ρ－混合序列部分和之和乘積精確漸近性的一般形式

鄒 廣 玉

（長春工程學(xué)院 理學(xué)院，長春130012）

0 引言與主要結(jié)果

部分和之和乘積理論在破產(chǎn)理論記錄值分布中應(yīng)用廣泛，對其極限性質(zhì)的研究已取得許多結(jié)果.文獻［1］得到了ρ－混合序列部分和之和乘積的漸近分布；文獻［2－3］分別得到了相伴及α－混合序列部分和之和乘積的幾乎處處中心極限定理等.精確漸近性［4－9］是近年發(fā)展起來的研究熱點，但關(guān)于部分和之和乘積的精確漸近性卻鮮有報道.本文討論ρ－混合序列部分和之和乘積精確漸近性的一般形式.

定義1 設(shè)A和B是兩個σ域，記Fba＝σ（Xt，a≤t≤b）.定義

本文假設(shè)以下條件成立：

（H1）g（x）為［n0，∞）上具有非負導(dǎo)數(shù)g′（x）的可導(dǎo)的正函數(shù)，且滿足g（x）↑∞，x→∞；

本文主要結(jié)果如下：

其中N表示標準正態(tài)隨機變量.

注2 滿足假設(shè)條件（H1）～（H3）的g（x）有很多，可取g（x）＝xα，（log x）β，（loglog x）γ等，其中α＞0，β＞0，γ＞0為某些適當?shù)膮?shù).

1 引 理

證明：注意到b1，n～log n，由文獻［1］中引理2.4易證結(jié)論成立.

2 定理的證明

2.1 定理1的證明

令b（ε）＝［g－1（ε－r）］，其中g(shù)－1（x）為g（x）的反函數(shù)，r＞1／s.

命題1 在定理1的條件下，有：

證明：只證明式（4）成立.式（5）的證明類似.考慮積分和級數(shù)之間的關(guān)系.如果φ（y）單調(diào)非增，則φ（y）P｛N≥εgs（y）｝也單調(diào)非增，從而有

進一步有

因此

再由式（6）可知

為簡便，下面省略φ（x）的討論過程.

命題2 在定理1的條件下，有：

證明：只證式（8），式（7）可由式（8）推得.由引理1知

命題3 在定理1的條件下，有：

證明：只需證明式（10）成立，由式（10）可直接推得式（9）成立.由于當n＞b（ε）時有εgs（n）＞ε1－rs.利用L’Hospital法則，并注意到r＞1／s，類似命題1的證明，有

命題4 在定理1的條件下，有：

證明：由于由式（12）可直接推得式（11）成立，因此只需證明式（12）成立即可.由于當n＞b（ε）時，有εgs（n）＞ε1－rs，因此要證明式（12）成立，只需證明下式成立即可：

而對任意的x＞－1，都有l(wèi)og（1＋x）≤x.因此要證明式（12），只需證明下式成立：

從而命題4成立.

由命題1～命題4及三角不等式可證明定理1成立.

2.2 定理2的證明

令d（ε）＝［g－1（Mε－1／s）］，其中g(shù)－1（x）為g（x）的反函數(shù)，M≥1.

證明：類似命題1的證明，考慮積分和級數(shù)之間的關(guān)系.如果h（y）單調(diào)非增，則h（y）P｛N≥εgs（y）｝也單調(diào)非增，從而有

進一步有

命題6 在定理2的條件下，有

證明：由引理1，注意到假設(shè)條件（H1）和（H2），與命題2的證明過程類似可證.

命題8 在定理2的條件下，有

證明：與命題4的證明過程類似.

由命題5～命題8及三角不等式可證明定理2成立.

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