一類分數階橢圓型方程解的存在性

關麗紅，常 晶，趙 昕

（1.長春大學 理學院，長春130022；2.空軍航空大學 基礎部，長春130022；3.吉林農業大學 信息技術學院，長春130118）

考慮如下分數階橢圓型方程Dirichlet邊值問題：

其中：Ω??N（N≥2）是帶有光滑邊界?Ω的有界區域；（－Δ）s表示分數階Laplace算子，s∈（0，1）；f∈C（ˉΩ×?，?）.目前，關于分數階橢圓型方程解的存在性與多重性研究已有許多結果［1－6］.分數階Laplace算子（－Δ）s是Lévy穩態擴散過程的無窮小生成元［7］，在美式期權、人口動力學和黏彈性力學等領域應用廣泛［8－10］.本文研究分數階橢圓型方程Dirichlet邊值問題（1）非平凡解的存在性，應用推廣形式的山路定理，在非線性項滿足漸近線性增長的情形下得到了問題（1）非平凡解的存在性.

本文主要結果如下：

注1 文獻［3，5］分別研究了分數階Schr?dinger方程（－Δ）su＋V（x）u＝f（x，u）在非線性項滿足漸近線性增長和超線性增長時解的存在性；文獻［6］在非線性項滿足超線性增長時得到了分數階Laplace方程（－Δ）su＝f（x，u）解的多重性；文獻［1］在非線性項滿足臨界增長時，得到了問題（1）解的多重性；文獻［2］在非線性項滿足超線性增長時，得到了問題（1）解的多重性.本文在非線性項滿足漸近線性增長時，研究問題（1）非平凡解的存在性.

通常如果I∈C1（E，?），并且序列｛un｝?E 滿足I（un）→c，（1＋‖un‖）‖I′（un）‖→0當n→＋∞，則稱｛un｝為泛函I的一個Cerami序列，簡記為（C）c序列.如果I的每個Cerami序列都有強收斂子列，則稱I滿足（C）c條件.

下面證明定理1.由假設（H1）～（H3）易知泛函J具有山路幾何，即：

1）存在r，δ＞0，使得對所有滿足‖u‖＝r的u∈Hs0（Ω），都有J（u）≥δ；

2）J（tφ1）→－∞，t→＋∞.

為了應用定理2，只需證明泛函J滿足（C）c條件.取｛un｝n∈??Hs0（Ω）為（C）c序列，即

往證序列｛un｝在Hs0（Ω）中一致有界.事實上，若不然，不妨設‖un‖→＋∞（n→＋∞）.由式（2）可得

由假設（H4），對任意的ε＞0，存在M＞0，使得

令zn＝un／‖un‖2.則存在｛zn｝的子列（不妨仍記為｛zn｝）及z0∈（Ω），使得zn?z0，且zn（x）→z0（x），a.e.x∈Ω.由式（4）可得因此，存在Ω1?Ω，使得且z0（x）≠0，a.e.x∈Ω1.因此，對a.e.x∈Ω1，有

這與式（3）矛盾.因此｛un｝在（Ω）中有界，從而利用標準的討論可知，存在u0∈（Ω），使得又由假設（H3）和Fatou引理可得應用定理2，顯然u0即是問題（1）的非平凡弱解.證畢.

衷心感謝吉林大學數學學院李勇教授的鼓勵和悉心指導.

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