求解Black－Scholes模型下美式回望看跌期權(quán)的有限差分法

李 庚，朱本喜，張 琪，宋海明

（吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，長(zhǎng)春130012）

0 引 言

回望期權(quán)［1］是一種依賴于路徑的期權(quán).令S，t，σ，r，q，T和J分別表示原生資產(chǎn)價(jià)格、時(shí)間、原生資產(chǎn)波動(dòng)率、無風(fēng)險(xiǎn)利率、原生資產(chǎn)紅利率、期權(quán)的到期日和0時(shí)刻到t時(shí)刻原生資產(chǎn)價(jià)格的最大值，則美式回望看跌期權(quán)P（S，J，t）滿足的Black－Scholes模型［2－3］為：

其中B（t）為美式回望看跌期權(quán)的最佳實(shí)施邊界，它把美式期權(quán)的求解區(qū)域分成兩部分：S＞B（t）為持有區(qū)；S≤B（t）為實(shí)施區(qū)；B（T）＝max｛ln（q／r），0｝.

求解Black－Scholes模型下美式回望看跌期權(quán)定價(jià)問題目前主要存在以下困難：

1）問題（1）是一個(gè)空間變量為二維的非線性問題，難以直接求解；

2）左端的最佳實(shí)施邊界B（t）是一條未知曲線，空間求解區(qū)域?yàn)樾螤畈灰?guī)則的無界區(qū)域；

3）期權(quán)價(jià)格P（S，J，t）和最佳實(shí)施邊界B（t）存在相關(guān)性，難以給出同時(shí)求出兩者的數(shù)值方法.

針對(duì)1），2），本文采用降維變換［4］和Landau’s變換［5］，最終將問題（1）化成一個(gè)［0，1］區(qū)間上的一維拋物問題.對(duì)于3），采用有限差分法和Newton法交替迭代求解離散后的方程組，進(jìn)而得到期權(quán)價(jià)格P（S，J，t）和最佳實(shí)施邊界B（t）.

1 降維變換

由于方程（1）是一個(gè)二維空間上的拋物問題，因此為簡(jiǎn)化模型，可通過變量替換

將美式回望看跌期權(quán)定價(jià)問題（1）轉(zhuǎn)化為一個(gè)自由邊值問題：

其中：

至此已解決了第一個(gè)難點(diǎn)，將方程（1）化成了一維拋物問題.同時(shí)，也部分解決了第二個(gè)難點(diǎn)，觀察方程（3）可見，它的求解區(qū)域已化為一個(gè)有界區(qū)域.然而其右邊界仍然是一條未知曲線.

2 Landau’s變換

通過Landau’s變換

可將問題（3）化為如下有界規(guī)則區(qū)域上的拋物問題：

為描述簡(jiǎn)便，做如下變換：

將方程（6）由倒向問題化為正向問題：

至此已解決了第二個(gè)難點(diǎn).美式回望看跌期權(quán)定價(jià)問題（1）已轉(zhuǎn)化為一個(gè)［0，1］區(qū)間上的拋物問題.該問題可采用有限差分法［6－8］進(jìn)行數(shù)值求解.

3 數(shù)值解法

下面考慮求解方程（8）的有限差分法.記時(shí)間剖分

空間剖分

差分近似

任給0＜m≤M，方程（8）的θ格式差分離散形式為

給定bm的一個(gè)初值，可利用方程（9）求解um；已知um，可通過Newton法解方程（10）得到bm的一個(gè)更好近似，這兩步交替求解，便可得到um和bm的逼近結(jié)果.由于期權(quán)的價(jià)格非負(fù)，故要求算法求得的數(shù)值解非負(fù).

定理1 假設(shè)

證明：為簡(jiǎn)單，只對(duì)向后Euler格式（θ＝0）給出證明.把方程組（9）寫成如下形式：

其中：

下面考慮如何求解bm.注意到um是關(guān)于bm的非線性函數(shù)，根據(jù)方程（10）可知，可視為bm的隱函數(shù)：

采用Newton法求解非線性方程（13），其中

算法如下：

1）b（0）＝bm－1＋km，1＜m≤M；

2）對(duì)于j＝1，2，…：

3）求解AU＝F，得到U的最佳逼近.

實(shí)際計(jì)算時(shí)，取ε＝10－6.

4 數(shù)值算例

下面給出一個(gè)數(shù)值算例驗(yàn)證本文算法的有效性.考慮一支一年期的美式回望看跌期權(quán)，假設(shè)原生資產(chǎn)的波動(dòng)率σ＝0.2，紅利率q和銀行利率r分別取以下3種情形：1）當(dāng)r＜q時(shí)，r＝0.025，q＝0.05；2）當(dāng)r＝q時(shí)，r＝q＝0.05；3）當(dāng)r＞q時(shí)，r＝0.1，q＝0.05.

圖1 FDM法得到的最佳實(shí)施邊界Fig.1 Optimal exercise boundary obtained by FDM

圖2 二叉樹法得到的最佳實(shí)施曲面Fig.2 Optimal exercise surface obtained by binomial method

［1］Goldman M B，Sosin H B，Gatto M A.Path Dependent Options：“Buy at the Low，Sell at the High”［J］.Journal of Finance，1979，34（5）：1111－1127.

［2］Black F，Scholes M.The Pricing of Options and Corporate Liabilities［J］.J Pol Econ，1973，81（3）：637－654.

［3］花秋玲，楊成榮.美式封頂期權(quán)的對(duì)稱性 ［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2009，47（4）：717－722.（HUA Qiuling，YANG Chengrong.Symmetry Properties on American Options［J］.Journal of Jilin University：Science Edition，2009，47（4）：717－722.）

［4］姜禮尚.期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型和方法 ［M］.2版.北京：高等教育出版社，2008：170－191.（JIANG Lishang.Mathematical Modeling and Methods of Option Pricing［M］.2nd ed.Beijing：Higher Education Press，2008：170－191.）

［5］MA Jingtang，XIANG Kaili，JIANG Yingjun.An Integral Equation Method with High－Order Collocation Implementations for Pricing American Put Options［J］.International Journal of Economics and Finance，2010，2（4）：102－112.

［6］呂桂霞，馬富明.拋物方程的一類并行差分格式 ［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2002，40（4）：327－330.（LüGuixia，MA Fuming.A Parallel Difference Scheme for Parabolic Equation［J］.Journal of Jilin University：Science Edition，2002，40（4）：327－330.）

［7］HAN Houde，WU Xiaonan.A Fast Numerical Method for the Black－Scholes Equation of American Options［J］.SIAM J Numer Anal，2004，41（6）：2081－2095.

［8］王智宇，李景詩，朱本喜，等.求解CEV模型下美式看跌期權(quán)的有限差分法［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2014，52（3）：489－493.（WANG Zhiyu，LI Jingshi，ZHU Benxi，et al.Finite Difference Method for Solving American Put Option under the CEV Model［J］.Journal of Jilin University：Science Edition，2014，52（3）：489－493.）