Vakhnenko-Parkes方程的李對稱及其精確解

溫雙全, 李春海, 莫達隆

(1. 桂林電子科技大學 數學與計算科學學院, 廣西 桂林 541004; 2. 賀州學院 理學院, 廣西 賀州 542800)

1 引言與預備知識

非線性演化方程已應用于數學物理學,如：生物學、流體力學、化學、凝聚物理學、光纖通信和量子場論.由于非線性演化方程應用于許多數學物理模型中,所以這些方程的精確解變得越來越重要并且促進了數值解的驗證和解的穩定性分析,而許多解的存在性可能只依賴于一個單一變量.過去幾年,有許多方法已用于尋求這類方程的精確解,如反散射法[1]、Backlund變換[2]、Hirota法[3]、對稱法[4]、李群方法[5]、動力系統分支理論[6]、同倫攝動法[7].

Vakhnenko方程是一個在松弛介質下描述高頻波的非線性演化方程[8-9],Vakhnenk方程簡稱VE,即

(1)

其中,u是無限維壓強,x是空間變量,t是時間變量.由于VE有類似圈孤解的形式,則獲得其方程的解比較困難.目前,學者們研究該方程已有些成就,如文獻[10-11]運用同倫分析法發現該方程存在一個圈孤解形式;而V. Vakhnenko等[3]運用Hirota法[3]和反散射法[1,12]發現了2個圈孤解形式;而A. Morrison等[13]運用Hirota法[13]和反散射法[12]分別獲得了N個圈孤解形式和計算多個圈孤解形式.

目前許多作者進一步研究

(2)

其中

若p=q=1,方程(2)是廣義VE[13-14].若p=2q,方程(2)是修正的廣義VE[15].廣義VE和修正的廣義VE都存在圈孤解、峰孤解和尖孤解.本文主要運用李群方法和動力系統理論來研究從VE演化而來的Vakhnenko-Parkes[16-17](VP)方程

uuxxt-uxuxt+u2ut=0.

(3)

2 Vakhnenko-Parkes方程的李對稱

李群方法又稱作李對稱分析方法[5,18].相對較嚴謹地說法,微分方程的李對稱群是將方程的一個解映射為方程的另一個解.微分方程的不變性將導出它的對稱群所滿足的充分必要條件,這組條件即稱為對稱群的決定方程組.確定了對稱群的決定方程組,隨之即可得到許多相應的應用.

設單參數李變換群的無窮小變換為

x→x+εξ(x,t,u),

t→t+ετ(x,t,u),

u→u+εφ(x,t,u),

其中無窮小參數ε?1.設

(4)

為單參數李變換群的向量場,其第1,2,3階延拓向量場如下

方程(3)在無窮小變換下保持不變當且僅當向量場應滿足李對稱條件pr(3)V(Δ)|Δ=0,其中

Δ=uuxxt-uxuxt+u2ut.

應用李對稱條件到方程(3),可知系數函數ξ(x,t,u)、τ(x,t,u)、φ(x,t,u)必須滿足如下對稱條件

uxxtφ+2uutφ-uxtφx+

u2φt-uxφxt+uφxxt=0,

(5)

其中,φx、φt、φxt、φxxt是延拓向量pr(3)V的系數,并且有

φx=Dxφ-uxDxξ-utDxτ,

(6)

φt=Dtφ-uxDtξ-utDtτ,

(7)

φxt=DtDx(φ-ξux-τut)+ξuxxt+τuxtt,

(8)

ξuxxxt+τuxxtt,

(9)

其中,Dx和Dt分別是對x和t的全微分.置換(6)～(9)式到(5)式,并用uxuxt替換uuxxt+u2ut,得到VP方程的決定方程組

ξu=ξt=0,ξ=ξ(x),

(10)

τx=τu=0,τ=τ(t),

(11)

φuu=φx=φt=0,φ=φ(u),

(12)

-2φu+2ξx+τt=0, 3φu-τt=0.

(13)

解上面這些方程組,有如下系數函數

ξ=c1x+c2,τ=-6c1t+c3,

φ=-2c1u.

(14)

其中,c1、c2、c3是任意常數.可見方程的不變群的全體生成元構成了一個3維李代數,并且有下列一組基

(15)

與它們相應的單參數變換群

G1:(x,t,u)→(x+ε,t,u),

G2:(x,t,u)→(x,t+ε,u),

G3:(x,t,u)→(xeε,te-6ε,ue-2ε).

由此可見G1是空間變換,G2是時間變換,G3是尺度變換.因此,由表1可知V1、V2、V3的交換算子是封閉的.

3 Vakhnenko-Parkes方程的廣義對稱

應用廣義對稱方法考慮VP方程的對稱.廣義對稱方法又簡稱待定系數法.

設VP方程的對稱

σ(x,t,u)=a(x,t)ut+b(x,t)ux+

c(x,t)u+d(x,t),

(16)

其中,a(x,t)、b(x,t)、c(x,t)、d(x,t)是未確定的系數函數.根據廣義對稱方法,對稱應滿足下列條件

uxxtσ+2uutσ+u2σt-uxtσx-

uxσxt+uσxxt=0.

(17)

把(16)式及其相應的微分項代入(17)式,得到下列系數函數的表達形式

a(x,t)=-6c1t+c3,

b(x,t)=c1x+c2,

c(x,t)=2c1,d(x,t)=0.

(18)

于是得到VP方程的對稱

σ=c3ut+c2ux+

c1(xux-6tut+2u),

(19)

其中,c1、c2、c3是任意常數.因此,得到VP方程的對稱如下形式

σ1=ux,σ2=ut,

σ3=xux-6tut+2u,

(20)

這與第二節給出的對稱是一樣的.

4 Vakhnenko-Parkes方程的對稱李代數的一維最優系統

下面給出VP方程的李代數的最優系統[19-21].為了獲得該方程的最優系統,計算了李代數的交換子和李代數的伴隨表示分別見表1和表2.

定理1方程的對稱代數的一維最優系統有

V1,V2,V3,V1±V2.

(21)

表 1 換位子

表 2 李代數的的伴隨表示Ad(exp(ε Vi))Vj

證明設VP方程對稱代數的一維子代數的一般向量

V=a1V1+a2V2+a3V3,

其中,a1、a2、a3是不全為零的任意常數.下面對一維李代數進行分類,為了進一步簡化一般向量,考慮下面幾種情況:

1)a3≠0.用Adexp(ε1V1)作用V上有

V=(a1-ε1a3)V1+a2V2+a3V3.

取ε1=a1/a3,則V1項被消掉,V被約化為

V=a2V2+a3V3.

又取ε2=-a2/6a3,用Adexp(ε2V2)作用于V上,消掉V2項,則該情形下V等價于V=V3.

2)a3=0.V等價于V=a1V1+a2V2.

(a) 若a1=0,a2≠0,則該情形下V等價于V=V2;

(b) 若a1≠0,a2=0,則該情形下V等價于V=V1;

(c) 若a1≠0,a2≠0,用Adexp(ε3V3)作用于V上,可選取適當的ε3,使得V1和V2的系數相等或相反,則該情形下V等價于V=V1±V2.

總而言之,VP方程對稱代數的一維子代數的最優系統Θ為{V1,V2,V3,V1±V2}.

5 Vaknenko-Parkes方程的精確行波解

當前考慮VP方程的行波解,設ξ=κx+ωt,有u(x,t)=φ(κx+ωt),其中κ和ω是增長波速.把它代入方程(3),得到如下非線性常微分方程

κ2wφφ?-κ2wφ′φ″+wφ2φ′=0.

(22)

方程(22)對ξ進行積分有

3κ2φφ″-3κ2(φ′)2+φ3=g,

(23)

其中g是積分常數.方程(23)等價于平面

(24)

系統(24)有首次積分

(25)

其中h是積分常數.

顯而易見在奇異線φ=0,系統(24)是無窮維的,這樣的系統稱為奇異行波系統.為了避免出現奇異情形,作變換dξ=φdτ.系統(24)轉化成正則系統

(26)

系統(24)與系統(26)有相同的首次積分即不變曲線解,并且除了在奇異線φ=0外,系統(26)與系統(24)有相同的拓撲結構.

令M(φe,ye)為系統(26)在奇點(φe,ye)的系數矩陣,J(φe,ye)為系統(29)在奇點(φe,ye)的雅可比行列式,則有

i=1,2,P2-4q>0.

由平面動力系統分支理論[6],有如下結論：

1)g>0,N是一個中心點;

2)g=0,O(0,0)是一個高階奇點;

3)g<0,N是一個鞍點,P1和P2是2個結點.從而得出(24)和(26)的相圖分支如圖1所示.

根據系統(26)的相圖進行分析討論,得出VP方程的幾種行波解如下.

圖1 系統(24)和(26)的相圖Fig. 1 Phase portraits of system (24) and (26)

(27)

置(27)式于系統(24)的第一個方程積分有

其中

(φ3-φ)(φ-φ2)(φ-φ1)=

則有如下參數表達式

φ(ξ)=φ3-(φ3-φ2)sn2(ω1ξ,k1),

(28)

其中

sn(u,k)是雅可比橢圓函數.因此,存在VP方程的周期行波解

φ(x,t)=φ3-

(φ3-φ2)sn2(ω1(κx+ωt),k1).

(29)

5.2孤波解

1) 當g=0時,存在一條同宿軌道穿過平衡點O(0,0)位于勢函數h>0,則系統(25)變成

(30)

置(30)式于系統(24)的第一個方程積分,有參數表達式

(31)

2) 當g<0時,存在3條異宿軌道穿過奇點N,P1和P2位于勢函數h>0,則系統(25)變成

(32)

置(32)式于系統(24)的第一個方程積分,有參數表達式

其中

因此,VP方程的孤立波解的參數表達式為

(33)

本文對VP方程運用經典李群方法進行了李對稱分析,獲得該方程的對稱群的李代數結構,并且運用廣義對稱方法對其進行分析,發現此種方法下,該方程的李代數與前者是一樣的.在伴隨表示作用下,進一步研究了該方程的一維最優系統,并給出了證明.此外,運用動力系統方法研究了該方程的分支相圖,根據相圖探討了該方程的一些精確解,并且找出其精確解的參數表達式.

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