探索積累數學活動經驗的不同階段

朱裕華

數學活動經驗是學生個人經驗的重要組成部分，是學生學習數學、提高數學素養的重要基礎之一。數學活動經驗存在于任一課型、任一教學內容的課堂教學中。筆者通過課堂教學研究發現，數學活動經驗的形成是一個循序漸進的過程，是一個由少積多不斷提升的過程，有時還需要借助知識的生長點不斷優化。

幫助學生積累數學活動經驗，教師的作用至關重要。本文嘗試通過三個教學片段，立足課堂觀察，透過案例分析，探索學生積累基本數學活動經驗所必須經歷的三個不同階段。

一、從茫然無序到有效操作，看數學活動經驗的激活

案例分析：“三角形三邊關系”教學思考。

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我所教學的兩個平行班，四（1）班先上。

師：剛才同學們認識了三角形（指上一環節的教學內容），下面請大家拿出準備好的長度分別為10厘米、6厘米、5厘米、4厘米的小棒，任選其中的三根小棒圍一圍，看看能否圍成三角形，試一試！

（待學生明確操作要求后，我放手讓學生四人小組活動，要求邊活動邊記錄操作結果。）

可學生的表現與我預設的全然不同：組內缺少合理的分工，各拼各的，一旦一個同學拼成一個三角形，就興奮不已，并認為已經完成任務了；不會合理地記錄，也沒有全局的考慮，鮮有將所有情況一一嘗試拼完的；匯報操作結果時，學生的發言是零散的，觀察是片面的，結論是不完全的。為使學生較好地理解這一知識，我不得不重新指導操作。

四（2）班后上，我吸取四（1）班的經驗教訓，調整了活動組織方式。

師：剛才同學們認識了三角形（指上一環節的教學內容），下面請大家拿出準備好的長度分別為10厘米、6厘米、5厘米、4厘米的小棒，任選其中的三根小棒圍一圍，看看能否圍成三角形，同桌合作，一人操作，一人記錄。

師：先請同學們拿出10厘米、6厘米、5厘米這三根小棒圍圍看。（學生操作，發現能夠圍成一個三角形。）

師：我們可以把這一操作結果記錄下來，板書示范——10厘米、6厘米、5厘米√。

師啟發：還可以取哪三根圍一圍？（指名交流，學生列舉）

師：下面請同桌繼續合作，任選三根小棒圍一圍，像剛才那樣一人操作，一人記錄，把你得到的結果一一記錄下來。

隨后的操作過程，呈現出了與前一節課完全不同的一面：課堂不嘈雜了，學生的操作有秩序了，學會記錄了，之后的交流自然全面了，結論也變得清晰了。

【教學感悟】

有感于這兩次不同的教學，從茫然無序到有效操作，我覺得數學活動經驗的積累是一個循序漸進的過程。就如同本案例中，在此前的學習過程中學生雖然已經經歷過一定的操作探索過程，但有經歷不一定有經驗。

第一次教學之所以失敗，就在于我主觀地、簡單地認為學生已經具備了小組合作的操作探索經驗。但事實上是在四年級這樣的學齡階段，學生對小組合作、操作探索的活動形式已經有了一定的接觸，但還沒真正形成自主地合理分工、有序操作探索的經驗。當學生遇到困難或沒有頭緒時，還需要教師及時地介入和引領，直接放手只會導致活動的盲目。另外，四年級的孩子雖已具備了一定的自控能力，但好奇心還是比較強的，所以當他們拼成一個三角形后，會不由自主地興奮，并且被這種情緒占據主導地位，漸漸失去了繼續操作探究的理性。所以，看似課堂鬧騰了，學生在活動中表現得忙碌不已，實則，這樣的操作探索是低效甚至無效的。

所以在這樣一個學情背景之下，第二次的教學組織才是適合學生發展的。首先在半扶半放中指導學生合作的技巧、操作的步驟、記錄的方法，從而激活原來的經驗，然后再放手讓學生在獨立操作的活動過程中運用和強化這一經驗。我想在幾次這樣的帶領和指導下，讓學生學會合作、學會操作、學會傾聽、學會思考，讓課堂靜下來，讓手、腦動起來，那么操作探索才會真實有效起來。也只有在這樣的反復刺激下，學生才能真正獲得操作探索的基本活動經驗。

二、從單一活動到多重體驗，看數學活動經驗的提升

案例分析：“相遇問題”教學思考。

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教師出示問題：小明和小芳同時從家里出發走向學校，經過4分鐘后兩人在校門口相遇。他們兩家相距多少米？

1.演一演。

（學生讀題后）師：誰愿意來給大家表演一下兩位同學是怎么走的？

請兩名學生上前演一演，一人扮演小明，一人扮演小芳，其余同學指揮，指示他們各自的站立地點（分別站在教室的兩頭）、站立方向（面對面站立）、怎么行走（同時向講臺走去）、何時停下（兩人碰到的時候）。

2.圈一圈。

師：通過剛才的演示，請學生們圈出題目中能夠反映表演過程的重點字詞。（交流并圈出：同時、從家里出發、走向學校、相遇。）

師指導提煉出如下詞語，并板書：同時、兩地、相向而行、相遇。

3.比劃比劃。

師：你能用手勢比劃出這樣的行走過程嗎？

教師和學生一起伸出雙手在身前比劃：兩手分開（兩地）→掌心相對（相向）→同時向中間移動靠攏（同時相向而行）→最后掌心相碰合在一起（相遇）。如此反復多次，并在完成每一次動作后說說這一動作所代表的題意。

4.畫一畫。

師：小明和小芳經過幾分鐘在校門口相遇了？（4分鐘）你是怎么理解這個4分鐘的？（小明從家到學校走了4分鐘，小芳從家到學校也走了4分鐘。）

師：根據我們剛才的演示和分析，你會畫圖表示出題目的已有條件和問題嗎？

學生嘗試作圖后，展示學生的作品，并結合課件演示進一步指導畫線段圖的方法和步驟，形成下圖。

5.算一算。

方法一：70×4+60×4

=280+240

=520（米）

方法二：（70+60）×4

=130×4

=520（米）

對照線段圖說說這兩種解題思路，并對比兩個算式的聯系（符合乘法分配律），提煉兩種解題思路。方法一：小明4分鐘走的路程+小芳4分鐘走的路程=總路程，方法二：（速度和）×時間=總路程。

【教學感悟】

四年級下冊“解決問題的策略”第二課時，主要教學用畫圖的策略整理相遇問題的條件，發現內在聯系，理解數量關系，形成解決問題的方法。在此之前學生已有了一定的關于行程問題的解題經驗，知道了速度、時間和路程之間的關系，但“相遇問題”更為特殊更為復雜，參與對象由一個變為兩個，不同的運動方式還會產生不同的解決問題的方法。因此，要將簡單行程問題的解題經驗提升為相遇問題的解題經驗，如果單就教材意圖，直接引導學生畫圖整理條件，這樣的活動過程我個人覺得略顯單薄，不利于學生形成對相遇問題的深刻認識。

所以我嘗試組織了多重體驗活動，期待等到學生在解決上述（或變式）問題時，具有豐富的相關經驗積淀，綜合分析問題和解題問題的能力更強。通過“演一演”讓學生直觀地感知小明和小芳的行走方式，把讀題過程變成快樂活動的過程。通過“圈一圈”呼應之前的表演過程，提煉相遇問題中經常出現的專有名詞，則是數學化的學習過程，為學生精練、準確地表達數學問題情境打下基礎。通過“比劃比劃”，讓每個學生都參與進來，親身體會這一運動過程，將提煉出的運動名詞簡潔、直觀地呈現出來，進一步加深對相遇問題運動方式的理解。這三次活動，為學生積累了有關運動方式的豐富的感性經驗，但要想簡化一些非數學成分，同時表示出運動中的速度和時間，線段圖則是最合適的方法。隨后結合線段圖呈現的信息，分析解題思路，形成解題方法，讓學生在“算一算”“比一比”的活動中感受策略價值：畫圖解決問題的策略能簡要地呈現題中的各種信息，是遇到陌生問題“再分析、再創造”的有效途徑。

充分的數學活動，促進學生的認識從模糊趨向清晰，從形象趨向抽象，從單一趨向多元，以此提升數學活動經驗。在這樣的多重體驗下，學生原有的解題經驗得以綜合與提升，即使下次換一種運動方式，學生也能主動提取相關經驗，觸類旁通地解決問題。

三、從相同模式到認知突破，看數學活動經驗的優化

案例分析：“乘法分配律”教學思考。

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師生通過解決三個問題，得到了三組等式：（32+18）×5=32×5+18×5，（9+5）×8=9×8+5×8，（4+6）×3=4×3+6×3。

師：請同學們仔細觀察這些算式，有什么相同和不同的地方？

生：我發現左邊的算式都是加小括號的，右邊的都是沒有加小括號的。

師：這真是一個重要的發現。（順勢引導）加小括號是什么意思呀？

生：加小括號就是先算小括號里的。

師引導全班交流：那你們能說清等式左右兩邊算式的運算順序嗎？

生：左邊的算式都是先算小括號里的加法，再算括號外面的乘法；右邊的算式都是先算兩個乘法，再算加法。

生：這兩個式子左右兩邊雖然形式不同，但結果都是相等的。

師（肯定）：對，這些都是等式！

生：兩邊的數都是一樣的，像第一個算式里左邊有32、18、5這些數，右邊也是這些數。

師（啟發）：那這些數是怎樣進行運算的？

生：都是把括號里的數分別去乘了括號外面的數。

師投以贊許的目光。

生：兩邊的符號也都是一樣的，左邊都是+×，右邊都是×+×。（再次說說不同的符號說明的運算順序）

師：同學們的表現真不錯，發現了這些算式中的這么多規律。那具有這些特點的式子你還能寫嗎？是不是所有符合這樣特點的式子計算結果都相等呢？（學生舉出類似的等式，驗證剛才的發現。）

師：這樣的式子能寫完嗎？（不能）寫不完怎么辦？（添上省略號）

師：如果要用一個式子概括出所有具有這樣特征的式子，你有什么辦法？（用字母表示）

學生交流。

師：我們用a、b、c三個字母表示三個數，（a+b）×c=a×c+b×c。看著這個字母式子，你能再說說這類算式的特點嗎？

學生反思、交流，逐步概括出：兩個數的和乘第三個數等于這兩個數分別與第三個數相乘，再把它們的積相加。

【教學感悟】

課堂鏈接：教學“加法交換律”。

師生通過一系列教學環節得到了如下算式：8+7=7+8，19+5=5+19，21+36=36+21。

師：請同學們仔細觀察這些等式，你發現這些算式有什么共同的特點嗎？

生：把相加的兩個數交換之后，它們的結果相等。

師：交換了什么？加法中的結果可以說成——和。誰來再說一下？

生：交換加數的位置，它們的和不變。

師：說得真好，兩個數相加，交換加數的位置，它們的和不變。具有這樣規律的等式你們還能寫嗎？能寫出多少個？

生：能寫，可以寫無數個。（生舉例驗證剛才的發現）

師：既然這樣的等式有無數個，就需要用一些簡便的符號、圖畫或字母等來表示這種規律。能用自己喜歡的方法表示出這一發現嗎？（指名不同學生板演）

揭示一般表示方法：a+b=b+a。

我們看到：學生在學習乘法分配律之前，已經通過學習加法交換律和結合律、乘法交換律和結合律，積累了一定的探索、觀察、發現、概括規律的經驗。雖然兩個學習內容以不同的數學情境為載體，但探究這些規律具有相同的思維模式，探究過程是那樣的相似：問題解決—得到等式—觀察發現—驗證規律—得出結論。

學生對乘法分配律意義的認識和概括，是類似探究經驗的再現。但又由于乘法分配律含有乘加兩級運算，變化形式更為復雜，原有的認知經驗已不足以支撐現在的學習，需觀察得更為細致，探究得更為深入，需新思想、新發現的植入。而且乘法分配律這類算式的特點，一向是學生表達敘述的難點，要讓學生清晰、完整地理解乘法分配律的意義，需要學生群體的智慧。只有通過組織學生開展充分的交流活動，抓住新舊知識的生長點，巧妙地引領學生以發現啟示發現，以思維啟迪思維，才能達到新知的突破，實現原有探究經驗的優化。正是看到了這一點，我在引導學生交流時，反復強調“左右兩邊算式的運算順序”，以此作為學生觀察發現的突破口、概括總結的著力點、新知學習的生長點，使學生的原認知經驗在被多次調用、反思后，得以改造和優化，從而順利地概括出乘法分配律的意義，抽象出乘法分配律的數學模型，完成數學活動經驗更高層次的生長。

教學實踐表明，數學活動經驗一方面在于積累，另一方面也需要提升和優化，只有這樣，數學活動經驗才能成為學習的內在支撐。教師要通過研讀教材，設計有效的數學活動，讓學生在親歷中體驗，在體驗中積累，讓經驗的“根”長得更深。