位，與眾多數學思想都有密切的聯系.在初中階段注重培養學生的整體思想，對充分發揮數學教育的整體功能，實現數學創造性教育和提高教學質量都有重要作用.

關鍵詞：整體思想數學教學

米山國藏說：“不管學生從事什么業務工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數學精神、思想方法隨時隨地發生作用，使他們受益終生.”而現代數學教育觀強調，數學教育應發展學生的“才”是指運算能力、推理能力、分析與綜合能力、洞察力、直覺思維能力、獨立分析問題和解決問題的能力等.其中整體思維能力作為控制論、信息論、系統論中整體原理在教學中的反映，與上面各能力有著密切的聯系，數學的整體思想對學生學好數學發揮著重要的作用.整體原理表明：系統整體的功能=系統各組成部分的功能之和+各部分相互聯系產生的功能之和.而我們數學教學是一個多元素、多方位、多功能的教育過程，它要求整體的各方面密切聯系、協同合作.如果只重視各組成部分的功能，而不充分發揮它們相互聯系所產生的功能，必將回到偏重知識細節的教學，且有可能造成人為割裂章節、學科的知識結構的后果，因而不利于學生對知識的全面掌握與深刻理解，在總體上把握不住學習的方向.

一、培養學生的整體思想，能提高初中學生解決數學問題的能力

初中生解決問題時常會出現三種不良的現象：想當然，顧此失彼，無所適從，這些都因為缺乏對問題的了解及對各部分知識之間關系的認識，從而無法解決問題.格式塔學習理論認為：學習即知覺重組或認知重組.學習不是把無意義的事情任意聯在一起，知覺重組或認知重組注重的是要認清事物的內在聯系、結構和性質；頓悟學習可以避免多余的失誤，同時又有助于遷移，知識的遷移只有在學生真正了解了事物整體的本質，才會正確地發生，狹隘的練習或理解無法遷移；真正的學習不會遺忘，對整體的理解會直接進入長時記憶.

根據這些觀點，在解決問題時，個體首先對問題產生整體印象，然后將細節納入整體，細節被認真充分考慮后，又會誘發重新建構整體并使問題得以解決.

例如，在學習方程時，學生總會碰到這樣類型的問題：關于x的方程（m-3）xm2-7+mx=1是一元二次方程，求m的值.這是利用方程的概念來解決的，如果對概念整體把握，就能注意到這個問題中的兩個方面指數和系數，如果學生沒有整體把握概念，就很容易只注意到指數這一個方面，也就會得到錯誤的答案.若將此題改為：已知方程（m-3）xm2-7+mx=1是關于x的方程，求m的值.則在整體考慮的同時，還需借助分類思想.因此，面對數學問題時，整體地分析、整體地思考、整體地把握猜想，都可能使問題得以明了簡化，甚至作為其他思想的基礎.數學的每一部分知識都是系統性很強的整體，整體思想是數學的核心思想之一，是數學發現的源泉，是解決數學問題的鑰匙.

現代教育理論認為，回顧解題是學習的最重要環節，在數學解題過程中，進行了必要的解題活動后，回過頭來對自己的解題活動加以分析研究，稱之為回顧解題，這是對提高學生解題能力最有意義的階段.

還以上面的方程題為例，解答完后，不管正確與否，若能重新觀察分析這個方程的每一項每一個細節，對照方程的定義判斷自己的解答是否完整正確，將有可能發現錯誤、獲得經驗、開放思路，收獲良多.回顧解題的過程實際就是從整體上重新認識解題的全部過程，并作出可能的推廣，從而整體上把握解決問題的方法、策略和思想.缺少回顧解題的過程，就缺少對問題整體上的認識，已解決的問題在學生的認識結構中都只會是一個個孤立的點，不能和認知結構的主體密切相連，從而失去了解題的意義.

二、整體思想符合數學思維的特性，有利于發展學生的個體思維水平

數學是思維的體操，數學思維除具有思維的概括性、間接性外，還具有整體性、抽象性、嚴謹性、相似性和問題性等特點.數學思維的整體性主要指把學生所學的概念、理論等多方面的內容相聯系，放在同一個理論體系中表述、應用.思想由思維產生，培養初中學生的數學整體思想，就是要鍛煉其思維的整體性，符合發展初中生數學思維的要求.因此，通過對整體思想的學習與應用，是完善學生數學思想的一個重要方面.

學生個體的思維水平由數學思維品質來衡量，深刻性是其他思維品質的基礎，學生對問題要有深刻的認識、周密的思考，才能對其做出全面而準確的判斷.整體思想強調的正是要深層次地把握條件和結論的本質聯系，從全局出發進行深刻地分析、周密地思考、發現問題的本質，從而做出科學的判斷.所以數學整體思想的培養有利于發展學生數學思維的深刻性，進而提高個體的思維水平.

例如，如圖1，△ABC的中線CD與AE交于點O，CD與AE將△ABC分為4個部分，如果S△ABC=1，求這4個部分的面積.

圖1分析：顯然要想直接孤立地求出每一部分的面積是很困難的，必須把各個部分聯系起來進行觀察.不難看出整個圖形中有4個面積為12的三角形，即S△ACD、S△BCD、S△ACE和S△ABE，這時解決問題的關鍵就在于建立四邊形OEBD與△AOD和△EOC的聯系了.

解：連接OB.

根據等底等高的三角形面積相等，有S△ACD=S△BOD及S△COE= S△BOE.

∵S△ACD=S△BCD=S△ACE=S△ABE=12S△ABC=12，（這是整體與局部之間的關系）

∴S△ACD-S△AOC=S△ACE-S△AOC，即S△AOD= S△COE.

因此，S△AOD=S△BOD=S△COE=S△BOE.（這些都是局部與局部之間的關系）

設S△AOD=x，則S△BOD=S△BOE=x.

∴3x=12，解得x=16.

∴S△AOD=S△COE=16，

S四OEBD=16×2=13，

S△AOC=1-16×2-13=13.

在這個問題的解決過程中，通過對圖形的仔細觀察，首先發現圖形的局部與整體之間的等量關系，然后探索幾個局部圖形之間量的關系.求得解后，再推廣到整個圖形的各個部分，完成解答.這些都是在對圖形有了深刻認識的基礎上進行的，如果看不到圖形的結構、局部的關聯，就不會想到將之分解，這充分體現了整體思想的指導作用.同時也表明，為了找到整體與局部的關系，往往需要發現局部與局部之間的關系.學生思維的深刻性在這一過程中就不知不覺地向前發展了.

圖2此例可做如下變式，以促進學生的進一步思考，促進思維的進一步發展.

如圖2，CD是△ABC的中線，E、F是邊BC的三等分點，AE與AF分別交CD于M、N兩點，它們將△ABC分為6個部分，如果S△ABC=1，求這6個部分的面積.

三、整體思想的培養，有利于提高學生的創造力

思維分三類：邏輯思維、形象思維和直覺思維.直覺思維是前兩種思維結合到一定程度后，產生的質的飛躍.直覺思維也要求對問題要有整體的認識，思維的結果對某些細節可能模糊不清，但整體畫面卻一覽無余.羅增儒先生認為，在前面三種思維的基礎上可以形成更高級的數學思維——數學創造性思維.無論是直覺思維還是創造性思維都可體現于數學靈感.面對困難問題思考時，常常可以跳過一些中間步驟，而直接關注其本質，這樣更容易獲得解決問題的策略辦法.如果要弄清其每一步驟，就可能寸步難行或走彎路，也就是說整體的予以考慮就可能更快而準確地找到處理問題的途徑.要培養創造力就必須培養學生的整體思想.

例如，足球賽所用的足球由邊長相等的五邊形、六邊形縫合而成，則它有幾個五邊形和幾個六邊形？將其看作一個接近于球的多面體，利用歐拉公式：面數（V）+頂點數（F）-棱數（E）=2.設五邊形、六邊形分別有x個和y個，則V=x+y；因每兩個面相交有一條棱，則E=12（5x+6y）；因每三條棱交于一點，每條棱有兩個頂點得F=12（5x+6y）×23；代入公式計算得x=12.因為每個六邊形有三邊和五邊形的邊重合，因此重合的邊數為12×6y=3y=5x，解得y=20.在這樣一個問題中，足球面是一個整體，是一個由五邊形、六邊形組成的多面體的表面.頂點數與棱數的表示，先從細節考慮，再擴展到整體，最后利用公式計算，而5x與3y都表示五邊形與六邊形相交的棱總數.在這樣一個問題中，整體思想得到了充分的體現，學生必會學有所悟，創造能力得以發展.

四、整體思想的培養，有利于發展學生的審美認識

數學美蘊涵于各種數學思想方法之中，整體思想也不例外.將復雜的對象看作一個整體可使問題形式得以化簡，體現了簡單美.問題的各部分之間相互聯系、和諧一致體現了統一美.部分與整體之間互相協調或互相轉化等，體現了協調美.如此，學生在了解思想方法的同時獲得審美修養，更加感受到學習數學的快樂.

例如，探索式子1+1+1+1+…的求值過程，令1+1+1+1+…=x，則有方程x=1+x，解得x=3+52，整體換元法使解題過程精美簡捷.

正如數學家龐加萊所說：數學的優美感不過就是問題的解答適合我們心靈的需要而產生的一種滿足.數學整體思想的美感因素和美育價值，充分體現了數學發現的魅力和數學創造的精神，它們在問題解決過程中，時時刻刻顯露出令人叫絕的優美特征，啟迪和激勵著學習者的學習興趣和創造欲望.加強數學整體思想的教學，適時點撥和有意引導使學生在“數學美”的熏陶下得到美的啟迪，有利于認識數學的科學意義和文化內涵.

∴S△AOD=S△COE=16，

S四OEBD=16×2=13，

S△AOC=1-16×2-13=13.

在這個問題的解決過程中，通過對圖形的仔細觀察，首先發現圖形的局部與整體之間的等量關系，然后探索幾個局部圖形之間量的關系.求得解后，再推廣到整個圖形的各個部分，完成解答.這些都是在對圖形有了深刻認識的基礎上進行的，如果看不到圖形的結構、局部的關聯，就不會想到將之分解，這充分體現了整體思想的指導作用.同時也表明，為了找到整體與局部的關系，往往需要發現局部與局部之間的關系.學生思維的深刻性在這一過程中就不知不覺地向前發展了.

圖2此例可做如下變式，以促進學生的進一步思考，促進思維的進一步發展.

如圖2，CD是△ABC的中線，E、F是邊BC的三等分點，AE與AF分別交CD于M、N兩點，它們將△ABC分為6個部分，如果S△ABC=1，求這6個部分的面積.

三、整體思想的培養，有利于提高學生的創造力

思維分三類：邏輯思維、形象思維和直覺思維.直覺思維是前兩種思維結合到一定程度后，產生的質的飛躍.直覺思維也要求對問題要有整體的認識，思維的結果對某些細節可能模糊不清，但整體畫面卻一覽無余.羅增儒先生認為，在前面三種思維的基礎上可以形成更高級的數學思維——數學創造性思維.無論是直覺思維還是創造性思維都可體現于數學靈感.面對困難問題思考時，常常可以跳過一些中間步驟，而直接關注其本質，這樣更容易獲得解決問題的策略辦法.如果要弄清其每一步驟，就可能寸步難行或走彎路，也就是說整體的予以考慮就可能更快而準確地找到處理問題的途徑.要培養創造力就必須培養學生的整體思想.

例如，足球賽所用的足球由邊長相等的五邊形、六邊形縫合而成，則它有幾個五邊形和幾個六邊形？將其看作一個接近于球的多面體，利用歐拉公式：面數（V）+頂點數（F）-棱數（E）=2.設五邊形、六邊形分別有x個和y個，則V=x+y；因每兩個面相交有一條棱，則E=12（5x+6y）；因每三條棱交于一點，每條棱有兩個頂點得F=12（5x+6y）×23；代入公式計算得x=12.因為每個六邊形有三邊和五邊形的邊重合，因此重合的邊數為12×6y=3y=5x，解得y=20.在這樣一個問題中，足球面是一個整體，是一個由五邊形、六邊形組成的多面體的表面.頂點數與棱數的表示，先從細節考慮，再擴展到整體，最后利用公式計算，而5x與3y都表示五邊形與六邊形相交的棱總數.在這樣一個問題中，整體思想得到了充分的體現，學生必會學有所悟，創造能力得以發展.

四、整體思想的培養，有利于發展學生的審美認識

數學美蘊涵于各種數學思想方法之中，整體思想也不例外.將復雜的對象看作一個整體可使問題形式得以化簡，體現了簡單美.問題的各部分之間相互聯系、和諧一致體現了統一美.部分與整體之間互相協調或互相轉化等，體現了協調美.如此，學生在了解思想方法的同時獲得審美修養，更加感受到學習數學的快樂.

例如，探索式子1+1+1+1+…的求值過程，令1+1+1+1+…=x，則有方程x=1+x，解得x=3+52，整體換元法使解題過程精美簡捷.

正如數學家龐加萊所說：數學的優美感不過就是問題的解答適合我們心靈的需要而產生的一種滿足.數學整體思想的美感因素和美育價值，充分體現了數學發現的魅力和數學創造的精神，它們在問題解決過程中，時時刻刻顯露出令人叫絕的優美特征，啟迪和激勵著學習者的學習興趣和創造欲望.加強數學整體思想的教學，適時點撥和有意引導使學生在“數學美”的熏陶下得到美的啟迪，有利于認識數學的科學意義和文化內涵.

∴S△AOD=S△COE=16，

S四OEBD=16×2=13，

S△AOC=1-16×2-13=13.

在這個問題的解決過程中，通過對圖形的仔細觀察，首先發現圖形的局部與整體之間的等量關系，然后探索幾個局部圖形之間量的關系.求得解后，再推廣到整個圖形的各個部分，完成解答.這些都是在對圖形有了深刻認識的基礎上進行的，如果看不到圖形的結構、局部的關聯，就不會想到將之分解，這充分體現了整體思想的指導作用.同時也表明，為了找到整體與局部的關系，往往需要發現局部與局部之間的關系.學生思維的深刻性在這一過程中就不知不覺地向前發展了.

圖2此例可做如下變式，以促進學生的進一步思考，促進思維的進一步發展.

如圖2，CD是△ABC的中線，E、F是邊BC的三等分點，AE與AF分別交CD于M、N兩點，它們將△ABC分為6個部分，如果S△ABC=1，求這6個部分的面積.

三、整體思想的培養，有利于提高學生的創造力

思維分三類：邏輯思維、形象思維和直覺思維.直覺思維是前兩種思維結合到一定程度后，產生的質的飛躍.直覺思維也要求對問題要有整體的認識，思維的結果對某些細節可能模糊不清，但整體畫面卻一覽無余.羅增儒先生認為，在前面三種思維的基礎上可以形成更高級的數學思維——數學創造性思維.無論是直覺思維還是創造性思維都可體現于數學靈感.面對困難問題思考時，常常可以跳過一些中間步驟，而直接關注其本質，這樣更容易獲得解決問題的策略辦法.如果要弄清其每一步驟，就可能寸步難行或走彎路，也就是說整體的予以考慮就可能更快而準確地找到處理問題的途徑.要培養創造力就必須培養學生的整體思想.

例如，足球賽所用的足球由邊長相等的五邊形、六邊形縫合而成，則它有幾個五邊形和幾個六邊形？將其看作一個接近于球的多面體，利用歐拉公式：面數（V）+頂點數（F）-棱數（E）=2.設五邊形、六邊形分別有x個和y個，則V=x+y；因每兩個面相交有一條棱，則E=12（5x+6y）；因每三條棱交于一點，每條棱有兩個頂點得F=12（5x+6y）×23；代入公式計算得x=12.因為每個六邊形有三邊和五邊形的邊重合，因此重合的邊數為12×6y=3y=5x，解得y=20.在這樣一個問題中，足球面是一個整體，是一個由五邊形、六邊形組成的多面體的表面.頂點數與棱數的表示，先從細節考慮，再擴展到整體，最后利用公式計算，而5x與3y都表示五邊形與六邊形相交的棱總數.在這樣一個問題中，整體思想得到了充分的體現，學生必會學有所悟，創造能力得以發展.

四、整體思想的培養，有利于發展學生的審美認識

數學美蘊涵于各種數學思想方法之中，整體思想也不例外.將復雜的對象看作一個整體可使問題形式得以化簡，體現了簡單美.問題的各部分之間相互聯系、和諧一致體現了統一美.部分與整體之間互相協調或互相轉化等，體現了協調美.如此，學生在了解思想方法的同時獲得審美修養，更加感受到學習數學的快樂.

例如，探索式子1+1+1+1+…的求值過程，令1+1+1+1+…=x，則有方程x=1+x，解得x=3+52，整體換元法使解題過程精美簡捷.

正如數學家龐加萊所說：數學的優美感不過就是問題的解答適合我們心靈的需要而產生的一種滿足.數學整體思想的美感因素和美育價值，充分體現了數學發現的魅力和數學創造的精神，它們在問題解決過程中，時時刻刻顯露出令人叫絕的優美特征，啟迪和激勵著學習者的學習興趣和創造欲望.加強數學整體思想的教學，適時點撥和有意引導使學生在“數學美”的熏陶下得到美的啟迪，有利于認識數學的科學意義和文化內涵.