淺析導數的應用

黑龍江 馮潔 趙旭

導數不但是高等數學計算的基礎，而且是高等數學應用的工具，具有承上啟下的作用，能夠影響高等數學中后繼知識的學習。導數知識的應用,為我們解決函數的有關問題提供了強有力的工具。因此可見，導數是高等數學中非常重要的章節。下面對導數在求極限、求最值、證明不等式甚至解決物理問題中的應用進行舉例。

一、利用導數的物理意義求瞬時速度、加速度、電流強度等

導數是微積分的初步知識，是研究函數性質、解決問題的有效工具，其概念起源于幾何學中的切線問題與力學中的速度問題。導數的物理意義目前沒有統一的解釋，對于不同的物理量，導數有不同的物理意義。求導運算實際上就是求瞬時變化率的運算。例如，變速直線運動路程函數s對時間t的導數就是瞬時速度；瞬時速度對時間的導數就是加速度；通過導體某截面的電量Q對時間t的導數就是電流強度。

例1在時刻t（單位：s）通過導體某一橫截面的電荷的量Q(t)=t2+2，試求在t=0.5s時導線內的電流強度。

電流強度可以看成是單位時間通過導線某個截面的電荷的量，因此，電流強度可以看成是電荷的導數。

例2小球作非勻速直線運動規律為s=5t2，求在1秒時的瞬時速度。

二、利用導數求極限

利用洛必達法則，可以很輕松的應用導數工具來求解一些型極限或者型極限。

分析：此題滿足洛必達法則求極限的條件，可以利用洛必達法則求解極限

三、利用導數求最值

我們知道，導數是求解函數單調性的有力工具，而在生產實踐和科學實驗中，常常會遇到求解函數的最大值與最小值問題。解決實際應用問題的關鍵在于建立數學模型以及確立目標函數。把實際問題轉化為數學問題。解決此類問題需要找出關鍵,根據題中所給條件之間的相互關系,抽象出一個數學模型后，用導數對其進行分析可使復雜的問題簡單化。

例4某車間靠墻壁蓋一間長方形倉庫，現有存磚只夠砌20米長的墻，問：應圍成怎樣的長方形的墻才能使這間倉庫的面積最大？

分析：首先應該構建一個函數，利用導數進行最優化求解。

解：由題意知，設圍成的墻壁寬為x，則長為20-2x，倉庫的面積記為S，

綜上所述，函數S(x)在x=5處有極大值，極大值是S(5)=5(20-10)=500

由于在(0,10)內的連續函數S(x)只有一個極值點，因此，極大值就是這個函數的最大值。

例5人在雨中行走,速度不同可能導致淋雨量有很大不同,即淋雨量是人行走速度的函數。記淋雨量為y(單位:s),行走速度為x(單位:m/s),并設它們之間有以下函數關系:y=x3-6x2+9x求其淋雨量最小時的行走速度。

分析:由實際情況可知x≥0,并且人即使是跑,其最大速度小于15m/s,從而可取區間[0,15),求最值。問題轉化為求函數在區間[0,15)上的最小值。

解：先求函數在區間[0,15)的所有可能極值點。

令f'(x)=3x3-12x+9=0可得x1=1，x2=3再與端點比較它們的函數值:

因此,當行走速度為3m/s時,淋雨量最小。

四、利用導數證明不等式

導數應用在證明不等式中,一般都是轉化不等式,轉化的方法是構造一個函數,然后求這個函數的最值,應用公式或恒等關系從而實現證明。下面我們來看一道經典的證明不等式的問題。

例6如果a,b,c都是正數，試證明a3+b3+c3≥3abc

分析要證a3+b3+c3≥3abc，只需證明a3+b3+c3-3abc≥0

因此，我們構建定義在(0,+∞)上的函數f(x)=x3-3abx+a3+b3，問題轉化為求證f(x)≥0。如果函數f(x)在區間內有最小值，且最小值是非負的，從而解決問題。即應用導數來研究這個問題。

對函數求導有f'(x)=3x2-3ab，

由于連續函數f(x)在(0,+∞)內只有一個極值點，并且是極小值，因此，極小值就是這個函數的最小值，有f(x)=x3-3abx+a3+b3≥f)≥0(x∈(0,+∞))

取x=c得c3-3abc+a3+b3≥0

即a3+b3+c3≥3abc

導數作為工具為研究函數性質提供了簡單化、程序化、可操作的數學方法,是一種普遍、實用的方法。導數的應用為解決證明不等式、求極限、求最值等問題開辟了新的路徑,顯示了導數方法解決不同問題的靈活性、普適性和廣泛性。

[1]徐映紅,駱樺.微積分中導數的應用[J].北京郵電大學,2010.8.

[2]李建考.從導數的應用談高等數學中的數學建模問題[J].職教與成教,2008.6.

[3]于海波.工程實用數學.東北師范大學出版社,2011.8.