坐標轉換中公共點粗差定位與降低粗差點影響方法研究*

吳祖海 羅偉釗 李 軍

(中南大學土木工程學院，長沙 410004)

1 引言

GPS 定位使用的是WGS84 坐標系，我國工程領域常用的坐標系有北京54 坐標系、西安80 坐標系、CGCS2000 坐標系和地方獨立坐標系。故使用GPS技術建立控制網將遇到坐標轉換的問題。布爾莎七參數模型是三維空間直角坐標轉換常用的方法。運用布爾莎模型求解七參數時，沒有考慮公共點本身存在的誤差。若起算公共點存在粗差，將造成模型扭曲，出現錯誤的轉換結果［1］。因此坐標轉換首先要剔除起算數據中的粗差或者降低粗差的影響。

GPS 定位技術具有精度高穩定性好的優點，如果外業操作按相關測量規范進行，可以認為整個網中WGS84 坐標的精度較高［2］。而公共點中的地方坐標，由于坐標點的建立年代不一，來源不一，或者標石移動，精度可能參差不齊。諸如以上情形，起算公共點中可能混有粗差點。對于含有粗差的數據處理一般分為兩種方法:將粗差歸入函數模型［3］或將粗差歸入隨機模型［4，5］。選擇適當的權函數，消除或者削弱粗差對參數估計的影響。這一類方法的困難在于合理權函數的選擇，抗差的嚴密精度有待進一步研究［6］。

上述方法主要通過經最小二乘計算得到的改正數V 來判定粗差。最小二乘法具有平均分配誤差的能力，會導致粗差在平差改正數中的反映小于原始粗差量，并且第i 個觀測值的粗差不僅僅作用于第i 個改正數V，還影響其他的改正數［3］。直觀表現就是含有粗差的公共點的改正數不一定會大，此時會造成誤判粗差的情況。本文提出一種新方法，利用最小二乘平差后的方差構建統計量，克服了常規粗差定位中使用改正數V 容易掩蓋粗差的缺點，實現了在布爾莎七參數計算過程中的粗差定位和剔除。鑒于實際工程中用于坐標轉換的起算公共點較少，在公共點不適宜直接剔除的情況下，結合假設檢驗與降權迭代計算兩種方法，定位出粗差點并通過降權來削弱其影響，得到準確的坐標轉換參數。

2 方差比值檢驗法

2.1 坐標轉換數學模型

設A 為目標坐標系，B 為源坐標系?？紤]到三個歐拉角都非常小，因此布爾莎模型可簡化為［7］:

誤差方程寫成矩陣形式為:

將L 視作觀測向量。則轉換參數的估值為:

由于各點的坐標可以視作是同精度獨立觀測值，因此P=I。然后可求得單位權中誤差為:

式中n 為公共點的個數。

2.2 方差比值檢驗法的原理

構建統計量Fi算法流程如下:

1)利用所有公共點，構建誤差方程

2)此時不知道哪個已知點中的坐標是含有粗差的，逐個刪除公共點對進行檢驗。對第i 對點進行檢驗時，將第i 對公共點刪除，即第i 對點不參與構成誤差方程。得到不含第i 個點平差的中誤差

3)逐個去掉公共點對完成一輪計算，得到剔除了第i 對公共點的。如果母體含有粗差，該粗差恰好在第i 對公共點上，則應有。進行如下統計檢驗:

針對每一對公共點，構建統計量［7］

Fi服從F 分布［8］，即有:

式中α 為顯著性水平，r1、r2為自由度，若參與平差的公共點對數為n，則相應自由度為r=3n－7。

運用上述方法時，有兩個值得注意的地方:

1)在多個粗差同時存在的情況下，為防止各個粗差相互干擾，特別是大粗差掩蓋小粗差，每輪檢驗只剔除一個粗差點［9］，即只對最小的點進行檢驗。剔除一個粗差點后，再開始第二輪平差計算，剔除下一個粗差點，直至所有粗差被剔除。

2)顯著性水平α 的選取問題。如果α 偏小，則發現粗差的能力偏低，會出現放過粗差的情況，犯統計假設的第二類錯誤。如果α 偏大，則容易把不是粗差的點識別為粗差，犯統計假設的第一類錯誤。對于該檢驗方法，設置的顯著性水平應該偏大。一是如果公共點含有粗差時，則必然有會小于所有點參與平差的，因此會是單側檢驗;二是當公共點不含有粗差時，刪除某個點對方差的影響很小，此時的統計量應分布于較小的概率區間［9］。因此可以適當增大顯著性水平α 以便發現所有粗差點。

3 降權迭代計算法

利用上述方法進行坐標轉換粗差剔除時有時會帶來一個問題，即實際工作中建立GPS 網時，公共點的對數往往是比較少的，而布爾莎模型七參數轉換要求公共點個數至少為三個。如果將探測出來的粗差點全部剔除，可能造成無法轉換的情形，或者出現公共點全部集中在網的一側或一角，這對整個網形的精度是不利的［8］。此時考慮一種將粗差點降權處理的方法，該方法與穩健估計類似，重新構建權函數來減小粗差點在坐標轉換中的影響，而不是將粗差點直接剔除。

這種方法的思路是先利用方差比值檢驗法探測出粗差，然后根據權與方差成反比的定義，給予這些觀測值一個相應較小的權進行下步平差迭代計算，逐步減小粗差值的影響。為達到上述目的，設置兩個顯著性水平，α1較大，α2略小，α2設置為剔除粗差的限值，α1與α2之間則進行降權處理，α1以下則不作處理。根據多次試驗，α2取為0.05，α1取為0.35。建立權函數如下:

式中上標v表示的是迭代次數。

轉換參數的估值公式化為:

在降權處理法中，粗差探測相當于第一次迭代計算。第一次計算時，所有公共點對是等權計算，由于粗差的影響，得到的結果是有偏估計。然后在各次迭代過程中不斷變化公共點的權值，含有粗差的公共點的權逐步減小，從而降低這些點在平差中的貢獻度，使有偏估計逐步接近無偏估計。

為減少計算量，對第一次平差計算后得到的統計量進行篩選，取Fi大于1 所對應的坐標點進行檢驗。將這部分公共點看做疑似粗差點，迭代過程中僅對這部分點進行降權處理。

4 算例

4.1 用方差比值檢驗法剔除粗差

現取一GPS 網數據進行分析。該網共8 個公共點(表1)。起初，公共點的精度都比較高，求得的坐標轉換七參數及單位權中誤差見表3。然后在第三個點和第六個點的x，y，z 坐標上加入3 cm 的誤差，第八個點x，y，z 坐標上上加入5 cm 的粗差，加入粗差后的坐標見表2。利用最小二乘普通坐標轉換方法求得的七參數見表3。

表1 不含粗差的公共點坐標(單位:m)Tab.1 Common coordinates without gross errors(unit:m)

表2 加入粗差后公共點在54 坐標系中的坐標(單位:m)Tab.2 Coordinates with gross errors in BJZ54(unit:m)

利用方差比值檢驗法進行粗差探測，求得的統計量Fi如表4。

表3 坐標轉換參數計算值Tab.3 Calculated coordinates transformation parameters

表4 方差比值檢驗法的統計量Tab.4 Stastics of variance-ratio method

例中，取顯著性水平α 為0.25，通過三輪檢驗，第一輪探測時F0.75(17，14)=1.435 5，可以探測出8 號點為粗差點;第二輪探測時F0.75(14，11)=1.462 3，可以探測出6 號點為粗差點;第三輪探測時F0.75(11，8)=1.627 5，探測出3 號點為粗差。剔除這三個點后，重新計算坐標轉換參數及單位權中誤差見表3，此時計算出的坐標轉換參數跟不含粗差時基本相同，中誤差也很接近?？梢娺\用該方法能識別公共點中的粗差，剔除粗差點后，坐標轉換的精度得到顯著提高。

4.2 降權迭代計算降低粗差影響

仍然用表1 和表2 中的數據。為便于發現粗差，設置顯著性水平α2為0.05，α1為0.35，由方差比值定權并進行迭代計算。

首次平差計算得到的統計量Fi如表4 第一列所示。大于1 的統計量對應的點有3 號點，6 號點和8 號點，因此只對這3 個點進行檢驗并作降權處理。其中F0.65(17，14)=1.232 9，F0.95(17，14)=2.428 2 迭代7 次后，達到終止條件。各次迭代得到的權值如表5。

表5 迭代計算得到的權值Tab.5 Weights calculated by iteration

可見通過迭代，含有粗差的公共點的權值不斷降低，其他點的權值仍為1，權值也指出了粗差點的位置。終止迭代時得到的轉換參數和中誤差見表3。

通過對比，降權迭代計算后得到的七參數與不含粗差時較為接近，中誤差也有顯著減小，七參數的精度有了提高，說明在不直接剔除粗差公共點的情況下，該方法明顯優于普通最小二乘計算方法。

5 結論

1)本文提出的方差比值檢驗法，原理簡單，公共點存在多維粗差時可以對粗差進行準確定位，用以提高坐標轉換的精度;

2)在公共點對數較少的情況下，可以利用降權處理方法，將假設檢驗與降權迭代計算結合起來，降低粗差在坐標轉換過程中的貢獻度，使有偏估計逐步接近無偏估計，在保證坐標轉換順利進行的前提下，削弱粗差點的影響;

3)由于每次計算檢驗統計量都需要重新平差計算，計算工作量較大。但坐標轉換的公共點數目往往不會很多，借助于計算機編程，該方法是完全可行的。在其他平差計算過程中，該方法的應用值得探討。

1 陳義，陸玨.以三維坐標轉換為例解算穩健總體最小二乘方法［J］.測繪學報，2012，(5):715－722.(ChenYi and Lu Jue.Performing 3D similarity transformation by robust total least squares［J］.Acta Geodaeticaet Cartographica Sinica，2012，(5):715－722)

2 郭英起，黃聲享，曹先革.基于穩健估計的高精度坐標轉換參數解算方法［J］.測繪工程，2008，(6):6－8.(Guo Yingqi，Huang Shengxiang and Cao Xiange.A method for calculating parameters with high accuracy in coordinate transformation based on robust estimation［J］.Engineering of Surveying And Mapping，2008，(6):6－8)

3 於宗儔，李明峰.多維粗差的同時定位與定值［J］.武漢測繪科技大學學報，1996，(4):17－23.(Yu Zongchou and Li Mingfeng.Simultaneous position and evaluation with multidimensional gross errors［J］.Journal of Wuhan Technical University of Surveing and Mapping，1996，(4):17－23)

4 周江文.經典誤差理論與抗差估計［J］.測繪學報，1989，(02):115－120.(Zhou Jiangwen.Classical theory of errors and robust estimation［J］.Acta Geodaeticaet Cartographica Sinica，1989，(02):115－120)

5 郭英起，等.基于空間直角坐標系的高精度坐標轉換方法研究［J］.大地測量與地球動力學，2012，(3):125－128.(Guo Yingqi，et al.Study on coordinate transformation method with high accuarcy based on space rectangular coordinates system［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2012，(3):125－128)

6 李德仁，袁修孝.誤差處理與可靠性理論［M］.武漢:武漢大學出版社，2002.(Li Deren and Yuan Xiuxiao.Error processing and reliability theory［M］.Wuhan:Wuhan University Press，2002)

7 武漢大學測繪學院測量平差科學組.誤差理論與測量平差基礎［M］.武漢:武漢大學出版社，2003.(Surwey Adjustment Discipline Unit of Surveying and Mapping College of Wuhan University.Basis of error theory and adjustment［M］.Wuhan:Wuhan University Press，2003)

8 李金生.GPS 網基線解算質量控制及基準點可靠性檢驗［D］.東北大學，2008.(Li Jinsheng.Quality control of baseline solution and reliableexamination of datum points in GPS network［M］.Northeastern University，2008)

9 高北晨，楊騰峰.多維粗差的逐步剔除［J］.鐵路航測，1997，(1):6－8.(Gao Beichen and Yang Tengfeng.Gradually eliminating of multimensional gross errors［J］.Railway Investigation and Surveying，1997，(1):6－8)

附件

根據抗差等價加權原理［4］，坐標轉換誤差方程為:

最小二乘估計準則為:

但最小二乘估計的抗差能力很差，于是采用抗差穩健估計，估計準則如下:

令

式(4)可化為:

記

則式(6)可化為

寫成矩陣形式，為:

常規方法中多使用改正數v 定位粗差，但最小二乘法具有平均分配粗差能力，改正數V 容易掩蓋粗差。因此利用最小二乘平差后的方差構建統計量，實現粗差定位和剔除。鑒于實際工程中用于坐標轉換的起算公共點較少，在公共點不適宜直接剔除的情況下，結合假設檢驗與降權迭代計算兩種方法，定位出粗差點并通過降權來削弱其影響，得到準確的坐標轉換參數。

當采用方差比值檢驗法求取坐標轉換參數時，論文利用假設檢驗原理，直接剔除粗差點。

當采用降權迭代計算方法時，構建新的權函數如下:

利用迭代最終的權矩陣，通過式(9)求取坐標轉換參數，削弱粗差點的影響。