基于不動(dòng)點(diǎn)算法的LLT去噪模型

王天祎，文鈞屹，張絲雨，何秉航，羅宏文

（1.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)研究所，長(zhǎng)春 130012；2.中山大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣州 510275）

圖像在生成、傳輸、轉(zhuǎn)換等過程中會(huì)無法避免地引入隨機(jī)噪聲，為了消除給定圖像內(nèi)的噪聲，同時(shí)又要盡可能地保持圖像原有的信息和細(xì)節(jié)，良好的去噪模型尤為重要.文獻(xiàn)［1］提出的全變分去噪模型（TV模型）是一個(gè)經(jīng)典的去噪模型，不僅可以很好地去除噪聲，而且也保持了圖像的邊緣，因而TV模型近年來一直是最成功的去噪模型之一［2］.但TV模型的結(jié)果趨于一個(gè)分片常量，會(huì)導(dǎo)致視覺上的階梯效應(yīng).為了克服這個(gè)問題，文獻(xiàn)［3－7］等相繼提出了高階微分去噪模型，消除了二階模型慣有的階梯效應(yīng).文獻(xiàn)［6］提出的LLT模型是最典型的模型之一，該模型通過極小化圖像u（x，y）二階導(dǎo)數(shù)uxx和uyy的L1范數(shù)構(gòu)造，主要用于去除醫(yī)學(xué)核磁共振圖像的噪聲，效果較好.

本文利用文獻(xiàn)［5］提出的不動(dòng)點(diǎn)方法（fixed－point proximity algorithm）快速求解LLT模型.先通過凸分析理論建立關(guān)于LLT模型能量泛函的不動(dòng)點(diǎn)方程，該方程為非膨脹的，再依據(jù)非膨脹算子的性質(zhì)，通過迭代法求解該不動(dòng)點(diǎn)方程的解，進(jìn)而獲得LLT模型的解.

1 模型描述

設(shè)Ω∈Rd表示圖像域，則LLT模型可表示為求解如下無約束的最優(yōu)化問題：

2 算法實(shí)現(xiàn)

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

將本文算法應(yīng)用于Lena圖像去噪.添加加性高斯白噪聲，噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σ＝15，正則化參數(shù)μ＝0.07，正數(shù)λ＝1／8，κ＝0.5.將計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)［6］差分方法進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖1所示.圖1（A）為原始圖像；圖1（B）為含噪圖像，PSNR＝24.555 0；圖1（C）為文獻(xiàn)［6］原始算法結(jié)果，PSNR＝28.374 6，所用CPU時(shí)間為8.503 1s，迭代步數(shù)498；圖1（D）為本文算法結(jié)果，PSNR＝28.409 8，所用CPU時(shí)間為1.950 5s，迭代步數(shù)156；圖1（E）為兩種算法PSNR曲線對(duì)比，虛線為文獻(xiàn)［6］算法，實(shí)線為本文算法.從迭代時(shí)間上可見，本文算法明顯快于原差分算法；從迭代步數(shù)上可見，本文算法更快達(dá)到平穩(wěn)結(jié)果；從去噪效果上可見（比較圖1（C）和圖1（D）），本文算法所得結(jié)果也更平滑，去噪效果更好.

圖1 本文算法與文獻(xiàn)［6］方法對(duì)Lena圖像去噪結(jié)果對(duì)比Fig.1 Comparison results for Lena image denoising between our algorithm and reference［6］

感謝中山大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院許躍生教授的悉心指導(dǎo).

［1］Rudin L I，Osher S，F(xiàn)atemi E.Nonlinear Total Variation Based Noise Removal Algorithms［J］.Physica D，1992，60：259－268.

［2］趙樹峰，羅宏文，黃承奇，等.基于AOS方法的非線性總變差去噪模型 ［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2008，46（5）：911－914.（ZHAO Shufeng，LUO Hongwen，HUANG Chengqi，et al.Nonlinear Total－Variation Denoising Model Based on AOS Method［J］.Journal of Jilin University：Science Edition，2008，46（5）：911－914.）［3］You Y L，Kaveh M.Fourth－Order Partial Differential Equations for Noise Removal［J］.IEEE Transactions on Image Processing，2000，9（10）：1723－1730.

［4］ZHU Wei，Chan T.Image Denoising Using Mean Curvature of Image Surface［J］.SIAM J Imaging Sci，2012，5（1）：1－32.

［5］Micchelli C A，SHEN Lixin，XU Yuesheng.Proximity Algorithms for Image Models：Denoising［J］.Inverse Problems，2011，27（4）：045009.

［6］Lysaker M，Lundervold A，TAI Xuecheng.Noise Removal Using Fourth－Order Partial Differential Equation with Applications to Medical Magnetic Resonance Images in Space and Time ［J］.IEEE Transactions on Image Processing，2003，12（12）：1579－1590.

［7］Chan T，Marquina A，Mulet P.High－Order Total Variation－Based Image Restoration［J］.SIAM J Sci Comput，2000，22（2）：503－516.

［8］朱欽佩.求解圖像去噪問題的變權(quán)重不動(dòng)點(diǎn)算法研究 ［D］.上海：上海交通大學(xué)，2012.（ZHU Qinpei.Fixed Point Algorithms with Variable Weights for Solving Image Denoising Problems［D］.Shanghai：Shanghai Jiaotong University，2012.）