基于卡爾曼濾波的GM(1，1)模型在高鐵隧道沉降變形分析中的應用*

文鴻雁 周 呂 韓亞坤 陳冠宇 胡紀元

1)桂林理工大學廣西礦冶與環境科學實驗中心，桂林 541004

2)桂林理工大學測繪地理信息學院，桂林 541006

3)廣西空間信息與測繪重點實驗室(桂林理工大學)，桂林541006

1 引言

高速鐵路的建設是一個龐大且復雜的系統工程，高鐵建設中的隧道建設的難度與精度較其他部分更具挑戰性，在隧道的建設過程中需要定期對其進行變形監測，為建設過程提供安全保障。同時，在隧道準備要鋪軌時需要評估隧道的沉降變形。

由于隧道本身比較穩定，其沉降變形量小、相對波動較大，加之在對隧道進行沉降變形監測時，受光線、氣溫、儀器誤差等隨機因素的影響較大，使沉降曲線出現“小沉降、大波動”現象。針對此現象，本文引入卡爾曼濾波算法，對受噪聲干擾較大的沉降監測點進行濾波處理，建立基于卡爾曼濾波的GM(1，1)模型。將新建模型應用于貴廣高鐵某隧道沉降變形監測點的變形分析與預測中，并與傳統GM(1，1)模型進行對比分析，實驗結果表明，基于卡爾曼濾波的GM(1，1)模型的綜合精度與可靠性均較傳統GM(1，1)模型高。

2 卡爾曼濾波

卡爾曼濾波是一種通過對被提取信號有關的觀測量的算法估計得出所需信號的濾波方法［1］。離散系統卡爾曼濾波的數學模型由狀態方程和觀測方程構成，可表示為［2，3］:

式中，Xk是n×1 階狀態向量，Lk是m ×1 階觀測向量，Fk/k－1是n ×n 階狀態轉移矩陣，Gk－1是n ×r 階動態噪聲矩陣，Wk－1是r×1 階動態噪聲，Vk是m ×1 階觀測噪聲，Hk是m×n 階觀測矩陣。

根據最小二乘原理，隨機離散系統的卡爾曼濾波遞推公式為［4－6］:

一步預測值為

一步預測值的方差矩陣為

狀態向量的估計值為

狀態向量估計值的方差矩陣為

式中，Jk是濾波增益矩陣，為

在確定濾波初值后，啟動卡爾曼濾波遞推算法，依據k 時刻的觀測值Lk，遞推計算出k 時刻的狀態估計值，實現濾波并有效剔除隨機干擾噪聲的效果。

3 傳統灰色GM(1，1)模型

GM(1，1)模型的建立過程為［7－9］:

令x(0)為某監測點的原始序列:

式中，n 為序列長度，k=1，2，…，n。對x(0)進行一次累加生成處理，得到光滑的新生成數列(記x(1)=AGOx(0)):

將x(1)進行時間求導，建立GM(1，1)一階線性灰微分方程:

式中，a、b 為待定常數。由文獻［7］可知GM(1，1)白化方程的時間響應式為:

通過累減生成可得GM(1，1)預測模型為:

4 模型精度評定

利用后驗差檢驗法［10］評判模型精度。設原始監測數據方差為，殘差數據方差為，則計算公式為:

結合C 和P 兩項評價指標，對所建模型的精度進行綜合評判。各精度等級如表1 所示。

表1 后驗差檢驗法精度等級表Tab.1 Precision grade table of Posterior deviation test

5 實例分析

5.1 卡爾曼濾波去噪

高鐵隧道沉降變形監測按照三等沉降變形測量的技術指標進行變形監測，故本文取觀測噪聲方差Rk=0.5、動態噪聲方差Qk=2。本文把監測點的位置與變化速率作為狀態參數，由前2 期監測值的平差值可求得濾波初始值:

該監測數據序列是隧道沉降變形監測初期的監測值，由于前9 期監測數據在測量時受照明光線影響較大，且監測條件較惡劣，監測數據受隨機噪聲影響較大，加之該路段隧道地質條件較好，隧道沉降較小，這使隧道沉降變形曲線出現“小沉降、大波動”現象。本文利用上述所得的濾波初始值通過卡爾曼濾波設計程序對該數據進行濾波，對比分析濾波前后數據，結果如圖1。

圖1 濾波去噪結果與原始數據對比Fig.1 Comparison of denoising results by the Filter

分別計算原始數據與濾波后數據的信噪比得:原始數據的信噪比為6.967，濾波后數據的信噪比為19.633。經過濾波后，數據的信噪比有了較大的提高，說明此次濾波效果較好。

由圖1 可知，經過濾波處理之后，原始沉降曲線的波動已減小，經過濾波處理后原始監測數據中的隨機噪聲的影響得以有效地減弱，沉降曲線更加平滑，更加逼近真實情況。

5.2 建立基于卡爾曼濾波的GM(1，1)模型

以前9 期數據建立基于卡爾曼濾波的GM(1，1)模型，并運用該模型預測第10 期與第11 期的變形量，同時對比分析用原始數據建立的傳統GM(1，1)模型的預測結果，對比結果如圖2 ～4 所示。

對比分析圖2 與圖3 可知，經過卡爾曼濾波去噪處理之后，消除了原始沉降監測數據中隨機誤差的噪聲干擾，相對于傳統的GM(1，1)模型，基于卡爾曼濾波的GM(1，1)模型的預測值及預測曲線更加逼近真實情況。由圖4 可知，基于卡爾曼濾波的GM(1，1)模型的殘差曲線波動小于傳統的GM(1，1)模型。

圖2 濾波前沉降值與預測值Fig.2 Settlement values before and after filtering with original data

圖3 濾波后沉降值與預測值Fig.3 Settlement and predictor after filtering

圖4 兩模型殘差曲線對比Fig.4 Comparison of the error curve of the two models

運用后驗差檢驗法評判新建模型與傳統GM(1，1)模型的精度，各模型的后驗差比值C、小誤差概率P 以及模型的綜合精度等級，如表2 所示。

利用均方誤差、平均絕對誤差以及平均絕對相對誤差對新建模型與傳統GM(1，1)模型進行誤差分析得表3。

由表2、3 可知，兩個模型均達到了較好的預測精度，但基于卡爾曼濾波的GM(1，1)模型的預測精度更高。

表2 兩種模型的精度對比表Tab.2 Comparison of the precision by two models

表3 兩種模型誤差對比表(單位:mm)Tab.3 Comparison of errors by two models(unit:mm)

對各模型的預測曲線進行相關分析，基于卡爾曼濾波的GM(1，1)模型的預測曲線與沉降曲線的相關系數達97%，而傳統GM(1，1)模型的預測曲線與沉降曲線的相關系數達94%。對比兩個相關系數可知，基于卡爾曼濾波的GM(1，1)模型的線性相關有所提高，因為濾波處理之后，在建模時噪聲干擾小，所建模型精度相對于傳統GM(1，1)模型更高。

6 結論

針對高鐵隧道沉降變形中出現的“小沉降、大波動”現象，在對其進行變形分析時，首先用卡爾曼濾波進行去噪，然后建立基于卡爾曼濾波的GM(1，1)模型進行變形分析。通過工程實例對比分析得出:經過卡爾曼濾波去噪后，可以有效地消除沉降曲線中波動較大的尖端點，使得去噪后的沉降曲線更為合理;濾波后可以有效剔除原始監測數據中的隨機誤差，在一定程度上提高了GM(1，1)模型的綜合精度。

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