關于培養學生數學猜想能力的思考與實踐

張鎖榮

《數學課程標準》（2011年版）提出：“推理一般包括合情推理和演繹推理”，要求“在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數學活動中，發展合情推理和演繹推理能力。”數學教學中，要重視學生數學猜想能力的培養，具體的形式有歸納性猜想、類比性猜想、探索性猜想、仿照性猜想等。

一、培養學生數學猜想能力的思考

1.培養學生數學猜想能力的必要性

什么是科學的方法，如果用一句話回答，那么它應該是“猜想與驗證”。數學方法理論的倡導者波利亞對猜想作了深入研究，著有《數學與猜想》一書。波利亞曾說，在數學領域中，猜想是合理的、值得尊重的，是負責任的態度；在數學教學中必須有猜想的地位；教學必須為發明做準備，或至少給一點發明的嘗試。無論如何，教學不應該壓制學生中間的發明萌芽。波利亞認為，在有些情況下，教猜想比教證明更重要。牛頓也曾說：“沒有大膽的猜想，就作不出偉大的發現。”

2.數學猜想能力的本質

數學猜想實際上是一種數學想象，是人的思維在探索數學規律、本質時的一種策略。它是建立在已有的事實和經驗上，運用非邏輯手段而得到的一種假定，是一種合情推理。數學猜想能縮短解決問題的時間，能獲得數學發現的機會，能鍛煉數學思維。數學猜想并不是胡思亂想，基本思維模式是：問題反復思索聯想—頓悟提出假說—驗證結論。歷史上許多重要的數學發現都是經過“猜想”這一非邏輯手段而得到的。

3.對數學思維培養的觀念更新

培養學生的思維能力，引導學生學會數學地思考，是數學教育的核心目標，是數學教育永恒不變的主題。縱觀歷年來的教學大綱與《數學課程標準》，對于數學思維培養的認識在提高、觀念在更新。小學數學教學只重視邏輯思維能力的培養是不夠的，還需要發展學生的形象思維和直覺思維。

綜上所述，大膽猜想、仔細驗證是重要的數學學習方法。數學猜想實際上是一種創造性思維，培養學生的猜想能力有利于鼓勵學生用多種思維方式思考問題，從而可以更好地培養和激發學生的創造力。

二、培養學生數學猜想能力的實踐

在小學數學教學中，重視學生數學猜想能力的培養，就是要選擇合適的題材，把握好教育與訓練的時機，讓學生經歷從具體事例提出猜想的過程，教會學生猜想，進行合情推理，使學生獲得探究、發現和論證的體驗，從而訓練學生的猜想能力。那么，如何在數學教學過程中合理運用與有機滲透呢？下面談談我的一些實踐和思考。

1.歸納性猜想

數學家高斯說過：“數學中許多方法與定理是靠歸納法發現的，證明只是補行的手續而已。”歸納性猜想是從對個別或特殊的事物的判斷，擴大為對同類一般事物的判斷，這種思維過程稱為歸納性猜想。數學教學中，數學概念的形成和法則的概括以及解題就應體現出歸納思想，要盡量通過觀察直觀圖形，或讓學生自己動手借助于實物的討論，在有了豐富感性認識的基礎上提出猜想，進而歸納出相應的法則、性質和公式。小學數學中的許多概念、法則、公式都是通過對部分數學事實進行觀察、比較、分析、綜合，從中歸納出一般的結論。在新知教學中，要充分展示發現新知的探究過程，充分展現獲取新知的思維過程，給學生充分的探索、歸納、發現的機會，培養學生的“歸納性猜想”。

2.類比性猜想

波利亞在《怎樣解題》中說：“在求解（求證）一個問題時，如果能成功地發現一個比較簡單的類比題，那么這個類比問題可以引導我們到達原問題的解答。”類比性猜想是根據兩個或兩類對象之間在某些方面（如特性、屬性、關系）的相似或相同，從而猜測它們在其他方面也可能相似或相同的一種猜想。常見的類比有直線與平面的類比、平面和空間的類比、數和形的類比、加減和乘除的類比、有限和無限的類比、個體和整體的類比。教學中，我們既要讓學生敢于進行類比，不怕失敗；同時還要正確地指導學生進行合理類比，講清原則和作用。引導學生用類比推理作出合理猜想，再用嚴格的邏輯推理加以驗證，這是我們數學發現和解決問題的基本而重要的思想方法。在新知教學過程中，對于新舊知識緊密聯系的內容，抓住新舊知識的連接點，創設一定的問題情境，要引導學生充分調動原有知識和經驗，使學生能借助舊知產生正遷移，憑借“猜想—驗證”的途徑，先建立“類比性猜想”，然后從不同角度來驗證猜想，利用類比性猜想來創造新知，體會數學知識間的聯系。

案例一：“圓柱體積公式計算”的教學片段與反思

片段一 創設情景，感知圓柱體積的概念。

教師拿出一個裝了半杯水的燒杯，拿出一個圓柱形的物體，準備投入燒杯中。

師：同學們想一想會發生什么情況？（教師將圓柱形的物體投入水中）請仔細觀察后，說一說你有什么發現？

生1：水面上升了一些。生2：圓柱形的物體擠掉了原來水占有的空間。生3：圓柱體占有一定空間。

師：我們通常把這個空間叫體積。

生：我發現上升的水的體積和圓柱的體積是相等的。

師：同學們發現得都很精彩，誰來說一說什么叫圓柱的體積。

生：圓柱所占空間的大小就叫圓柱的體積。

片段二 比較大小，創設猜想圓柱體積的情景。

教師又拿出一個圓柱（底面略小而高長一些，體積相差不多）。

師：這兩個圓柱的體積，哪個比較大一些？

生1：第一個比較大，因為它高一些。生2：第二個比較大，因為它粗一些。生3：他們都是猜的。第一個圓柱它雖然高一些，但底面積小一些；第二個圓柱雖然底面大一些，但它的高少了一些，所以無法準確地比較它們的大小。

師：有什么辦法能比較它們的大小呢？（小組討論）

生：準備半杯水，將第一個圓柱浸沒水中，做好標志，再把第二個圓柱浸沒水中，做個標志，哪個水面上升得高一些，哪個圓柱的體積就比較大。

師：這個方法好。如果要準確地知道哪個圓柱的體積大，大多少，你有什么好辦法？（小組討論）

生：要是學會了計算圓柱的體積就好解決了。

片段三 類比猜想，感知圓柱的體積計算公式。

師：你覺得圓柱體積的大小和什么有關？

生1：和圓柱的高有關，一個圓柱它的高增加，它的體積也會變大些。

生2：和圓柱的底面大小有關，一個圓柱的底面增加，它的體積也會變大些。

師：很好！大膽地推想一下圓柱的體積應如何計算？（小組討論）

生：我猜想用圓柱的底面積乘以它的高就可以求出體積。

師：你同意他的猜想嗎？說說你的理由。

生1：我覺得他的想法很有道理，因為圓柱體可以看作是有很多個相同的圓疊加起來的。

生2：我也覺得有道理，因為長方體和正方體的體積公式也是底面積乘以高。

片段四 仔細驗證，推導圓柱的體積計算公式。

師：同學們都會大膽猜想，但還要小心地論證猜想的科學性。

教師拿出一個圓柱體教具，把它藏在衣服里，只露出一個底面。

師：你看到了什么？

生：圓形。

師：你還記得圓是轉化成什么圖形的面積來求它的面積公式的嗎？

生：把圓的面積轉化成長方形的面積。

教師把整個圓柱拿出來，問：怎么求這個圓柱的體積呢？（小組討論）

生：可以把這個圓柱轉化成我們已經會求的長方體的體積來求。

師：說說你們小組是如何轉化的。

生上臺操作展示。生：我們把圓柱平均分成16份，可以拼成一個近似的長方體，這個長方體的高就是圓柱的高，底面積和圓柱的底面積相等。所以，圓柱的體積可以用底面積乘高來求。

師：你同意嗎？照這樣做一遍，然后說一說如何求圓柱的體積。

教師課件出示將圓柱分成32份和64份后拼成長方體的過程；然后總結“如果分的份數越多就越接近于長方體”；最后學生自主得出圓柱的體積公式。

反思：整個教學，由淺及深，引導學生積極探索、猜想、驗證。首先，使得學生建立圓柱的體積概念，創設問題情境，引導學生“你覺得圓柱體積的大小和什么有關”，給學生提供了重要的猜想的條件和情境。其次，引導學生大膽猜想圓柱的體積應如何計算？直接讓學生自由猜想圓柱的體積計算公式。實踐表明，學生根據已有的長方體（或正方體）的體積就可以類比猜想出圓柱的體積計算公式。最后，進行驗證。這樣教學，培養了學生大膽猜想、勇于探索、積極思索、敢于創新的精神。

3.探索性猜想

歸納性猜想和類比性猜想都是根據已有的事實，經過觀察、猜想、比較、聯想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的。波利亞曾說：“我想談一個小小的建議，可否在學生做題之前，讓他們猜想該題的結果，或者部分結果。”在解決問題時，如果能先對問題作初步的邏輯分析，然后再依據已有的知識和經驗，引導學生作出逼近結論的猜想。最后，再加以檢驗、修改和驗證。我們把這種帶有探索推理性的猜想稱為探索性猜想。

（1）通過試驗假設提出探索性猜想。在解決問題時，使邏輯思維因素和非邏輯思維因素交織在一起，兩者協同作用，有利于激活思維，開闊思路，把握問題的關鍵，提高分析問題、解決問題能力。這樣教學，既要注重算理，又要合理估計結果，并能根據條件合理作出猜想，培養思維的創造性。

教學中，教師應給學生提供自主探索的機會，讓學生在觀察、討論、交流、猜測的過程中，經歷數學學習過程，從中探得規律。引導學生從不同角度去分析、解決問題，逐步培養學生探索和解決問題的能力。教學中，既讓學生說算理，又引導學生估計結果，并能依據條件作出合情猜想，從中學會科學的思維方法。

（2）通過數形結合提出探索性猜想。數形結合方法之一是借助形的生動和直觀性來認識數，引導學生主動而有效地觀察圖形，培養學生從圖中讀懂重要信息并整理信息的能力，提高提出問題、分析問題、解決問題的能力，增強對數形結合思維模式的認知，體會圖形對數學規律形成的意義。引導學生經歷觀察、操作、歸納、類比、猜測等過程，提出探索性猜想，發展合情推理能力。

4.仿照性猜想

精心選擇與課本上相關的知識點或思想方法，通過猜想驗證，在已有知識的基礎上引導學生去探索，舉一反三，在知識遷移中發展“仿照性猜想”。

案例二：猜想與驗證相結合

在學習圓柱的表面積和體積之后，我出示了以下這道題：

把一個底面積為24平方厘米的正方體木塊削成一個最大的圓柱體，然后在圓柱體的表面涂上油漆。要刷油漆的面積是多少？

同學們議論紛紛。大家都認為要求圓柱的表面積，需要知道底面直徑（或半徑）以及圓柱的高。可這道題只告訴我們正方體的底面積是24平方厘米，底面（正方形）的邊長求不出來，怎么辦呢？

善于思考的同學聯想到以前做過一道與今天有點類似的題目：已知正方形的面積是10平方厘米，求正方形內最大圓的面積。

這道題中圓柱的表面積與正方體表面積會不會也存在類似這樣的規律呢？即圓柱的表面積是不是占正方體表面積的78.5%呢？

我們就列式計算，然后驗算。

最后證明，剛才的猜想是正確的。于是，我們可以很快求出要刷油漆的面積（圓柱的表面積）。

反思：探索是數學教學的生命線。開啟學生的“猜想”，讓學生喜歡和善于猜想，讓猜想成為學生自主探索的序曲。我們既要讓學生大膽猜想，又要引導學生仔細驗證，并能依據條件或經驗作出合理的猜想。然后，引導學生從不同角度來探索，在探索過程中經歷先猜想、后驗證的體驗與經歷，將觀察、分析、假設、驗證交織在一起，不斷提高學生發現問題、提出問題和解決問題的能力。

綜上所述，讓小學生充分經歷探究、發現、猜想和驗證的過程，合理地滲透數學思想方法，培養學生初步的數學猜想能力，有利于從小培養學生的數學的素養和數學學習的能力。