新課標下對數量關系教學的理性認識

彭永新

《數學課程標準》（2011年版）指出：“數學就是研究現實中數量關系和空間形式的一門科學?！蹦敲磾盗筷P系是什么呢？通常所說的數量關系，多是指生產、生活中具體的數量關系，如“單價×數量=總價”等。實際上，四則運算意義本身就包含著經過高度抽象的、最基本的數量關系。在數學教學中，我們常常將數量關系作如下劃分：從抽象程度來分，可分為基本數量關系（四則運算意義及其逆運算關系）和現實情境中的具體數量關系；從復雜程度來分，可分為簡單數量關系和復合數量關系；從問題背景來分，可分為常見的數量關系和特殊的數量關系，等等。由此可見，數量關系的呈現變化多端，又無處不在，它既是數學基礎知識的重要組成部分，又是借此培養學生邏輯思維能力和孕育數學思想方法的載體。下面，筆者結合教學實踐粗淺地談談當下課堂教學中如何把握數量關系的教學。

一、充分認識數量關系作為數學基礎知識教學的重要性，為學生對實際問題的解決產生頓悟打下堅實的基礎

我們知道，任何問題的解決，都需要豐富而扎實的基礎知識。筆者認為，要使學生獲得的數學知識能真正地用來解決問題，關鍵是要引導學生在數量關系的學習構建過程中既掌握豐富的數量關系知識，又掌握數量關系知識的縱橫聯系，形成一個有機聯系的知識組塊，從而為學生對實際問題的解決產生頓悟打下堅實的基礎。當下，隨著新課改的不斷深入，我們發現相當一部分學生對解決問題仍然感到畏難，遇到實際問題總感到手足無措，一個重要原因就是學生對數量關系知識的掌握蒼白無力，對數量關系的理解不到位。這與我們教師自身對數量關系的理解不到位、不清楚不無關系。

根據筆者多年的教學經驗，小學階段數量關系的教學是隨著年段的升高逐步深化并螺旋上升的。低年段結合四則運算意義的教學，先后出現總分關系的各種形式和兩個量比較大小，這些都是數量關系學習的基礎。針對本階段學生形象化思維占主導地位的特點，教學時應結合具體問題情境，充分利用直觀演示包括畫線段圖和有關操作，豐富低年級學生對數量關系的感知和體驗，溝通數量關系與四則運算之間的對應聯系。而中年段則應一方面繼續引導學生豐富對數量關系的感知、體驗，在加深理解的基礎上，逐步進行提煉和抽象，用數學語言和符號構建數量關系式這一數學模型，如時間×速度=路程、單價×數量=總價、工效×工作時間=工作總量等。另一方面，還要引導學生積累分析復合數量關系的經驗，運用變式練習和對比分析，讓學生體會到分析的關鍵是找出隱含的中間問題，形成一定的分析方法和思路。到了高年段則需要在鞏固的基礎上拓展對基本數量關系的認識（特別是引入分數、比的概念），溝通各種數量關系之間的聯系，促進知識網絡的完善和方法能力的提升。

從上面的分析可以看出，數量關系的教學是一個相互聯結不可分割的整體，具有連續性和系統性，需要我們在各年段教學時切實把握并加以落實。而現行新課標教材在內容安排上為避免傳統應用題教材“一題一類型”、過于依賴數量關系的題型模式，故意打破題型套路，強調以學生的生活經歷為基礎，緊密聯系四則運算的意義來分析、理解具體問題情境中的數量關系，并運用所學知識解決問題。這可能會誤導一部分老師以為新課改弱化了對數量關系的理解、建構和掌握。筆者認為，學生在解決問題的過程中，從意識到問題的存在，到發現問題、尋找解題策略、確定解題思路、對解題過程進行反思，整個問題解決過程中處處都體現著數量關系知識的作用。這些豐富的知識背景可以使學生在面臨實際問題時，能對問題及解決問題所需的知識作出適宜的解釋，獲得新穎獨特的問題解決方法。那種脫離數學基礎知識的系統教學，將會使學生對數量關系知識的理解掌握變得支離破碎，從而直接導致解決問題能力的弱化，這是需要警醒的。

二、加強對數量關系建構過程的教學，促進學生建立起良好的數量關系知識結構

關于數量關系的教學，課標明確要求“探索并理解簡單的數量關系”，“使學生經歷從實際問題中抽象出數量關系，并運用所學知識解決問題的過程”，等等。這表明課標并不是忽略數量關系的教學，而是強調從數學建構的角度看待數量關系的教學，把小學階段數量關系的教學看作一個整體，按照學生年段特征整體梳理、不斷衍生，在理解的基礎上運用數學分類和概括的手段，凸顯必要的數量關系模式，逐步做到深刻體驗、及時抽象、合理分類、落實到位，最終形成良好的認知結構。

當下，有的老師片面理解課標要求，只講體驗、感知，不談概括與分類，這要值得注意。比如，六年級教學“分數乘除法計算”之后，教材逐步安排了豐富的題材內容，創設了一些復雜的情景問題，其目的不僅僅是鞏固理解分數乘除法的意義，鞏固對分數乘除計算方法的掌握，更重要的是通過加強數量關系知識的訓練，提高學生分析問題、解決問題的能力。有這樣一道練習：“一輛汽車行■千米耗油■升，行1千米耗油多少升？用1升汽油可行多少千米？”就本題的解答，不少學生對汽車耗油量與行駛路程之間的數量關系往往容易混淆，怎么處理這一難點？筆者以為，可以借助時間與路程之間的關系來類推理解。比如，將題目改為：“一輛汽車行■千米用去■小時，行1千米需要多少小時？1小時可行多少千米？”讓學生進行比較兩種題材之間的共性聯系，幫助學生發現耗多少油行駛多少路程可以理解為用多少時間行駛多少路程，這樣可以幫助學生建立起耗油量與行駛路程之間的數量關系，即“耗油量÷路程=1千米的耗油量”“路程÷耗油量=1升油所行駛的路程”。同時使學生掌握數量間的相互聯系，即已知“一輛汽車行■千米耗油■升”，既能求出行1千米耗油多少升，又能求出用1升汽油可行多少千米。對這樣的分析，有一些教師會提出異議：認為現在新課標反對過多地使用名詞術語，反對機械地套用模式，現在再提出“耗油量÷路程=1千米的耗油量、路程÷耗油量=1升油所行駛的路程”這樣的數量關系，是否違背新課標精神？對此，筆者認為學生的數學學習過程，總是從學生的生活經驗和客觀事實出發，在解決現實問題的過程中學習理解和建構數學模型，再進行解釋與運用。這其中，名詞術語和數量關系的產生與運用，其實就是一個數學模型的建構過程，是學生在不斷的數學學習過程中逐漸加深理解與運用拓展的過程。

三、重視數量關系隱含的策略化知識教學，尤其要注重數學思想方法的教學

學生學習數量關系的價值是什么，筆者認為，不僅僅是為了“解答應用題”，更在于能在解答應用題中學會創造性地解決問題。這就要求學生在學習數量關系知識的過程中儲存有關如何學習和如何思考的策略性知識。而這種策略性知識往往是和事實性知識結合在一起的，需要我們在課堂教學中有意識地滲透、傳授，以幫助學生獲得大量的有關解決問題的一般的和特殊的策略性知識。比如，分類法、替換法、倒退法、假設法等，它們既是解決問題的基本手段，又是數學思想的直接體現，這其中觀察、分析、猜想、綜合、歸納、類比、抽象、概括等數學思維方法是思考的一般方法，而數形結合思想、函數與方程思想、分類思想、化歸與轉化思想等則是高層次的數學思想方法，具有觀念性的作用。所有這些策略性知識的傳授都可以與數量關系的學習與運用結合起來，成為一個有機的整體。

當前，我們對具體的思維方法的訓練較為注意，但對數學思想的體現則顯得不足，學生雖然也能運用一些具體方法來解決一些相應的問題，但一旦情景發生變化，特別是面對綜合性問題時，學生就不知道如何用它，這是造成應用題教學老大難的重要原因。比如，以往的教材在講解歸一問題時，強調不變的多，說明變化的少。學生的思維只沿著解答這個問題一步一步推理，當遇到反歸一應用題還要再舉例講解，把內在聯系的問題分解得支離破碎，因而學生也只是一題一例模仿著例題做習題?，F行的教材則指導學生用列表的方法整理條件，在列表的過程中分析數量關系，尋找解決問題的方法。這種思想方法一旦為學生所掌握，其作用遠比解一兩道類似的題目大得多，如果學生掌握了這種列表找對應關系的方法，解題能力會大大提高。

筆者認為，在數量關系的教學中，只有讓學生掌握數學思想方法才能真正達到融會貫通，只有掌握了深層次的數學思想，才算是掌握了數學知識的核心，而這正是數量關系教學中貫徹素質教育、提高學生數學觀念的關鍵所在。