平淡并非無奇 探索亦有收獲——一道向量試題引發的思考

☉陜西省延安中學 賀光香

平淡并非無奇 探索亦有收獲
——一道向量試題引發的思考

☉陜西省延安中學 賀光香

向量是新課程高中數學中具備工具化作用的章節，其自身較為靈活的特點以及和解析幾何、三角函數等相關知識的結合，使其成為高考的重要考查點.向量一直以言簡意賅的表述展示于選擇或填空之中，這類向量問題往往是高考數學的難點所在.本文以一個向量試題為出發點，從三個方面來闡述向量教學需要關注的三個基本點，讓向量問題的解決變得深入學生之心，進而改變向量在學生心目中的神秘感.

一、問題

師：同學們，本題最核心的條件是哪一個？

生：應該是（a-c）·（b-2c）=0.

師：請大家分析一下，本題的條件暗示了什么？

師：好，那我們圍繞向量a，b，c建構圖形進行嘗試，請同學們試一試.

師：利用圖形，我們關注了向量垂直條件的轉化，利用條件給出的向量夾角，并結合有效信息建構合理的圖形，將問題轉化為圓外定點到圓上動點的距離問題，這種利用圖形化解決向量的方法是常用的.大家想一想，有沒有其他的方法呢？

生：老師，我是用坐標做的！

師：考慮到向量a，b滿足夾角60°，且模長均為定值，因此采用坐標化的代數運算來解決，這樣的方法技巧性低.請大家動手試一試.

師：同學們解答的很好，利用軌跡思想和三角換元，將模長問題轉化為一種正交分解下的計算，簡單而有效.因此，大家要學會代數的方式解決向量問題.

生：老師，能不能用自由向量的代數方式呢？

師：好，多思路的開拓，利用自由向量的代數解法，有利于培養學生嚴謹的思路、拓展其視野，我們學習數學不能只會用“畫圖”的方法解決向量，后兩種代數的方法也有效地解決了向量中稍難的問題，相比來說，坐標化的代數方法更適合大家在應試的時候使用.

二、認識

1.向量知識系統化

2.多元途徑本質化

本題求解的多元途徑，是從向量的兩種方式下手，領略到了不同解決策略的魅力.問題求解中，若圖形建構無法實施時（本題解法1），代數方法（解法2、3）向大家展示了運算力量的魅力，另一方面，我們也要正確看待本文中圖形建構的途徑，它展示了數形結合思想的魅力，從中感受到以形解數的優勢，是對一定知識運用到能力層面的創新體系，它給了我們一盞明燈，題目本質躍然紙上.

3.學生探究主動化

作為復習教學典型性問題，教師在教學階段必須引導學生進行有效的思維培養和探究活動.數學解題教學需要培養的是學生的問題解決能力和創新能力，而主動化的探究策略是解題教學較為適合的教學策略，其通過教師的正確引導，使學生始終思考在正確的方向和途徑上，既高效又簡潔.

本題的向量解題教學看似平談無奇，但在解決問題的背后體現出學生自主的思想，在課堂解題教學中不惜時、不惜力，將向量解決的核心方法一一引導學生去發現、探索和小結，利用一題多解、學生參與、積極探討的多樣化手段來加強解題教學，減弱解題教學的枯燥性.另一方面，用一題多變結合學生的探究、參與，激發其認知沖突，在這樣的問題上要把學生卷入其中，給予時間和機會，學生在思維的變化上才能有實質性的提升.

三、結語

優質的向量解題教學，必需對學生進行兩種思維策略的培養，既本文所表述的代數策略和圖形策略.平時教學，不要用大量的重復的訓練、大規模的解題技巧訓練去占據教學的時間，而要以精辟的問題為引領、以多變的解法為指導、以學生積極參與為手段、以知識系統化為主要目標進行，否則學生遇到試卷中的難題往往是毫無機會.以省統測的一個問題，筆者管窺了向量解題教學的三點思考，立足于思想方法（代數角度和圖形角度），對自身的教學做了一些思考，不足之處請讀者補充.

1.趙思林.關于高考數學創新型試題的立意［J］.中學數學教學參考（上），2009（1-2）.

2.章建躍.概念教學必須體現概念的形成過程［J］.數學通報，2010（1）.

3.沈恒.千里之行，始于足下［J］.數學教學，2011（2）.