一元二次方程錯(cuò)例探究

鄒海軍

一元二次方程在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用非常廣泛，牽涉的知識(shí)點(diǎn)較多，也是各地中考考題中重點(diǎn)考查的一個(gè)知識(shí)點(diǎn).然而在解題過程中，學(xué)生常會(huì)因?yàn)楦拍畈磺濉⒖紤]不周而出現(xiàn)忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為0、對(duì)未知數(shù)及其系數(shù)的取值范圍考慮不周、忽視一元二次方程根的判別式、忽視實(shí)際問題中檢驗(yàn)方程解的合理性等問題.因此，筆者就一元二次方程中常見的錯(cuò)誤解法進(jìn)行分析，以求提高學(xué)生的解題能力.

一、忽視二次項(xiàng)系數(shù)不能為0

例1已知：關(guān)于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有實(shí)根，求k的取值范圍.

錯(cuò)解：∵方程有實(shí)根，

∴△=b2-4ac≥0，

即（-2）2-4k≥0，解得k≤1.

分析：對(duì)于一元二次方程來講，學(xué)生化成一般式ax2+bx+c=0后，忽視了“二次項(xiàng)系數(shù)不為0”的條件，即a≠0.如果忽視了一元二次方程中二次項(xiàng)系數(shù)不為0的這一條件，那么當(dāng)a=0時(shí)，此時(shí)方程也就成了一個(gè)一元一次方程了.而本題已點(diǎn)明是一個(gè)一元二次方程，所以本題的正解應(yīng)為k≤1且k≠0.

二、對(duì)未知數(shù)及其系數(shù)的取值范圍考慮不周

例2關(guān)于x的方程mx2-3x+2=0有實(shí)數(shù)根，求m的值.

錯(cuò)解：∵△=b2-4ac>0，

∴（-3）2-4m×2≥0，解得m≤98.

∵二次項(xiàng)系數(shù)m≠0，

∴m≤98且m≠0.

分析：此題中，學(xué)生考慮到了一元二次方程中二次項(xiàng)系數(shù)不為0的這一條件，但此題并沒有明確指明是二次方程.如果題目改成：“關(guān)于x的二次方程mx2-3x+2=0有實(shí)數(shù)根，求m的值”，那么學(xué)生的上述解題過程完全正確.因此在本題中，學(xué)生默認(rèn)了它是二次方程，卻忽視了也有一次方程的可能，即當(dāng)m=0時(shí)，原方程化為-3x+2=0，有實(shí)數(shù)根x=23.因此，本題的正解應(yīng)為m≤98即可.

三、忽視一元二次方程根的判別式

例3關(guān)于x的方程x2-（m+3）x+2m+3=0的兩實(shí)數(shù)根的平方和等于11，求m的值.

錯(cuò)解：設(shè)方程的兩根分別為x1和x2.

根據(jù)題意得x12+x22=11.（1）

∵x1+x2=-ba，

∴x1+x2=m+3.（2）

∵x1·x2=-ca，

∴x1·x2=-（2m+3）.（3）

根據(jù)（1）（2）（3）得（m+3）2-2（2m+3）=11，解得m=2或m=-4.

分析：此方程雖有二項(xiàng)系數(shù)1≠0，但由于題目中已明確有實(shí)數(shù)根，那么必須符合一元二次方程有實(shí)數(shù)根的先決條件△≥0.當(dāng)m=2時(shí)，△= （m+3）2-4（2m+3） =-3<0.方程沒有實(shí)數(shù)根；而當(dāng)m=-4時(shí)，△=21>0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.因此在本題中，m只能等于-4.

四、忽視檢驗(yàn)方程解的合理性

例4李奶奶想利用家中原本已有圍墻（長(zhǎng)為25m）的其中一段，再砌三面墻，圍成一個(gè)面積為300m2的矩形花園.目前李奶奶已備足可以徹50m長(zhǎng)的圍墻材料，請(qǐng)您為李奶奶設(shè)計(jì)一下這個(gè)矩形花園的長(zhǎng)和寬吧.

錯(cuò)解：假設(shè)截取原本已有圍墻的長(zhǎng)度為x.矩形花園的另一條長(zhǎng)度應(yīng)為（50-x）÷2.

根據(jù)題意得x（50-x2）=300，解得x1=30，x2=20.

當(dāng)x=30時(shí)，另一邊長(zhǎng)為10m；

當(dāng)x=20時(shí)，另一邊長(zhǎng)為15m.

答：李奶奶可以在自家已建圍墻上截取30m長(zhǎng)，圍成長(zhǎng)為30m、寬為10m的矩形花園；或截取20m，圍成長(zhǎng)為20m、寬為15m的矩形花園.

分析：很多學(xué)生做題做到這一步后就算完成了，他們關(guān)注的只是將應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為一元二次方程，并求出方程的解，卻忽視了方程解是否符合題意或是否存在實(shí)際意義.本題中，長(zhǎng)為30m、寬為10m的矩形花園，需要在李奶奶家已有的圍墻上截取長(zhǎng)度為30m，顯然與題目不符，應(yīng)舍去.

上述一元二次方程題型是筆者在多年教學(xué)實(shí)踐中總結(jié)出來的學(xué)生較易犯錯(cuò)的幾個(gè)案例.為了讓學(xué)生能很好地掌握和應(yīng)用一元二次方程這部分知識(shí)，教師應(yīng)該幫助學(xué)生以錯(cuò)為鑒，才能減少解題時(shí)的失誤，從而提高數(shù)學(xué)解題能力.

一元二次方程在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用非常廣泛，牽涉的知識(shí)點(diǎn)較多，也是各地中考考題中重點(diǎn)考查的一個(gè)知識(shí)點(diǎn).然而在解題過程中，學(xué)生常會(huì)因?yàn)楦拍畈磺濉⒖紤]不周而出現(xiàn)忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為0、對(duì)未知數(shù)及其系數(shù)的取值范圍考慮不周、忽視一元二次方程根的判別式、忽視實(shí)際問題中檢驗(yàn)方程解的合理性等問題.因此，筆者就一元二次方程中常見的錯(cuò)誤解法進(jìn)行分析，以求提高學(xué)生的解題能力.

一、忽視二次項(xiàng)系數(shù)不能為0

例1已知：關(guān)于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有實(shí)根，求k的取值范圍.

錯(cuò)解：∵方程有實(shí)根，

∴△=b2-4ac≥0，

即（-2）2-4k≥0，解得k≤1.

分析：對(duì)于一元二次方程來講，學(xué)生化成一般式ax2+bx+c=0后，忽視了“二次項(xiàng)系數(shù)不為0”的條件，即a≠0.如果忽視了一元二次方程中二次項(xiàng)系數(shù)不為0的這一條件，那么當(dāng)a=0時(shí)，此時(shí)方程也就成了一個(gè)一元一次方程了.而本題已點(diǎn)明是一個(gè)一元二次方程，所以本題的正解應(yīng)為k≤1且k≠0.

二、對(duì)未知數(shù)及其系數(shù)的取值范圍考慮不周

例2關(guān)于x的方程mx2-3x+2=0有實(shí)數(shù)根，求m的值.

錯(cuò)解：∵△=b2-4ac>0，

∴（-3）2-4m×2≥0，解得m≤98.

∵二次項(xiàng)系數(shù)m≠0，

∴m≤98且m≠0.

分析：此題中，學(xué)生考慮到了一元二次方程中二次項(xiàng)系數(shù)不為0的這一條件，但此題并沒有明確指明是二次方程.如果題目改成：“關(guān)于x的二次方程mx2-3x+2=0有實(shí)數(shù)根，求m的值”，那么學(xué)生的上述解題過程完全正確.因此在本題中，學(xué)生默認(rèn)了它是二次方程，卻忽視了也有一次方程的可能，即當(dāng)m=0時(shí)，原方程化為-3x+2=0，有實(shí)數(shù)根x=23.因此，本題的正解應(yīng)為m≤98即可.

三、忽視一元二次方程根的判別式

例3關(guān)于x的方程x2-（m+3）x+2m+3=0的兩實(shí)數(shù)根的平方和等于11，求m的值.

錯(cuò)解：設(shè)方程的兩根分別為x1和x2.

根據(jù)題意得x12+x22=11.（1）

∵x1+x2=-ba，

∴x1+x2=m+3.（2）

∵x1·x2=-ca，

∴x1·x2=-（2m+3）.（3）

根據(jù)（1）（2）（3）得（m+3）2-2（2m+3）=11，解得m=2或m=-4.

分析：此方程雖有二項(xiàng)系數(shù)1≠0，但由于題目中已明確有實(shí)數(shù)根，那么必須符合一元二次方程有實(shí)數(shù)根的先決條件△≥0.當(dāng)m=2時(shí)，△= （m+3）2-4（2m+3） =-3<0.方程沒有實(shí)數(shù)根；而當(dāng)m=-4時(shí)，△=21>0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.因此在本題中，m只能等于-4.

四、忽視檢驗(yàn)方程解的合理性

例4李奶奶想利用家中原本已有圍墻（長(zhǎng)為25m）的其中一段，再砌三面墻，圍成一個(gè)面積為300m2的矩形花園.目前李奶奶已備足可以徹50m長(zhǎng)的圍墻材料，請(qǐng)您為李奶奶設(shè)計(jì)一下這個(gè)矩形花園的長(zhǎng)和寬吧.

錯(cuò)解：假設(shè)截取原本已有圍墻的長(zhǎng)度為x.矩形花園的另一條長(zhǎng)度應(yīng)為（50-x）÷2.

根據(jù)題意得x（50-x2）=300，解得x1=30，x2=20.

當(dāng)x=30時(shí)，另一邊長(zhǎng)為10m；

當(dāng)x=20時(shí)，另一邊長(zhǎng)為15m.

答：李奶奶可以在自家已建圍墻上截取30m長(zhǎng)，圍成長(zhǎng)為30m、寬為10m的矩形花園；或截取20m，圍成長(zhǎng)為20m、寬為15m的矩形花園.

分析：很多學(xué)生做題做到這一步后就算完成了，他們關(guān)注的只是將應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為一元二次方程，并求出方程的解，卻忽視了方程解是否符合題意或是否存在實(shí)際意義.本題中，長(zhǎng)為30m、寬為10m的矩形花園，需要在李奶奶家已有的圍墻上截取長(zhǎng)度為30m，顯然與題目不符，應(yīng)舍去.

上述一元二次方程題型是筆者在多年教學(xué)實(shí)踐中總結(jié)出來的學(xué)生較易犯錯(cuò)的幾個(gè)案例.為了讓學(xué)生能很好地掌握和應(yīng)用一元二次方程這部分知識(shí)，教師應(yīng)該幫助學(xué)生以錯(cuò)為鑒，才能減少解題時(shí)的失誤，從而提高數(shù)學(xué)解題能力.

一元二次方程在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用非常廣泛，牽涉的知識(shí)點(diǎn)較多，也是各地中考考題中重點(diǎn)考查的一個(gè)知識(shí)點(diǎn).然而在解題過程中，學(xué)生常會(huì)因?yàn)楦拍畈磺濉⒖紤]不周而出現(xiàn)忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為0、對(duì)未知數(shù)及其系數(shù)的取值范圍考慮不周、忽視一元二次方程根的判別式、忽視實(shí)際問題中檢驗(yàn)方程解的合理性等問題.因此，筆者就一元二次方程中常見的錯(cuò)誤解法進(jìn)行分析，以求提高學(xué)生的解題能力.

一、忽視二次項(xiàng)系數(shù)不能為0

例1已知：關(guān)于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有實(shí)根，求k的取值范圍.

錯(cuò)解：∵方程有實(shí)根，

∴△=b2-4ac≥0，

即（-2）2-4k≥0，解得k≤1.

分析：對(duì)于一元二次方程來講，學(xué)生化成一般式ax2+bx+c=0后，忽視了“二次項(xiàng)系數(shù)不為0”的條件，即a≠0.如果忽視了一元二次方程中二次項(xiàng)系數(shù)不為0的這一條件，那么當(dāng)a=0時(shí)，此時(shí)方程也就成了一個(gè)一元一次方程了.而本題已點(diǎn)明是一個(gè)一元二次方程，所以本題的正解應(yīng)為k≤1且k≠0.

二、對(duì)未知數(shù)及其系數(shù)的取值范圍考慮不周

例2關(guān)于x的方程mx2-3x+2=0有實(shí)數(shù)根，求m的值.

錯(cuò)解：∵△=b2-4ac>0，

∴（-3）2-4m×2≥0，解得m≤98.

∵二次項(xiàng)系數(shù)m≠0，

∴m≤98且m≠0.

分析：此題中，學(xué)生考慮到了一元二次方程中二次項(xiàng)系數(shù)不為0的這一條件，但此題并沒有明確指明是二次方程.如果題目改成：“關(guān)于x的二次方程mx2-3x+2=0有實(shí)數(shù)根，求m的值”，那么學(xué)生的上述解題過程完全正確.因此在本題中，學(xué)生默認(rèn)了它是二次方程，卻忽視了也有一次方程的可能，即當(dāng)m=0時(shí)，原方程化為-3x+2=0，有實(shí)數(shù)根x=23.因此，本題的正解應(yīng)為m≤98即可.

三、忽視一元二次方程根的判別式

例3關(guān)于x的方程x2-（m+3）x+2m+3=0的兩實(shí)數(shù)根的平方和等于11，求m的值.

錯(cuò)解：設(shè)方程的兩根分別為x1和x2.

根據(jù)題意得x12+x22=11.（1）

∵x1+x2=-ba，

∴x1+x2=m+3.（2）

∵x1·x2=-ca，

∴x1·x2=-（2m+3）.（3）

根據(jù)（1）（2）（3）得（m+3）2-2（2m+3）=11，解得m=2或m=-4.

分析：此方程雖有二項(xiàng)系數(shù)1≠0，但由于題目中已明確有實(shí)數(shù)根，那么必須符合一元二次方程有實(shí)數(shù)根的先決條件△≥0.當(dāng)m=2時(shí)，△= （m+3）2-4（2m+3） =-3<0.方程沒有實(shí)數(shù)根；而當(dāng)m=-4時(shí)，△=21>0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.因此在本題中，m只能等于-4.

四、忽視檢驗(yàn)方程解的合理性

例4李奶奶想利用家中原本已有圍墻（長(zhǎng)為25m）的其中一段，再砌三面墻，圍成一個(gè)面積為300m2的矩形花園.目前李奶奶已備足可以徹50m長(zhǎng)的圍墻材料，請(qǐng)您為李奶奶設(shè)計(jì)一下這個(gè)矩形花園的長(zhǎng)和寬吧.

錯(cuò)解：假設(shè)截取原本已有圍墻的長(zhǎng)度為x.矩形花園的另一條長(zhǎng)度應(yīng)為（50-x）÷2.

根據(jù)題意得x（50-x2）=300，解得x1=30，x2=20.

當(dāng)x=30時(shí)，另一邊長(zhǎng)為10m；

當(dāng)x=20時(shí)，另一邊長(zhǎng)為15m.

答：李奶奶可以在自家已建圍墻上截取30m長(zhǎng)，圍成長(zhǎng)為30m、寬為10m的矩形花園；或截取20m，圍成長(zhǎng)為20m、寬為15m的矩形花園.

分析：很多學(xué)生做題做到這一步后就算完成了，他們關(guān)注的只是將應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為一元二次方程，并求出方程的解，卻忽視了方程解是否符合題意或是否存在實(shí)際意義.本題中，長(zhǎng)為30m、寬為10m的矩形花園，需要在李奶奶家已有的圍墻上截取長(zhǎng)度為30m，顯然與題目不符，應(yīng)舍去.

上述一元二次方程題型是筆者在多年教學(xué)實(shí)踐中總結(jié)出來的學(xué)生較易犯錯(cuò)的幾個(gè)案例.為了讓學(xué)生能很好地掌握和應(yīng)用一元二次方程這部分知識(shí)，教師應(yīng)該幫助學(xué)生以錯(cuò)為鑒，才能減少解題時(shí)的失誤，從而提高數(shù)學(xué)解題能力.