顧及RPDOP值的GPS變形監(jiān)測(cè)抗差Kalman濾波*

張 超 戴吾蛟 曾凡河 潘家寶

1)中南大學(xué)地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，長(zhǎng)沙 410083

2)湖南省精密工程測(cè)量與形變?yōu)暮ΡO(jiān)測(cè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙410083

1 引言

由于Kalman 濾波不需要存儲(chǔ)過(guò)去的觀測(cè)數(shù)據(jù)，可以大大減少時(shí)空復(fù)雜度，便于實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)處理，因而在動(dòng)態(tài)變形監(jiān)測(cè)、GPS 動(dòng)態(tài)定位等領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用［1－3］。但Kalman 濾波的效果與準(zhǔn)確的狀態(tài)噪聲與觀測(cè)噪聲密切相關(guān)，當(dāng)觀測(cè)值中含有粗差時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)Kalman 濾波的估值不準(zhǔn)確，甚至導(dǎo)致濾波發(fā)散。為了抵抗觀測(cè)值中粗差的影響，楊元喜等［4－6］基于抗差估計(jì)理論提出了抗差Kalman 濾波，余學(xué)祥等［7］也從預(yù)測(cè)殘差和多余觀測(cè)分量構(gòu)造等價(jià)增益矩陣出發(fā)提出了抗差Kalman 濾波模型(RKF，Robust KF)。這些抗差Kalman 濾波模型的實(shí)質(zhì)都是根據(jù)觀測(cè)值殘差進(jìn)行粗差探測(cè)并對(duì)含有粗差的觀測(cè)值進(jìn)一步降權(quán)或剔除該觀測(cè)值，以抵抗粗差的影響，但降權(quán)將直接影響抗差的效果。在GPS變形監(jiān)測(cè)中，常利用Kalman 濾波對(duì)GPS 解算后得到的位移觀測(cè)值進(jìn)行動(dòng)態(tài)濾波，但受觀測(cè)環(huán)境的影響，位移觀測(cè)值中常含有粗差，其中衛(wèi)星圖形結(jié)構(gòu)并不是一個(gè)定位誤差源，通常會(huì)導(dǎo)致定位解算時(shí)法方程不穩(wěn)定［7］，降低定位的精度。而衛(wèi)星定位幾何精度因子(PDOP，Position Dilution of Precision)(相對(duì)定位時(shí)為RPDOP)［8］反映出衛(wèi)星圖形結(jié)構(gòu)越好，PDOP 值越小，定位解算精度也越高［9］。所以為了提高抗差效果，本文針對(duì)GPS 變形監(jiān)測(cè)中一般采用相對(duì)定位的特點(diǎn)，通過(guò)引入GPS 相對(duì)定位中的幾何精度因子(RPDOP，Relative Position Dilution of Precision)值作為先驗(yàn)信息來(lái)探測(cè)并定位觀測(cè)值中的粗差，從而對(duì)其進(jìn)行降權(quán)處理，以達(dá)到更佳的抗差效果。

2 抗差Kalman 濾波模型

標(biāo)準(zhǔn)Kalman 濾波要求動(dòng)態(tài)噪聲和觀測(cè)噪聲是高斯白噪聲序列，但在實(shí)際應(yīng)用中難以滿(mǎn)足該條件［10］。當(dāng)有粗差存在于觀測(cè)值向量L 中時(shí)，由Kalman 濾波的遞推方程可知，狀態(tài)預(yù)測(cè)向量1)及誤差都將受到來(lái)自粗差的影響。通過(guò)分析M 估計(jì)等價(jià)權(quán)原理，增益矩陣Kk能夠反映粗差的影響，所以可以將觀測(cè)噪聲協(xié)方差陣用合適的權(quán)函數(shù)代替，這樣粗差對(duì)估計(jì)結(jié)果的影響就可以得到一定程度的削弱甚至消除。

楊元喜基于穩(wěn)健估計(jì)思想，構(gòu)造觀測(cè)向量抗差等價(jià)權(quán)矩陣［11］。權(quán)函數(shù)采用IGGⅢ方案［12］，表示為:

在變形監(jiān)測(cè)中，一般情況下監(jiān)測(cè)點(diǎn)的觀測(cè)值都是測(cè)點(diǎn)的三維坐標(biāo)，這時(shí)再根據(jù)觀測(cè)向量的標(biāo)準(zhǔn)化殘差來(lái)計(jì)算顯然不太合適。根據(jù)Kalman 濾波中的預(yù)測(cè)殘差向量特征，改進(jìn)如下［13］:

3 顧及RPDOP 值的GPS 變形監(jiān)測(cè)抗差Kalman 濾波模型

由于在GPS 變形監(jiān)測(cè)中，要求獲得較高精度的形變量，多采用相對(duì)定位模式［14］。由于RPDOP 值實(shí)質(zhì)上反映的是相對(duì)定位中法方程結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性(病態(tài)性)。所以本文引入RPDOP 值作為先驗(yàn)信息，提出顧及RPDOP 值的GPS 變形監(jiān)測(cè)抗差Kalman 濾波模型。該模型首先要計(jì)算出RPDOP 值，RPDOP 推算過(guò)程如下［15］:

在觀測(cè)時(shí)刻t，在兩個(gè)測(cè)站1 和2 上對(duì)衛(wèi)星p 和q 進(jìn)行同步觀測(cè)，測(cè)站1 為基線的已知端，其坐標(biāo)已知，可構(gòu)成載波相位的雙差觀測(cè)方程［16］，為便于書(shū)寫(xiě)，省略雙差符號(hào):

假設(shè)兩測(cè)站的同步觀測(cè)衛(wèi)星個(gè)數(shù)為n，則相應(yīng)地可以獲得(n－1)個(gè)雙差觀測(cè)值，其誤差方程為:

式中未知參數(shù)的協(xié)因數(shù)陣為:

經(jīng)過(guò)推導(dǎo)，可以獲知t 時(shí)刻，相對(duì)定位空間位置精度因子為:

由于相對(duì)定位在GPS 變形監(jiān)測(cè)中已經(jīng)得到廣泛使用，所以只需在原有觀測(cè)資料的基礎(chǔ)上，求取RPDOP 值即可。由于顧及RPDOP 值的抗差Kalman濾波具體的算法實(shí)現(xiàn)與一般的抗差Kalman 濾波相比在實(shí)現(xiàn)的過(guò)程中多了一步RPDOP 值的判斷，若RPDOP 值大于閾值就對(duì)其進(jìn)行降權(quán)處理，此處閾值的設(shè)定具有一定的經(jīng)驗(yàn)性，本文通過(guò)實(shí)驗(yàn)調(diào)試，將其設(shè)定為4.0，當(dāng)大于此閾值時(shí)，將其權(quán)降低1 000 倍，否則就直接執(zhí)行一般的抗差Kalman 濾波。

4 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)處理

實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)自湖南省郴寧高速公路一邊坡點(diǎn)2012-01—12月的變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)通信用GPRS 無(wú)線傳輸，每個(gè)歷元的觀測(cè)結(jié)果是3 個(gè)小時(shí)的靜態(tài)解。由于此邊坡地處山區(qū)，信號(hào)質(zhì)量較差，存在嚴(yán)重的信號(hào)遮擋，同時(shí)還受周跳、信號(hào)中斷的影響，一些時(shí)段的數(shù)據(jù)存在不同程度的缺失。此外，受多路徑效應(yīng)和信號(hào)衍射誤差的影響，監(jiān)測(cè)結(jié)果頻繁出現(xiàn)粗差(圖1)。從圖中可以明顯看出位移序列數(shù)據(jù)存在明顯奇異值，這些奇異值實(shí)際都為粗差。本次試驗(yàn)中，系統(tǒng)狀態(tài)模型為隨機(jī)游走模型，采用標(biāo)準(zhǔn)Kalman 濾波、IGGIII 抗差Kalman 濾波以及RPDOP 抗差Kalman 濾波三種方法對(duì)實(shí)際邊坡GPS 變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理與比較分析，其中抗差因子的閾值設(shè)定k0=2.5，k1=4.5，而RPDOP 值的閾值則設(shè)為4.0。圖1～3 分別為三種濾波方法的結(jié)果與原始數(shù)據(jù)序列的對(duì)比圖，從圖中可以看出，本文提出的改進(jìn)算法抗差效果最佳。為了進(jìn)一步定量評(píng)價(jià)濾波的效果，本文還采用小波濾波方法對(duì)原始觀測(cè)值序列進(jìn)行濾波，鑒于小波濾波具有很強(qiáng)的去奇異值及濾波去噪能力，本次實(shí)驗(yàn)以小波濾波的結(jié)果作為參考，計(jì)算三種方法濾波后的殘差RMS 值，具體結(jié)果見(jiàn)表1。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)Kalman 濾波Fig.1 Standand Kalman Filter

圖2 抗差Kalman 濾波Fig.2 Robust Kalman Filter

圖3 顧及RPDOP 值的抗差Kalman 濾波Fig.3 RPDOP based Robust Kalman Filter

表1 三種卡爾曼濾波方法的RMS 統(tǒng)計(jì)值Tab.1 RMS values with 3 methods

由表1 可知，顧及RPDOP 值的抗差Kalman 濾波處理數(shù)據(jù)的精度最高，IGGIII 抗差Kalman 濾波模型其次，標(biāo)準(zhǔn)Kalman 濾波模型精度最低。

為了進(jìn)一步分析顧及RPDOP 值的抗差Kalman濾波的抗差效果，對(duì)明顯含有粗差的第522 歷元位移數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。第522 歷元位移大小是－54.9 mm，平均RPDOP 值為9.72。而一般正常值RPDOP 在4.0 以下，觀察其前后的數(shù)據(jù)也可以看出，此觀測(cè)數(shù)據(jù)明顯偏離正常的變形位移范圍，是個(gè)較大的粗差。若采用標(biāo)準(zhǔn)Kalman 濾波處理，其權(quán)值為865，濾波后值為－29.5mm，與小波濾波參考值相差－18.3 mm;采用IGGIII 抗差后，其等價(jià)權(quán)為476，濾波后值為－24.4 mm，與小波濾波參考值相差－13.1 mm;而考慮RPDOP 值后，權(quán)降低至0.476，濾波后值為－10.2 mm，與小波濾波參考值相差1.0 mm。這說(shuō)明僅利用標(biāo)準(zhǔn)化殘差進(jìn)行抗差處理是不夠的，而RPDOP 值本身可作為GPS 相對(duì)定位精度的一個(gè)指標(biāo)，以此作為先驗(yàn)信息進(jìn)行抗差降權(quán)處理是合理的，因此顧及RPDOP 值的抗差Kalman 濾波效果最佳。

5 結(jié)語(yǔ)

在GPS 變形監(jiān)測(cè)中，通常對(duì)解算后得到的位移值進(jìn)行動(dòng)態(tài)濾波，采用抗差Kalman 濾波時(shí)，通常根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化的殘差進(jìn)行粗差探測(cè)和降權(quán)處理，但本文研究發(fā)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)化殘差不能完全反映GPS 位移觀測(cè)值的質(zhì)量，而綜合考慮GPS 相對(duì)定位幾何精度因子RPDOP 值可更準(zhǔn)確地評(píng)價(jià)GPS 位移觀測(cè)值的質(zhì)量，因此本文引入RPDOP 值作為先驗(yàn)信息，對(duì)GPS 位移觀測(cè)值中的粗差進(jìn)行探測(cè)并作進(jìn)一步降權(quán)處理，可起到更強(qiáng)的抗差作用。實(shí)際GPS 滑坡變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)應(yīng)用結(jié)果表明該方法較一般的抗差Kalman 濾波抗差效果更佳。同時(shí)，也說(shuō)明先驗(yàn)信息的利用有助于提高抗差Kalman 濾波的效果和可靠性。

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