例析初中數(shù)學(xué)“幾何直觀”教學(xué)的類型

例析初中數(shù)學(xué)“幾何直觀”教學(xué)的類型

☉四川省南充市嘉陵區(qū)教育科學(xué)研究室 蒲大勇

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果，幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué).”由此我們可以看出：“幾何直觀是利用實(shí)物或圖形洞察問題本質(zhì)的一種方式，既有形象思維的特點(diǎn)，又有抽象思維的特點(diǎn).”心理學(xué)研究表明，初中階段學(xué)生的思維發(fā)展處于以具體形象思維為主向以抽象邏輯思維為主的過渡時(shí)期.所以，在初中階段，我們要繼續(xù)利用實(shí)物或圖形“具體形象”的特征，探究其本身各種量之間的關(guān)系，借助其“具體形象”的特征來理解與圖形之中蘊(yùn)含的某種數(shù)量關(guān)系相當(dāng)?shù)摹⑦\(yùn)用“抽象符號(hào)”表示的、圖形之外的數(shù)量之間的運(yùn)算關(guān)系，進(jìn)一步啟發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的抽象邏輯思維能力.那么，初中數(shù)學(xué)“幾何直觀”教學(xué)有哪些類型？我們認(rèn)為，初中數(shù)學(xué)“幾何直觀”教學(xué)按照直觀的目的可劃分為直觀驗(yàn)證型、直觀理解型、直觀探索型、直觀建構(gòu)型、直觀拓展型和直觀簡(jiǎn)約型六種類型.

一、直觀驗(yàn)證型

直觀驗(yàn)證型是通過動(dòng)手操作、實(shí)驗(yàn)檢測(cè)等方式驗(yàn)證已得結(jié)論或猜想的正確性，從而在直觀操作的基礎(chǔ)上獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的理解的一種數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng).這種類型的目的是驗(yàn)證已知結(jié)論的正確性和合理性，一般步驟為：已知結(jié)論—構(gòu)造圖形—觀察分析—得出結(jié)果.直觀驗(yàn)證型的特點(diǎn)是：直觀，思維起點(diǎn)低，操作簡(jiǎn)單.

案例1“完全平方公式”教學(xué)片斷

師：通過上面的探究活動(dòng)，我們知道完全平方公式為（a±b）2=a2±2ab+b2，你能根據(jù)公式形式，自己構(gòu)造圖形表示完全平方公式嗎？

（小組合作探究，5分鐘后）

生1（邊展示邊說）：構(gòu)造如圖1所示的正方形，這個(gè)正方形的面積為（a+b）2；而圖1中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的面積分別為ab，b2，a2，ab，它們的面積和為a2+2ab+b2.這里用兩種方式表示了同一個(gè)圖形的面積，所以它們相等，即（a+b）2=a2+2ab+b2.

圖1

師：很好，生1通過構(gòu)造幾何圖形面積驗(yàn)證了完全平方和公式的正確性.誰來說一說完全平方差公式？

生2：構(gòu)造如圖2所示的正方形，這個(gè)正方形的面積為a2；圖2中Ⅲ的面積為（a-b）2；圖2中Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面積和為2ab-b2，用圖2中Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面積表示Ⅲ的面積為a2-2ab+b2；這里也是用兩種方式表示了同一個(gè)圖形的面積，所以它們相等，即（a-b）2=a2-2ab+b2.

圖2

評(píng)析：這個(gè)教學(xué)片斷驗(yàn)證完全平方公式的正確性遵循“已知結(jié)論—構(gòu)造圖形—分析計(jì)算—得出結(jié)果”的流程，首先，學(xué)生按照條件自己構(gòu)造圖形，讓“數(shù)”與“形”有機(jī)融合；然后，以兩種不同方式對(duì)同一圖形面積進(jìn)行計(jì)算；最后，由計(jì)算結(jié)果相等得到公式的正確性.在這個(gè)過程中學(xué)生經(jīng)歷動(dòng)手操作、分析計(jì)算，直觀驗(yàn)證了完全平方公式的正確性，從“形”上增強(qiáng)了對(duì)公式的理解，滲透了“數(shù)形結(jié)合”的思想方法.

二、直觀理解型

直觀理解型是借助實(shí)物或圖形直觀，以學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、定理等數(shù)學(xué)知識(shí)為目的的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng).這類教學(xué)借助對(duì)實(shí)物或圖形進(jìn)行直觀的操作，深刻理解數(shù)學(xué)概念、原理等，它主要通過學(xué)生對(duì)實(shí)物或圖形的“數(shù)學(xué)化”操作來實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)概念、原理、事實(shí)的接受和理解.一般步驟為：產(chǎn)生疑惑—“數(shù)學(xué)化”操作—內(nèi)化理解.直觀理解型的特點(diǎn)是：抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)形象化，在形象感知中理解.

案例2“無理數(shù)”教學(xué)片斷

師：任何一個(gè)有理數(shù)都可以在數(shù)軸上找到一個(gè)點(diǎn)來表示，類似地，任何一個(gè)無理數(shù)也可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示.

（學(xué)生對(duì)“任何一個(gè)無理數(shù)也可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示”的理解比較困難，產(chǎn)生了疑惑）

師：以無理數(shù)π為例.請(qǐng)看多媒體演示，如圖3，用直徑為1個(gè)單位長度的圓從原點(diǎn)O沿?cái)?shù)軸向右滾動(dòng)一周，圓上的點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到O′，線段OO′的長就是這個(gè)圓的周長π，所以點(diǎn)O′的坐標(biāo)為π.這樣，無理數(shù)π就用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來了.

圖3

評(píng)析：這個(gè)教學(xué)片斷通過多媒體動(dòng)畫演示讓學(xué)生感知了“在數(shù)軸上有且只有一個(gè)表示無理數(shù)π的點(diǎn)”，這在抽象的“數(shù)”與直觀的“形”之間建立了互相表達(dá)的關(guān)系，學(xué)生在從數(shù)到形的轉(zhuǎn)化中理解了無理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，由此內(nèi)化了對(duì)“無理數(shù)可以在數(shù)軸上找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)”的認(rèn)識(shí).這樣能夠讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)形結(jié)合思想方法在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)具有化抽象為直觀、簡(jiǎn)潔易懂的作用，必定能夠激起學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法的認(rèn)同.

三、直觀探索型

直觀探索型是借助實(shí)物或圖形直觀，以探索未知結(jié)論為目的的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng).這類教學(xué)教師要?jiǎng)?chuàng)造、模擬、再現(xiàn)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生自主探究數(shù)學(xué)知識(shí)、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論（或假設(shè)）.直觀探索型對(duì)學(xué)生智力的發(fā)展、創(chuàng)造能力的培養(yǎng)、科學(xué)方法的形成都有很大的幫助.一般步驟為：?jiǎn)栴}提出—直觀探索—抽象概括—發(fā)現(xiàn)結(jié)論.直觀探索型的特點(diǎn)是：具有開放性、探索性、生成性，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、教師的引導(dǎo)方法要求較高.

案例3“正弦”概念教學(xué)片斷師：如圖4，斜坡的傾斜角為30°，當(dāng)器材P沿斜坡OB向上搬運(yùn)5米時(shí)，點(diǎn)P離地面的距離PH為多少？

生1：2.5米.

師：在器材P向上搬運(yùn)的過程中，在點(diǎn)P離地面的距離PH、點(diǎn)P離起點(diǎn)O的距離OP等量中，有哪些量發(fā)生了變化？哪些量不發(fā)生變化呢？

生2：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段OP、PH、OH的長度都發(fā)生了改變.

圖4

生3：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段OP的長度發(fā)生了改變，如果設(shè)OP=x的話，那么線段PH、OH都可以用含x的代數(shù)式表示出來.當(dāng)∠AOB=30°時(shí)，PH=x，OH=.這說明線段PH、OH的長隨著OP的變化而變化，它們是關(guān)于x的一次函數(shù).

師：剛才大家找到了3個(gè)變量，那么在這個(gè)變化的過程中，有不變的量嗎？

生4：∠AOB的度數(shù)不變.

生6：還有線段OH與OP的比值不變，等于.

生7：把三條線段兩兩組合就可以了！

生8（迫不及待地）：三條線段兩兩組合有3種可能，但是求比值時(shí)，還涉及分子、分母的不同，比如OP與OH組合，既可以得到線段比，也可以得到線段比，所以有6種可能.

師（很開心地）：這里確實(shí)有6對(duì)比值，現(xiàn)在我們不妨先選取其中的3對(duì)比值進(jìn)行研究，先從線段PH與線段OP的比值開始.

圖5

師：這對(duì)線段的比值與點(diǎn)P的位置無關(guān)，那么它與什么有關(guān)呢？

生4（再次發(fā)言）：可能與∠AOB的度數(shù)有關(guān).比如圖6，當(dāng)∠AOB1=60°時(shí)，比值變?yōu)?

圖6

師：想想看，能否借助圖6來說明當(dāng)角度變化時(shí)，比值也隨之變化呢？

學(xué)生先獨(dú)立思考，再討論交流大約2分鐘.

圖7

生11：這對(duì)線段的比值隨著角度的改變而改變，它是角度的函數(shù).

師：為了表示的方便，把這對(duì)線段的比值用sinα表示，稱之為角α的正弦.

評(píng)析：這個(gè)教學(xué)片斷教師創(chuàng)設(shè)了一個(gè)“器材沿斜坡運(yùn)動(dòng)”的問題情境，借助幾何圖形直觀“找尋運(yùn)動(dòng)過程中的變量和不變量”，建立了相應(yīng)線段的比值；再利用幾何圖形直觀地探索比值的相關(guān)量，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)比值隨角度變化而變化，是角度的函數(shù)，自然地形成正弦函數(shù)的概念.這樣直觀形象、動(dòng)態(tài)生成的過程，不僅讓學(xué)生體會(huì)了正弦三角函數(shù)產(chǎn)生的必要性，而且理解了正弦三角函數(shù)是一個(gè)以角為自變量的函數(shù)，使學(xué)生慢慢地理解了正弦三角函數(shù)的意義和符號(hào)表示.

四、直觀建構(gòu)型

直觀建構(gòu)型是借助實(shí)物或圖形直觀，以建構(gòu)某個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)或圖式模型為目的的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng).這類教學(xué)是在建構(gòu)直觀的方程模型、圖式模型等的基礎(chǔ)上，使得學(xué)生能夠進(jìn)一步把握和理解更加抽象、更為深刻的思維對(duì)象.一般步驟為：?jiǎn)栴}提出—實(shí)物演示—觀察分析—建構(gòu)模型.直觀建構(gòu)型的特點(diǎn)是：具有空間性、模型性、探索性.

案例4 “圓錐側(cè)面展開圖”教學(xué)片斷

師（邊演示模型，邊啟發(fā)提問）：如圖8，現(xiàn)在老師把這圓錐的側(cè)面沿它的一條母線剪開，展在一個(gè)平面上，哪位同學(xué)能發(fā)現(xiàn)這個(gè)展開圖是什么圖形？

生1：扇形.

師（再次演示模型）：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察，并回答：

（1）扇形的弧長l與圓錐底面圓的周長是什么關(guān)系？

（2）扇形的半徑其實(shí)是圓錐的什么線段？

生2（上講臺(tái)指著模型，邊說邊寫）：扇形的弧長是底面圓的周長，即l=2πr，扇形的半徑就是圓錐的母線.

師（追問）：圓錐的側(cè)面積與扇形的面積有何關(guān)系？生3：圓錐的側(cè)面積等于扇形的面積.

圖8

側(cè)錐底面圓的半徑，l為圓錐底面圓的周長）.

評(píng)析：這個(gè)教學(xué)片斷通過“圓錐實(shí)物模型”的多次演示，讓學(xué)生經(jīng)歷了由圓錐立體模型到扇形這個(gè)平面模型的過程，在學(xué)生頭腦中建構(gòu)了“圓錐模型”與“扇形模型”，學(xué)生在這兩個(gè)模型的“形”的轉(zhuǎn)化中找到了“數(shù)”的相等關(guān)系，這又在學(xué)生大腦中建構(gòu)了一個(gè)新的“數(shù)量”模型，這樣讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的美妙，對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解更加深刻.

五、直觀拓展型

直觀拓展型是借助實(shí)物或圖形直觀，以拓寬研究思路或拓展數(shù)學(xué)知識(shí)為目的的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng).這類教學(xué)是對(duì)已有研究方案或思路的延伸，若運(yùn)用得當(dāng)，可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，拓展思維視野，發(fā)揮教師教學(xué)的創(chuàng)造性，給不同能力傾向的學(xué)生提供較大的選擇空間，使他們獲取各自發(fā)展所需要的知識(shí)、技能和能力.一般步驟為：任務(wù)引入—任務(wù)拓展—分解任務(wù)—應(yīng)用拓展.直觀拓展型的特點(diǎn)是：具有開放性、創(chuàng)新性、探索性.

案例5“絕對(duì)值的幾何意義”教學(xué)片斷

問題引入：a的幾何意義是什么？

活動(dòng)1：若a是一個(gè)數(shù)，探究|a-1|的幾何意義.

（1）試在數(shù)軸上探究|2-1|，|-1-1|，|0-1|的幾何意義.

（2）試在數(shù)軸上探究|a-1|的幾何意義.

（學(xué)生合作探究、展示略）

活動(dòng)2：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離為線段AB的長度.試在數(shù)軸上探究|a-b|的幾何意義.

（1）如何在數(shù)軸上表示數(shù)a、b？

（2）在數(shù)軸上，點(diǎn)A、B有哪幾種情形？

（3）你能將各種情形的AB都表示出來嗎？

學(xué)生小組合作探究并展示：

①當(dāng)A、B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)A在原點(diǎn)（如圖9），AB=OB=|b|=|a-b|；

圖9

②A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)右邊時(shí)（如圖10），則AB=OB-OA=|b|-|a|=|a-b|；

圖10

③如圖11，當(dāng)點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)左邊時(shí)，AB=OB-OA=|b|-|a|=-b-（-a）=|a-b|；

圖11

④如圖12，當(dāng)點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的兩邊時(shí)，AB=OA+OB=|a|+|b|=a+（-b）=|a-b|.

圖12

所以，|a-b|的幾何意義是：|a-b|表示數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離.

活動(dòng)3：當(dāng)代數(shù)式|x-1|+|x-2|取最小值時(shí)，x相應(yīng)的取值范圍是什么？最小值是多少？

（學(xué)生合作探究、展示略）

評(píng)析：這個(gè)教學(xué)片斷采取“層層推進(jìn)”的教學(xué)方式，三個(gè)探究活動(dòng)在整體上是一個(gè)直觀拓展型，從“數(shù)到字母”“整體到分類”“一類到多類”“初步認(rèn)識(shí)到深入理解再到具體應(yīng)用”；每個(gè)探究活動(dòng)都是一個(gè)拓展型，活動(dòng)1將一般問題的探討分解為兩個(gè)問題，問題（1）解決特殊情形下的幾何意義，問題（2）拓展為對(duì)|a-1|幾何意義的初步認(rèn)識(shí)，滲透數(shù)形結(jié)合思想；活動(dòng)2按照從特殊到一般的過程，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)a、b，根據(jù)點(diǎn)A、B在數(shù)軸上的各種情形，將A、B兩點(diǎn)間的距離用數(shù)a、b表示，再轉(zhuǎn)化為|a-b|，培養(yǎng)學(xué)生推理的意識(shí)，滲透分類討論的思想；活動(dòng)3是|a-b|的幾何意義的直接應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)軸上用點(diǎn)P、A、B表示數(shù)x、1、2， 則PA=|x-1|，PB=|x-2|，將問題轉(zhuǎn)化為PA+PB的最小值，再利用數(shù)軸解決問題，讓學(xué)生感受數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想.

六、直觀簡(jiǎn)約型

直觀簡(jiǎn)約型是用數(shù)學(xué)符號(hào)、圖表、圖式等直觀表達(dá)數(shù)學(xué)中的數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng).從學(xué)習(xí)過程上看，把數(shù)學(xué)概念、法則或公式簡(jiǎn)約化，都要經(jīng)歷“理解含義一選取符號(hào)或字母一確定運(yùn)算一簡(jiǎn)約表達(dá)”四個(gè)環(huán)節(jié).直觀簡(jiǎn)約型的特點(diǎn)是：簡(jiǎn)潔、抽象、易記.

案例6“規(guī)律探索型”教學(xué)片斷

問題：小玲家對(duì)面超市的大櫥窗四周，安裝著紅、黃、綠三種顏色的霓虹燈，并且這些霓虹燈按照1盞紅色燈，2盞黃色燈，3盞綠色燈的順序循環(huán)排列，那么第15盞霓虹燈是____色.

（小組合作學(xué)習(xí)、交流、討論，5分鐘后）

小組1：用字母A表示紅色霓虹燈，字母B表示黃色霓虹燈，字母C表示綠色霓虹燈，并得出如下排列模式：

小組2：用△表示紅色霓虹燈，□表示黃色霓虹燈，○表示綠色霓虹燈，將15個(gè)霓虹燈全部畫出如下如下：

據(jù)此推導(dǎo)出第15個(gè)字母，確定第15個(gè)霓虹燈的顏色.

師：對(duì)上述規(guī)律可“列除法算式”：15÷（1+2+3）=2余3，從而得出結(jié)論：第15個(gè)霓虹燈是黃色.

評(píng)析：在這個(gè)教學(xué)片斷中，小組1、2都用直觀簡(jiǎn)約的字母或圖式排列了三種顏色霓虹燈的規(guī)律，簡(jiǎn)便，直觀性強(qiáng).在這個(gè)過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)際問題的“符號(hào)化”，培養(yǎng)學(xué)生的“符號(hào)意識(shí)”；最后，教師根據(jù)規(guī)律“列除法算式”，在培養(yǎng)學(xué)生“符號(hào)意識(shí)”的同時(shí)，也培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力.

總之，幾何直觀教學(xué)的目的是把抽象的數(shù)學(xué)概念、法則、公式和定理等數(shù)學(xué)知識(shí)，通過實(shí)物或圖形的描述和分析以實(shí)現(xiàn)教學(xué)的直觀化、顯性化、形象化，其宗旨在于提高數(shù)學(xué)教學(xué)的育人價(jià)值，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).這就要求教師在教學(xué)中要以理解教材、理解學(xué)生、理解數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，依據(jù)初中生的認(rèn)知特點(diǎn)和身心發(fā)展規(guī)律，創(chuàng)新幾何直觀教學(xué)的類型，輔以教具、學(xué)具、多媒體等直觀教學(xué)手段，豐富數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)涵.

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.石樹偉.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)立意的“層次”“關(guān)系”及“提升”——由“完全平方公式”同課異構(gòu)引發(fā)的思考［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013（1）.

3.馬釗.讓概念教學(xué)的內(nèi)涵更豐富［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2013（3）.

4.隋淑春.“4.2平行四邊形的判別（第一課時(shí)）”課例研究［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2013（6）.

5.潘小梅.什么是真正經(jīng)歷了過程的教學(xué)？——過程化教學(xué)的案例分析及思考［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2012（10）.

6.錢衛(wèi)華.優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2013（6）.

7.張愛平.基于“四基”的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的思考——以蘇科版課標(biāo)教材七年級(jí)上冊(cè)“有理數(shù)和代數(shù)式”為例［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2013（3）.